Leslie人口模型及例题详细讲解.docx

Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的 发展变化如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划， 因此必须建立一个更精确的模型20世纪40年代提出的Leslie人口模型，就是一个预测人 口按年龄组变化的离散模型模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化假设女性最大年龄为S岁，将其等间隔划分成m个年龄段，不妨假设S为m的整数倍， 每隔S / m年观察一次，不考虑同一时间间隔人口数量的变化；(2) 记n (t)为第i个年龄组t次观察的女性总人数，记in(t)二[n (t), n (t)，…,n (t)]1 2 m第i年龄组女性生育率为b (注：所谓女性生育率指生女率)，女性死亡率为d，记iis = 1 -d ,假设b ,d不随时间变化；i i i i(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响；(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关1)建立模型与求解根据以上假设，可得到方程n (t +1)二£ bn (t)1 i ii =1n (t +1) = s n (t) i = 1,2.…，m ti+1 i i写成矩阵形式为n(t + 1) = Ln(t)f b1b2 …b b )m-1 ms10…0 0其中，L=0s20… 0< 0・・・0s 0丿m-1记n(0) = [n (0), n (0),…,n (0)]1 2 m假设n (0)和矩阵L已经由统计资料给出，则n(t) = Ltn(O), t = 0,1,2,为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：（i） s > 0, i=1, 2,…，m-1； ...i（ii） b >0, i=1, 2,…，m,且 b 不全为零。

ii易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的在条件（i）、（ii）下，下面的结果是 成立的：定理1L矩阵有唯一的单重的正的特征根入=入0，且对应的一个特征向量为n * = ［1, s / 九,s s / 九 2，…，ss -^s / X m-1 ］t （3）1 0 1 2 0 1 2 m-1 0定理2若X］是矩阵L的任意一个特征根，则必有|九］|<九0定理3若L第一行中至少有两个顺次的b ,b >0，则i i +1（i） 若X］是矩阵L的任意一个特征根，则必有%|+8其中c是与n （0）有关的常数定理1至定理3的证明这里省去由定理3的结论知道，当t充分大时，有n（t） q cXon * （5）定理4记0二bss s , q（ X）= B / X + B / X 2+・.・+ / X m，则X是L的非零特征根的充i i 1 2 i 一1 1 2 m分必要条件为• • •q（X）=1 （6）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按X —1的比例增长由（5）式可得到如下结论：（i） 当 X >1时，人口数最终是递增的；（ii） 当 X <1时，人口数最终是递减的；（iii） 当 X =1时，人口数是稳定的。

根据（6）式，如果X =1,则有b + b s + b s s + …+ b s s -^s =11 2 1 3 1 2 m 1 2 m-1R= b + bs + bss + …+ bs s・・・s (7)1 21 3 1 2 m1 2 m-1R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数当R> 1时，人口递增； 当R<1时，人口递减Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的 生存环境，将大象的总数控制在11000头左右每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总 数过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通 常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现统计表明，每年约处理600-800头大象近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的但是一 种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功一只成年母象打了避孕针后，两年不再怀孕公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀 孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按 月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年不再受孕； 7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95% 以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑； 公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的 具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需 要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性 对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,（你可能被要求观察30-60 年）；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平 衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使 停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型 指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管 理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程（最多3页）回答公共关心 的问题。

6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000 头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄0123456789总量1103777170686158515251母象150364129313028242229总量298746961605452595857母象257343329342827312525年龄10111213141516171819总量151505148474948474342母象127272627262528271925总量26063646063 59525549 50母象22636383033 34243021 30年龄202122232425262728 29总量142373941424345484947母象118161924172521262927总量253576553565053494340母象229274023292421262416年龄303132333 4353638 39总量146424444464947484641母象124222022242423252124总量238353733203330292926母象217161818151812171613年龄404142434445464748 49总量141424338343433303526母象124192620201516132011总量210242522212211212119母象261114101012811129年龄50515253545556575859总量12118145976 044母象110984443 032总量2155109765 470母象26454423 240年龄606162636465666768 6970总量143221302102母象121110300102总量223020201000母象221000101000假设与分析1 大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个 比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个。