高中数学1.3全称量词与全称命题教案北师大选修11.doc

第一章 常用逻辑用语第3.1节 全称量词与全称命题第3.2节 存在量词与特称命题一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词①一 纸；②一 牛；③一 狗；④一 马；⑤一 人家；⑥一 小船分析:①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=n×n；（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=n×n；分析:上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词命题的量词，表示的是主词数量的概念在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F例句：“所有的鱼都会游泳存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F例句：“有的工程师是工人出身含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种单称命题：其公式为“（这个）S是P”例句：“这件事是我经办的单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等在三段论中是作为全称命题来处理的全称命题：其公式为“所有S是P”例句：“所有产品都是一等品”全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的特称命题：其公式为“有的S是P”例句：“大多数学生星期天休息”特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等含有存在性量词的命题也称存在性命题问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x2＋1=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合A∩B是集合A的子集；分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；四、数学理论1．开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句。

如，x<2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词量词可分两种：(1)全称量词日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的所有个体2)存在量词日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作，等，表示个体域里有的个体3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性命题全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语"exist"中的首字母存在量词的“否”就是全称量词五、巩固运用例1判断以下命题的真假：（1） （2） （3） （4）分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设a=b，则有a2=ab第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：两边都除以b得，2=1分析：第四步错：因a-b＝0，等式两边不能除以a-b 第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来1）中国的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个向量都有方向；分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；（2）存在性命题，0∈R，0不能作除数；（3）全称命题，x∈R，；（4）全称命题，，有方向；六、回顾反思要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。