人教版高二数学选修1-2参考资料(学案1).doc

2.1 合情推理与演绎推理知识要点梳理知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设) 得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设) 叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等） 、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理1.归纳推理（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳） 2）一般模式：部分 整体，个体 一般（3）一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.（4）归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想； 一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的. 2.类比推理（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.　　（2）一般模式：特殊 特殊　（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.　　（4）一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题（猜想） ；③检验猜想.　　（5）类比推理的结论可真可假类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。

知识点三：演绎推理（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．　（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式① 大前提——已知的一般原理；② 小前提——所研究的特殊情况；③ 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.（3）用集合的观点理解“三段论”　若集合 的所有元素都具有性质 ， 是 的子集，那么 中所有元素都具有性质（4）演绎推理的结论一定正确　　演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理规律方法指导合情推理与演绎推理的区别与联系（1）从推理模式看：①归纳推理是由特殊到一般的推理．②类比推理是由特殊到特殊的推理．③演绎推理是由一般到特殊的推理．（2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明②演绎推理所得的结论一定正确3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.经典例题透析类型一：归纳推理1．用推理的形式表示数列 的前 项和 的归纳过程.思路点拨：依题意， 表示数列 的前 项和，即 .为此，我们先根据该公式，算出数列的前几项，通过观察进一步归纳得出 与 的对应关系式.　　解析：对数列 的前 项和分别进行计算：　　　　　， ，　　　　　，　　　　　，　　　　　.观察可得，数列{S n}的前五项都等于 1 到相应序号的自然数之和的平方，由此猜想数列的前 项和.　总结升华：①本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.　②归纳常常从观察开始，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一　　③归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明.在归纳猜想数列的前项和公式时，要认真观察数列中各项数字间的规律，分析每一项与对应的项数之间的关系.　　④虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，对于数学的发现却是十分有用的.举一反三：　　【变式 1】用推理的形式表示等差数列 1，3，5，…，（2 －1），…的前 项和 的归纳过程.　　【答案】对等差数列 1，3，5，…，（2 －1），…的前 1，2，3，4，5，6 项的和分别进行计算：；　； ；；；： 观察可得，前 项和等于序号的平方，由此可猜想.　　【变式 2】设 ，计算 的值，同时归纳结果所具有的性质，并用 验证猜想的结论是否正确.【答案】 　　　　　　 ，　　　　　　 ， .　∵43，47，53，61，71，83，97，113，131，151 都为质数 由此猜想， 为任何正整数时， 都是质数.　验证：当 时， ， 为合数，因此猜想的结论不正确.【变式 3】在数列 中，a1=1，且 ，计算 a2、a3、a4，并猜想的表达式.　　解析： ， ， ，　猜想： .2．平面内的 1 条直线把平面分成 2 部分，2 条相交直线把平面分成 4 部分，3 条相交但不共点的直线把平面分成 7 部分，n 条彼此相交而无三条共点的直线，把平面分成多少部分？　　思路点拨：可通过画当直线条数 n 为 3，4，5 时，分别计算出它们将平面分成的区域数 ，从中发现规律，再归纳出结论.解析：设平面被 n 条直线分成 部分，则：当 n=1 时，S 1=1+1=2；当 n=2 时，S 2=1+1+2=4；当 n=3 时，S 3=1+1+2+3=7；当 n=4 时，S 4=1+1+2+3+4=11.　据此猜想，得 .举一反三：【变式 1】平面中有 n 个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成 块区域，有 ， ， ，……，则 的表达式是___________.【答案】【变式 2】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形　 　（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？（2）推断一个平面图形的顶点数 ，边数 ，区域数 之间的关系.【答案】（1）各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：平面图形 顶点数（ ) 边数( ) 区域数( )a 3 3 2b 8 12 6c 6 9 5d 10 15 7（2）观察：3+2－3=2；8+6－12=2；6+5－9=2；10+7－15=2.通过观察发现，它们的顶点数 、边数 、区域数 之间的关系为： .类型二：类比推理3．在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；　　(4)三角形的面积 ，（ 为三角形的三边长， 为三角形的内切圆半径)．请类比写出四面体的有关性质．思路点拨：利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四面体的相似命题，提出猜想．解析：　　(1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面；(3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心；(4) 四面体的体积 ，( 为四面体的四个面的面积，为四面体的内切球半径).　　总结升华：1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律：(1)平面中的点类比为空间中的线；(2)平面中的线类比为空间中的面；(3)平面中的区域类比为空间中的空间区域；(4)平面中的面积类比成空间中的体积．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系.即进行类比的对象必须具有某些类似特征，并且已知其中一类对象的某些已知特征，否则会使类比成为“乱比”，对两个“风马牛不相及”的事物，没有可比性，也没有类比的价值.可从不同角度选择类比对象，但要强调类比的原则是根据当前问题的需要.3．类比推理是数学教学中经常采用的推理形式，如向量的运算性质与实数的运算性质的类比，立体几何中的许多定理性质与平面几何中的有关定理、性质的类比等.举一反三：【变式 1】在平面几何中有命题“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，那么在正四面体中类似的命题是什么？【答案】类似的命题为“正四面体内任意一点到四个面的距离之和是一个定值”.　　　　　　 平面几何中的命题可用面积法证明其正确性，即该点与正三角形三个顶点连结所得到的 3个小三角形面积和等于正三角形的面积. 由此类比可得到启发，可用体积法证明正四面体中这个类似的命题.【变式 2】在 中，若 ，则 ，请在立体几何中，给出类似的四面体性质.【答案】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有 3 个面两两垂直的四面体 ，且三个面与面 所成的二面角分别是 ， ， ， 类比直角三角形的性质猜想四面体的性质.如图所示，在 中，.　于是把结论类比到四面体 中，若三个侧面 、 、 两两互相垂直且分别与底面所成的角为 ， ， ,　　　　　　 则.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【变式 3】已知等差数列 的公差为 ，前 项和 有如下性质：①通项②若 ，则③若 ，则 .④ ， ， 构成等差数列.类比上述性质，在等比数列 中，写出相类似的性质.　【答案】在等比数列 中，公比为 ，前 项和为①通项： 　②若 ，则 　③若 ，则④ ， ， 构成等比数列.【变式 4】在△ABC 中，若 BC⊥AC，AC=b，BC=a，则△ABC 的外接圆半径 .将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 S—ABC 中，若 SA、SB、SC 两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体 S—ABC 的外接球半径 R=________.【答案】类型三：演绎推理　4．已知：在空间四边形 中， 、 分别为 、 的中点，用三段论证明： ∥平面 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：连结 ∵三角形两边中点的连线是三角形的中位线…………大前提而 、 分别 两边 、 的中点，……小前提∴ 是 的中位线.………………………………结论∵三角形的中位线平行于第三边………………大前提而 是 的中位线，………………小前提∴ ∥ .………………………………结论∵平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行………大前提EF 在平面 外， 在平面 内，且 ∥ ，……小前提所以 ∥平面 .………………………………………………结论总结升华：①三段论是演绎推理的一般模式，其中大前提是已知的一般原理，小前提是所研究的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断.②演绎推理是由一般到特殊的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的.因此在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.③归纳和类比是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.举一反三：【变式 1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…………大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………………………小前提所以菱形是正多边形.………………………………………………结论（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？【答案】上。