简单的二次曲面ppt课件.ppt

三）（三） 简单的二次曲面简单的二次曲面 1．知识范围．知识范围球面球面 母线平行于坐标轴的柱面母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面旋转抛物面 圆锥面圆锥面 椭球面椭球面2．要求．要求了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形面、圆锥面和椭球面的方程及其图形二次曲面方程的定义：二次曲面方程的定义：1、曲面方程的概念、曲面方程的概念 .（（1〕球面〕球面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为.根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解.例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底．图形上不封顶，下封底．解解.（（2）） 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫的准线，动直线叫柱面的母线柱面的母线..P(x,y,z)柱面上任取一点柱面上任取一点P(x,y,z)沿母线与沿母线与xoy平面的交点是平面的交点是P (x,y,0)P(x,y,0)P (x,y,0)在准线上，从而柱面上在准线上，从而柱面上任一点任一点P的坐标均满足方程的坐标均满足方程F(x,y)=0.准线方程准线方程柱面方程：柱面方程：F(x,y)=0.柱面的特征：柱面的特征：实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 // 轴轴双曲柱面双曲柱面 // 轴轴抛物柱面抛物柱面 // 轴轴.柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面. 椭圆柱面椭圆柱面 圆柱面圆柱面.（（3）） 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的轴这条定直线叫旋转曲面的轴.平面上的曲线称为母线。

平面上的曲线称为母线旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：曲面上任取一点，曲面上任取一点，将将 代入代入则点则点M是由曲线上点是由曲线上点M1旋转得来旋转得来因而因而.将将 代入代入得方程得方程.（（2〕圆锥面〕圆锥面（（1〕球面〕球面（（3〕旋转双曲面〕旋转双曲面.例例7 7 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．求生成的旋转曲面的方程．旋旋转转双双曲曲面面.旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面..（（4〕锥面〕锥面 一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动所产生的曲面称为锥面动直线称为母线，定点称所产生的曲面称为锥面动直线称为母线，定点称为顶点，固定曲线称为准线为顶点，固定曲线称为准线圆锥方程〔半顶角圆锥方程〔半顶角a) 圆锥面方程圆锥面方程.平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中斜率为斜率为1的直线的直线方程方程.（（5〕椭球面〕椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：图形有界，并且关于坐标面对称。

图形有界，并且关于坐标面对称椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 x=k 和和 y=k 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.当当k k由由0 0变到变到c c时时, ,椭圆由大变小椭圆由大变小, ,最后缩成一点最后缩成一点椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成．轴旋转而成．旋转椭球面与椭球面的区别：旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆..球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为.（（6〕抛物面〕抛物面（（ 与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（（1〕用坐标面〕用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的顶点原点也叫椭圆抛物面的顶点.图形位于图形位于xoyxoy平面的上方，并关于平面的上方，并关于yozyoz及及zoxzox坐标面对称。

坐标面对称与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 k 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的中心都在圆的中心都在 z轴上轴上.与平面与平面 z=k (k<0) 不相交不相交.（（2〕用坐标面〕用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线.与平面与平面 y=k的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（（3〕用坐标面〕用坐标面 ，，x=k 与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论..zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：.特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 z=k (k>0) 的交线为圆的交线为圆.当当k变动时，这种圆的变动时，这种圆的中心都在中心都在 z 轴上轴上..双叶双曲面双叶双曲面xyo.（04一20）. 方程2x2-y2=1表示的二次曲面是（ ） A、球 面 B、旋转抛物面 C、柱面 D、圆锥面. 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 0 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程0 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程0 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.1、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程.例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.例例1 xoy1 xoy平面上的曲线可看作是柱面平面上的曲线可看作是柱面 f(x,y)=0 f(x,y)=0与平面与平面z=0z=0的交线：的交线：.例例3 3 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图..空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程. 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解.螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要性质：螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比．上升的高度与转过的角度成正比．即即上升的高度上升的高度螺距螺距.。