数列求和方法盘点.docx

数列求和方法盘点等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通 项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法 来求和.下面我们结合具体实例来研究求和的方法 ^一、直接求和法(或公式法)将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前 n项和公式求得例 1 求顼2 +22 _32 +42 _52 +62 -川-992 +1002.解：原式=(22 -12) (4 -32) (62 -52) 山(1002 -992) =3 7 11 199 .日 50 (3 199)由等差数列求和公式，得原式 = =5050.2二、倒序相加法此方法源于等差数列前 n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加 有公因式可提取，以便化简后求和 .例2求匚一 +1 1022 32 102 …kL" k的和.分析：由于数列的第k项与倒数第k项的和为常数1,故采用倒序相加法求和.左 12解：设s =―12 102八2 八2_2_ —3—22 92 32 8212则 S = -^— —9— —8—2 2 2 2 2 2102 12 22 92 32 82两式相加，得 2S=1+1|H+ 1 1.0S= . 5小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法 .三、裂项相消法如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前 n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差.多用于分母为等差数列的相邻 k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和 .2 2 2 I例 3 已知 1 +2 +川+n =-n(n+1)(2n+1), 67瑚容2的和.然后注意到它可写成两项的差，n项和.2n 1书 3 5求一■ 12 12 22 12 22 32分析：首先将数列的通项公式化简，互抵消了，从而可求出原数列的前2n 12n 1在求和的过程中，中间的项相解：1 an12 22 川 n21n(n 1)(2n 1) n(n 1) 61 1. Sn = 6 —— I"|[1 2 2 3 n(n 1)lnn 1小结：如果数列(an)的通项公式很容易表示成另一个数列 (bn)的相邻两项的差，即an = b" -bn ,则有Sn =bn* -b1 .这种方法就称为裂项相消求和法四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如 (anbn)的数列，其中(an)为等差数列，(bn)为 等比数列，均可用此法.例 4 求 x+3x2+5x3 +川+(2n-1)xn 的和.解：当x #1时,Snx 2x2(1 -xn」)(2n -1)xn 11-x1 -x (1-x)2当x =1时,Sn小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列 (bn)的公比；②将两个等式相减;③利用等比数列的前 n项和公式求和.五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和，可将其分成几部分来求 ^ _1 .11 1 一例5求数列2 — ,4—,6 — , l ,2n+FT，…的前n项和Sn.4 8 16 2n是一个等1 分析：此数列的通项公式正 an =2n+三言，而数列(2 n)是一个等差数列，数列 j^n虫-比数列，故采用分组求和法求解.1 1 1 ... 1 1 1解：Sn =(2 +4+6 + |l| + 2n) + ,芸+芝+系+川+彳=n(n+1) + ^-金• 2 2 2 2 2 2小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式， 如果它能拆分成几项的和， 而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和 ^。