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插补原理 Chapter 2 InterpolationPrinciple,algorithm,,1,3,2,5,4,插补的概念,逐点比较法,常用的插补方法,数字积分法,时间分割法,6,本章小结,1 插补的基本概念Basic Concepts,根据所给定的进给速度和轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称为插补方法或插补原理A 什么是插补,1 插补的基本概念Basic Concepts,B 要解决的基本问题,A 什么是插补,让单独的坐标分别运动合成理想的轨迹；几个坐标同时进给，还是每次进一个；判断进给那一个坐标、进多少使下一步误差更小；如果同时进给，各个坐标进给的比例是多少；选用什么样的实际轨迹合成后与理想轨迹误差最小1 插补的基本概念Basic Concepts,B 要解决的基本问题,稳定性 插补精度 合成速度的均匀性 时间复杂性,A 什么是插补,C 插补算法的评价指标,Ret,2 常用的插补算法Common Interpolation Methods,脉冲增量插补 (行程标量插补) 数字增量插补 (时间标量插补),脉冲增量插补特点 每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量； 插补速度与进给速度密切相关； 脉冲增量插补的实现方法较简单。

逐点比较法 最小偏差法 数字积分法(DDA) 目标点跟踪法 单步追综法,数字增量插补特点 在每个周期内根据进给速度计算出各坐标轴在下一插补周期内的位移增量； 插补运算速度与进给速度无严格的关系； 实现算法较脉冲增量插补复杂二阶近似插补法 双近似插补法 双DDA插补法 角度逼近插补法 时间分割法,,,,3 逐点比较法 加工图2所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设让刀具先从A点沿Y方向走一步，刀具处在圆内1点为使刀具逼近圆弧，同时又向终点移动，需沿X方向走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内，需再沿X方向走一步，到达圆弧外3点，然后再沿Y方向走一步，如此继续移动，走到终点加工图3 ，为直线插补轨迹图2 圆弧插补轨迹,图3 直线插补轨迹,逐点比较法，就是每走一步都要和给定轨迹比较一次，根据比较结果来决定下一步的进给方向，使刀具向减小偏差的方向并趋向终点移动，刀具所走的轨迹应该和给定轨迹非常相“象” 算法的特点是；运算直观，插补误差小于一个脉冲当量，进给速度波动小，调节方便，在两坐标联动的数控机床中应用较为广泛， 逐点比较插补法通过比较刀具与所加工曲线的相对位置，确定刀具的起动力向3 逐点比较法Point-by-point Comparison,A 工作原理,(1)偏差判别 (2)进给策略 (3)偏差计算 (4)终点判别,偏差判别：根据刀具当前位置，确定进给方向。

坐标进给：使加工点向给定轨迹趋进，即向减少误 差方向移动 偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之间的偏差，作为下一步 判别依据根据加工点的当前位置，计算偏差函数值 终点判别：判断是否到达终点，若到达，结束插补； 否则，继续以上四个步骤（如图3-3所示）2. 直线插补 图4所示第一象限直线OE，起点O为坐标原点，用户编程时，给出直线的终点坐标E（Xe，Ye），方程为 XeYXYe0 直线OE 为给定轨迹，P（X，Y）为动点坐标，动点与直线的位置关系有三种情况：动点在直线上方、直线上、直线下方,B 算法,(1) 偏差函数建立,因此，可以构造偏差函数为,1） 若P1点在直线上方，则有 XeYXYe0 2） 若P点在直线上，则有 XeYXYe0 3）若P2点在直线下方，则有 XeYXYe<0,,对于第一象限直线，其偏差符号与进给方向的关系为 : F0时，表示动点在OE上，如点P，可向X向进给， 也可向Y向进给 F0时，表示动点在OE上方，如点P1，应向X向进给 F0的情况一同考虑 插补工作从起点开始，走一步，算一步, 判别一次，再走一步，当沿两个坐标方向走的步数分别等于Xe和Ye时，停止插补。

