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倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制倒立摆系统自适应高阶微分反馈控制(齐国元,陈增强,袁著祉) (1.天津科技大学自动化系,天津 300222;2.南开大学自动化系,天津 300071) 摘要摘要:利用提取的系统高阶微分信息,提出了自适应高阶微分反馈控制器.某种程度上该 控制器不依赖于单输入单输出(SISO)非线性仿射系统的模型.并且分析了闭环系统的稳定性 和鲁棒性.通过将摆角方程的位移加速度看作是控制输入,将倒立摆系统转化成相互影响的两 个 SISO 仿射系统,从而用两个串级高阶微分反馈控制器成功地实现了倒立摆系统的镇定与 调节.数字仿真表明,控制器对摆的基准模型实现了较为满意的控制,而且该控制方法对非线 性摩擦项,对摆长、摆质量、小车质量等参数变化以及外扰动具有强鲁棒性. 关键词关键词:倒立摆系统;高阶微分器;自适应高阶微分反馈控制器;不依赖模型控制器;鲁棒性1.引言引言作为一个典型的不稳定非线性装置，倒立摆系统的镇定和调节的问题在不同的控制设 计技术中的演示和推动成为了一个基准的例子例如，基于郑和约翰提出摆动能量的非线 性控制器的模型是使用小增益逼近和林提供了线性状态反馈控制器是摆平衡。

咔哇他L 你线性化了并列的两个倒立摆系统的非线性数字模型，然后通过使用状态反馈增益载体和 全状态观测器设计了一个稳定性控制器姚首先通过模糊法来识别动态线性化模型，然后 根据这个模型设计出极点分配控制器使系统稳定这些文献中涉及到的控制器取决于非线 性基准模型或倒立摆的线性化模型一些设计的方法考虑到了鲁棒控制器的摩擦项但是 不确定性低于基准模型实际上，基于标准控制器取决于控制装置的模型是现代控制理论 的重要特征 我们发现可测量的信息和它们的 n 阶微分方程在放射系统中具有重要的意义微分 不仅是可变输出速率，而且也是系统的内部状态，翰利用高阶微分提出了自抗扰控制器 但是对控制器的闭环系统设有一个稳定性和收敛性的解决方法 在文献 6 中，我们设计了高阶微分器独立于控制装置，取决于信号本身高阶微分 器可以接近实际信号和提取 n 阶微分高阶微分器的稳定性和收敛性是已经证明了的 利用提取的微分信息，我们设计了自适应高阶微分反馈控制器，它不取决于系统的 模型，但是取决于 n 阶微分理论分析方法表明自适应高阶微分反馈控制器使闭环系统 获得稳定性和收敛性 如果我们把加速度看作是摆角动态方程的控制输入，把小车加速度看作是小车的位 移动态方程的控制对象，然后倒立摆系统转换成双非线性 SISO 放射系统。

因此，用两个高阶微分反馈控制器，我们能使倒立摆镇定和调节当摆角变成零度， 小车的位移可以通过控制器达到目标位移因为某种程度上该控制器取决于倒立摆的模 型，高阶微分反馈控制器的扰动及参数变化具有强鲁棒性仿真和展示了所提出理论的 有效性而且，高阶微分反馈控制器不取决于位移和速度和角的速度但是取决于摆位 和摆角因此控制器是可适应的 本论文有以下几部分组成；第二部分是，根据高阶微分呈现了自适应高阶微分反馈 控制器的 SISO 放射系统第三部分，把倒立摆系统转换成放射系统和用自适应高阶微 分反馈控制器使倒立摆镇定和调节第四部分，通过数字演算证明倒立摆控制的有效性2.自适应高阶微分反馈控制器自适应高阶微分反馈控制器考虑扰动的 SISO 放射系统，自适应高阶微分反馈控制器的微分方程表示为：（1）( )(, )( )nyf X td tu其中 u 是控制输入，y 是可测量的输出，表示 y 的 i 阶，==( ) iyX1,2,...,TnX XX表示输出微分向量，也是系统的状态向量是未知稳定非(1)(1)( ),,...,Tnny yyR ( )f 线性有界时变函数，d(t)是未知有界稳定扰动，起始条件00( )X tX给定的对象的轨线出现阶微分，是连续的。

如果不满足这些条件，我们使ryn( )n ryry改变直到满足条件设置已知的微分输入向量，设置已知ry(1)(1),,...,nn rrrrxyyyR的广义微分输入向量，，广义微分输出向量(1)( )1,,...,,Tnn rrrryyyrR，广义微分误差向量(1)( )1,,...,TnnZy yyR，其中(1)( )1 121,,...,,,...,TTnn nerze eee eeR reyy一般输出量 y 和给定的输入量是已知的，但是广义微分输出向量 z 和给定的广义微ry分输入向量 r 是未知的在文献 6 中提出一种高阶微分，这高阶微分为任一个具有 n 阶微分的可测量信号提取了 n 阶微分设置[] 用来表达，广义微分向量ˆ z ˆ, y(1)ˆ,y( )ˆ...,nyT的估计量 （注表示的估计量，而不表示的 i 阶） 1)( ),,...,TnZy yy( )ˆiy( ) iyˆ y现在的高阶微分用组合表达式来表示将 n 阶动态系统（2）和 n+1 阶代数方程表示 （3）连起来(2):ˆix 位移满足( )0.02trad0.1ts；；因为起始推动力是，初始的瞬时出现，( )0.01y tm0t 40 ( )10 ( )tt( )10u tv但只是在时满足。

