流体力学－第五讲,N-S方程的解.ppt

2017/11/1,1,第五章 N-S方程的解,平行流动（ Parallel Flow ） Stokes 流动问题讨论 重力作用下的平行流动 小雷诺数流动 圆管内非定常流动 润滑理论,当密度为常数时，N-S方程为： 其中X, Y, Z 是单位质量流体受的质量力由于非线性项的存在，在数学上求解困难，只有在它为零时，才可以求得精确解 可解的情况： 1.Re很小的极慢流动：惯性项与粘性项对比很小，可以不计，方程变成线性 2. Re很大，此时，ν只影响近边界处的流动，称之为边界层，边界层内流动的简化求解，边界层外的流动忽略粘性，按理想流动处理 3.数值求解,例 二维平板间粘性流体的流动,假定不可压缩粘性流体流过宽为2H的二元静止平板,假设：（1）流动是稳定（2）质量力略去不计（3）流动为层流,,,压强仅为x的函数，而与y无关即沿x轴取不同横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面具有不同的压力左边应为y的函数，右边应为x的函数两边相等的条件两边均为常数,,压力沿x轴线性变化,2017/11/1,9,第一节 平行流动,Couette流（库埃特流动）Poiseuille流动（泊肃叶流动）,平行流动分析： ， ， 时， 与x无关。

则 它是u的线性二阶偏微分方程一．Couette流 （库埃特流动） 即平板平行流动 设 流动恒定 ，Z方向不变. 则（1）式变成 边界条件：,与y有关,与x无关,于是积分（2）式可求 （4）式无量纲化，令 ，则,顺压 逆压 有可能回流1、当 P=0 ， ， ，速度分布线性称为简单Couette流 2、当 P>0 ， ，顺压强沿流向逐渐降低,整个流速为正为一抛物线， 处， 速度曲线与y相切.,3.当P<0,在下板附近流速是负值,将产生回流。

这说明上板面对流体的拖动不足以克服逆压梯度对流动的影响.如P=-2,-3,当P=-3时，Q=0，逆压梯度对流量的作用与上板拖动所形成的流量已达平衡当P‹-3则逆压梯度对流量的作用更强，使流量变为负值二．Poiseuille流动（泊肃叶流动）,积分（1），利用（2）得 断面上最大速度 平均流速 单位宽度流量,2.圆管层流流动: 采用圆柱坐标,柱坐标下的N-S方程、连续性方程,由连续性方程得， ， 则N-S方程变为 （1） （2） （3） 由（1）、（2）知p与r、θ无关，则可设 （4）,而由（3） 可见， 是一个常数，令 ，改写上式并积分,2017/11/1,24,第二节 Stokes流动问题讨论,Stokes第一问题-------突然加速平板引起的流动Stokes第二问题-------震动平板引起的流动,在无限空间中静止的平板突然起动沿其自身平面加速至固定速度U0从而带动其周围原来处于静止的不要压缩流体运动。

设板长无穷 二维处理：则N-S方程简化为 为经典的热传导方程,一．Stokes第一问题------突然加速平板引起的流动,,边界条件 （2）此问题由Stokes解决具体方法如下：偏→常微！令： （3） （4） 代入（1）得 （5）,,推导如下,即： 为补偿误差函数 具体计算时查表 (1)当η=1.82时，u/U0=erfcη=0.01,这说明平板突然加速至U0由于粘性而带动周围流体运动形成的流速场中. (2)当η≤1.82时，薄层称为边界层. 薄层流动内流速大于U0的百分之一. (3)当η›1.82时，以上的流层流速只有U0的百分之一以下,可以看作没有影响或影响很小 当η=1.82以外：势流区考虑。

平板通过流体粘性而带动的流体运动只发生在η≤1.82的薄层以内，称为边界层对于流场中的某给定点y处，其流速随时间的增加而增大，当t→∞时该点流速可达到U0,二．Stokes第二问题------振动平板引起的流动,无限平板沿自身平面作简谐振动通过粘性而带动周围原来处于静止的流体所形成的流动平板在半无限空间流场内的N-S方程可表示为,方程（1）解为：令,2017/11/1,31,第三节 重力作用下的平行流动,有两种情况：（1）两个倾斜的无穷大的平板之间的粘性流动，下平板固定，上平板在x方向以速度U 运动边界条件   (2) 斜坡泄流即上平板去掉，靠重力下流边界条件；,方程简化：,N-S方程变成：,则由（3）知p与z无关如令原点处参考压强为 ，则流体中任一点的压强： 如令x不动，每增加y，垂直增加 令y不动，每增加x，垂直增加,,若平板不存在，水面是一自由液面，边界条件变了，推导如下：,2017/11/1,39,第四节 小雷诺数流动,Stokes 方程（完全忽略惯性项） Oseen 流动,小雷诺数流动 粘性不可压流体方程组的复杂性在于惯性力那一项是非线性的，从而使得整个方程组成为非线性方程组，求解困难。

力学上采用近似解法，即抓住问题的主要矛盾，使方程简化，从而得到近似解 粘性流体实际流动中起主要作用的是两种力，惯性力和粘性力表征这两种力之间关系的特征参数是 若Re很小，从而可以忽略惯性力项，使N-S方程变成线性方程Stokes 方程（完全忽略惯性项）（一）控制方程（N-S方程 和连续方程） （1） （2） 当Re→0时，完全忽略惯性项，则运动控制方程为 （3） （4） （3）（4）称为Stokes方程，符合这个方程的流动称为Stokes流动。

在自然界和工程技术中，我们常常遇到Stokes流动问题 如，在化学工业中为了增加反应物的接触机会，常把它们做成微粒或微滴悬浮液的形式； 为了清除工业废气或废液中的粉尘或回收有用的成分，常在重力或离心力作用下让它们分离；在水利和石油工业工程中，泥砂在液体中沉淀或运动问题等这些问题里的悬浮液、微粒或气泡的尺寸大都在μm上下，运动速度很慢，因而特征雷诺数很小，其流动可近似地看作Stokes流动 指出：忽略惯性项的必要条件是雷诺数很小，但不一定要求流动的特征尺度很小，也不一定要求流动很慢或流体粘度很大，只要三者综合参数雷诺数很小即可二）   用涡量表示的Stokes方程（1）涡量 （5）（2）（4）式两边取旋度可得 （6） -------Stokes方程的另一种形式三）用流函数表示的Stokes方程（平面流动） --------------双调和函数 求解思路： 求出之后，求 ，再代回Stokes方程求解 。

例：缓慢流动（Re《1 时的流动称为缓慢流动，又称蠕动） STOKES 近似方程：,分析圆球绕流问题：设（1）质量力不计 （2）绕流中不以生分离现象 （3）运动的对称性,Oseen流动 Stokes解在Re<1的情况下比较准确，当Re>1时，误差大原因，忽略了惯性项 若考虑惯性项，方程的非线性项出现，为了解决这一矛盾，假定 代入N-S方程，则惯性项分为两部分，即,二阶小量，可忽略2017/11/1,60,第五节 圆管内非定常流动,以长圆管内充满粘性不可压流体在t=0瞬时突然施加均匀的常压力梯度，产生轴向流动为例t→0流动趋于定常的哈根--泊肃叶流动2017/11/1,61,由于对称， 与 无关， ， 不计体力，则运动方程： ---------------（1） ----------------（2） 由（1）、（2）， 为一常数,。