下面将F的运算采用递推算法予以简化，动点Pi(Xi，Yi)的Fi值为,(2) 确定进给策略,,,若Fi0，表明Pi(Xi，Yi)点在OE直线上方或在直线上，应沿X向走一步，假设坐标值的单位为脉冲当量，走步后新的坐标值为（Xi+1，Yi+1），且Xi+1=Xi+1，Yi+1=Yi , 新点偏差为,,若Fi<0，表明Pi（Xi，Yi）点在OE 的下方，应向Y方向进给一步，新点坐标值为(Xi+1，Yi+1)，且Xi+1=Xi ,Yi+1Yi1，新点的偏差为,,即,3 逐点比较法Point-by-point Comparison,B 算法,(1) 偏差函数建立,加工点P在落在直线上,加工点P在直线下方,加工点P在直线上方,(2) 确定进给策略,,开始加工时，将刀具移到起点，刀具正好处于直线上，偏差为零，即F0，根据这一点偏差可求出新一点偏差，随着加工的进行，每一新加工点的偏差都可由前一点偏差和终点坐标相加或相减得到 在插补计算、进给的同时还要进行终点判别常用终点判别方法，是设置一个长度计数器，从直线的起点走到终点，刀具沿X轴应走的步数为X e，沿Y轴走的步数为Ye，计数器中存入X和Y两坐标进给步数总和XeYe，当X或Y坐标进给时，计数长度减一，当计数长度减到零时，即0时，停止插补，到达终点。

4) 终点判别,3 逐点比较法Point-by-point Comparison,B 算法,(4) 终点判别,N=|Xe||Ye|,,Count & Juge,3 逐点比较法Point-by-point Comparison,C Example,用逐点比较法对第一象限直线段进行插补,终点Xe9,Ye4写出插补运算过程并画出插补轨迹3 逐点比较法Point-by-point Comparison,D Discussion,可能发生的最大误差是多少？,真的能到达终点吗？,其它象限的情况有何不同？,Ref,,第三象限直线插补,3. 四象限的直线插补 假设有第三象限直线OE（图3-6），起点坐标在原点O，终点坐标为E（Xe，Ye），在第一象限有一条和它对称于原点的直线，其终点坐标为E（Xe，Ye），按第一象限直线进行插补时，从O点开始把沿X轴正向进给改为X轴负向进给，沿Y轴正向改为Y轴负向进给，这时实际插补出的就是第三象限直线，其偏差计算公式与第一象限直线的偏差计算公式相同，仅仅是进给方向不同，输出驱动，应使X和Y轴电机反向旋转四象限直线偏差符号和进给方向,四个象限直线的偏差符号和插补进给方向如图所示，用L1、L2、L3、L4分别表示第、、、象限的直线。

为适用于四个象限直线插补，插补运算时用X，Y代替X，Y，偏差符号确定可将其转化到第一象限，动点与直线的位置关系按第一象限判别方式进行判别由图可见，靠近Y轴区域偏差大于零，靠近X轴区域偏差小于零F0时，进给都是沿X轴，不管是X向还是X向，X的绝对值增大；F<0时，进给都是沿Y轴，不论Y向还是Y向，Y的绝对值增大动点落在圆弧上时，一般约定将其和F0一并考虑在圆弧加工过程中，可用动点到圆心的距离来描述刀具位置与被加工圆弧之间关系设圆弧圆心在坐标原点，已知圆弧起点A（Xa，Ya），终点B（Xb，Yb），圆弧半径为R加工点可能在三种情况出现，即圆弧上、圆弧外、圆弧内当动点P（X，Y）位于圆弧上时有 X2Y2R2=0 P点在圆弧外侧时，则OP大于圆弧半径R，即 X2Y2R20 P点在圆弧内侧时，则OP小于圆弧半径R，即 X2Y2R2<0 用F表示P点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为,3 逐点比较法,E 逐点比较的圆弧插补,(1) 偏差函数建立,第一象限顺、逆圆弧,图中AB为第一象限顺圆弧SR1，若F0时，动点在圆弧上或圆弧外，向Y向进给，计算出新点的偏差；若F<0，表明动点在圆内，向X向进给，计算出新一点的偏差，如此走一步，算一步，直至终点。