计算值为=0.01490.01ts( )10u tvp6 20( )Id 4.2 调控性问题调控性问题控制器的摆系统的参数与 4.1 部分一致设计一个控制器满足以上要求和达到新的要求，它就是给定的对象的位移，后满足，和0.2dym5dts( )0.2y t ( )0t（28.1） ）( )0.02,6trad ts( )0.01 ,7dy tym ts（28.2）( )10u tv（28.3）值为10 220( )( ( ))dIyyd 控制器仍是两个自适应高阶微分反馈控制器，它的参数的取值与以上在镇定性问题里 的控制器取值一致控制器曲线部分表示为0,0 0.2,d td dttyttp2216 816rtdyyss图 4（a） （b）和（c）分别呈现了，和角满足(28.1) 位移( ) t( )y t( )u t( ) t5.525ts(28.2)满足，驱动力(28.3)，值为( )u t( )y t6.95ts( )u t=46.276110 220( )( ( ))dIyyd .在上面的仿真中两个自适应高阶微分反馈控制器不取决于系统的参数和一些函数关系。

4.3 在仿真中证明鲁棒性在仿真中证明鲁棒性我们考虑了非线性光滑摩擦力或扰动和参变量或是时变量等复杂模型4.3.1.摩擦项和参变量的鲁棒控制摩擦项和参变量的鲁棒控制考虑了倒立摆系统的非线性光滑摩擦力和摆点和参变量模型表示为2(2)(2)(1)()(cos )sinJmLmLyCmLg （29.1）(2)(1)(2)2()(cos )sin ( (1))Mm yb ymLmLu  （29.2）其中是摆点的摩擦项系数，增加了光滑非线性摩擦力的系数，基准模型0.12c 0.95b  中的 m 值放大了 4 倍多注意，在文献 8 中三个参数的值超0.436m 0.625L  过了要求其他参数和起始条件与在基准模型(20.1),(20.2)一致a)我们检查鲁棒的稳定性除了重量控制器的参数完全与以上控制器一10,0,1.15w 致控制结果呈现在图 5.显然，，和仍然分别满足(27.1)(27.2)和(27.3)( ) t( )y t( )u t的要求，值为=0.01516 20( )Id b)我们检查调节性问题控制器的参数完全与以上鲁棒镇定性一致。

控制结果呈现在图6 中，角，位移和驱动力仍然分别满足(28.1)(28.2)和(28.3)的要求，值为( ) t( )y t( )u t=47.6320.10 220( )( ( ))dIyyd 4.3.2 扰动系统的鲁棒控制和参数扰动系统的鲁棒控制和参数 M 作为是变量作为是变量方程（29.2）可以转变成下列方程：(2)(1)(2)2(( ))(cos )sin ( (1))( )M tm yb ymLmLud t  (30）其中 00( )sin( ),1.320,0,20M ttMMt（31）2,1011( )0,10,11td tttppfp（32） 其他参数与系统（29.1）和（29.2）一致a)我们检查了镇定性问题取，其它参数仍没有改变控制结果呈现在10,0,1.25w 图 7 中显然，，和仍然分别满足（27.1） （27.2）和（27.3）的要求 ) t( )y t( )u t=0.0203.从图中我们清楚地看到参数是变量有较小的效果，扰动激活时6 20( )Id 间为，但是功能会迅速地消失，这个功能对扰动和参变量具有强鲁棒性。

011tpp b)我们检查了调节性问题控制器与上面所提到的一致4.3.2 部分结果呈现在图 8显然，，和仍然分别满足（28.1） （28.2）和（28.3）的要求，计算值为( ) t( )y t( )u t=47.932410 220( )( ( ))dIyyd 注意 2，在文献（8）中，4.3.2 部分的问题超越了我们的所学习的范围我们的目的是 想证明提取的自适应高阶微分反馈控制器，它具有有效性和鲁棒性实际上，自适应高阶 微分反馈控制器对其它参变量和其它有限扰动仍具有鲁棒性，甚至是函数关系的变化（当 然，如果改变函数关系，可能系统不是一个倒立摆系统，但是我们可以证明控制器具有强 鲁棒性5 结束语结束语本论文呈现了自适应高阶微分反馈控制器的 SISO 放射系统，它不取决于控制装置的 模型，分析了闭环系统那个的镇定性和鲁棒性真定性和调节性的学习的问题与倒立摆系 统一致系统通过把该系统转变成两个放射系统或利用提取的自适应高阶微分反馈系统成 功的镇定和调节 实际上，在未来的工作上，我们呈现自适应多个高阶微分反馈控制器，成功的应用在 混沌系统的控制和渐近和交流系统的控制。