2) 确定进给策略,,,,由于偏差计算公式中有平方值计算，下面采用递推公式给予简化，对第一象限顺圆， Fi0，动点Pi(Xi，Yi)应向Y向进给，新的动点坐标为(Xi1,Yi1)，且Xi1Xi，Yi1Yi1，则新点的偏差值为 即,,,若Fi<0时，沿X向前进一步，到达（Xi1，Yi）点，新点的偏差值为,,即,,进给后新点的偏差计算公式除与前一点偏差值有关外，还与动点坐标有关，动点坐标值随着插补的进行是变化的，所以在圆弧插补的同时，还必须修正新的动点坐标 圆弧插补终点判别：将X、Y轴走的步数总和存入一个计数器， XbXaYbYa， 每走一步减一，当0发出停止信号3 逐点比较法Point-by-point Comparison,E 逐点比较的圆弧插补,总结,加工点P在圆弧上,加工点P在圆弧内,加工点P在圆弧外,,例 现欲加工第一象限顺圆弧AB，如图3-12所示，起点A（0，4），终点B（4，0），试用逐点比较法进行插补圆弧插补实例,,圆弧插补过程,3 逐点比较法Point-by-point Comparison,F 关于圆弧插补的讨论,各象限的进给策略,顺时针和逆时针,过象限处理,当X0或Y0时过象限,圆弧过象限，即圆弧的起点和终点不在同一象限内。

若坐标采用绝对值进行插补运算，应先进行过象限判断，当X0或Y0时过象限如图3-13所示，需将圆弧AC分成两段圆弧AB 和BC，到X0时，进行处理，对应调用顺圆2和顺圆1的插补程序C,A,y,B,跨象限圆弧,X,o,3 逐点比较法Point-by-point Comparison,G 进给速度的合成,逐点比较法的特点是脉冲源每发出一个脉冲，就进给一步 不是发向X轴，就是发向Y轴,平稳的！,Ref,,合成进给速度与脉冲源速度之比为：,由式可见，程编进给速度确定了脉冲源频率fg后，实际获得的合成进给速度v并不总等于脉冲源的速度vg，与角有关插补直线时，为加工直线与X轴的夹角；插补圆弧时，为圆心与动点连线和X轴夹角根据上式可作出v/vg随而变化的曲线v/vg=0.7071，最大合成进给速度与最小合成进给速度之比为vmax/vmin=1.414，一般机床来讲可以满足要求，认为逐点比较法的进给速度是比较平稳的Any questions？,4 数字积分法Digital Differential Analyzer,A 简介,数字积分法又称数字微分分析法 (DDA法) 在数字积分器的基础上建立起来的一种插补算法。

采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求，易于实现多坐标联动因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用4 数字积分法Digital Differential Analyzer,B 数字积分器,Riemann Sum,,,函数Y=f(t)的积分,数字积分器结构框图,Y,Y=f(t),t,Yi,s,t0,ti,tn,t,数字积分器通常由函数寄存器、累加器和与门等组成其工作过程为：每隔t时间发一个脉冲，与门打开一次，将函数寄存器中的函数值送累加器里累加一次，令累加器的容量为一个单位面积，当累加和超过累加器的容量一个单位面积时，便发出溢出脉冲，这样累加过程中产生的溢出脉冲总数就等于所求的总面积，也就是所求积分值4 数字积分法Digital Differential Analyzer,【算例】被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，演示累加过程 101 101 101 101 +） 000 +）101 +）010 +）111 101 010 111 100 101 101 101 101 +） 100 +）001 +）110 +） 011 001 110 。