固体物理课后习题解答黄昆版.doc

黄昆 固体物理 习题解答第三章 晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第 j 个格波，在第 个格点引起的位移为， μ = anj j sin(ωj_ j + σj ) ，σ j为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ ajsin(ωjt naqj+σj)j j（1）μ2n = ⎛⎜⎝∑ μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑ μj*nj⎞⎟⎠= ∑ μj2nj + ∑ μ μnj*nj′j j′由于 μ μ nj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第 2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计所以 2= ∑ μ 2njn j由于 μ nj是时间 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫02 ω +σ 1 2j ajsin( t naqjj j )dt a=j（2）T00 2已知较高温度下的每个格波的能量为 KT， μ nj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛ dμ ⎞2 ⎤ ρw a 2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ ρ nj ⎥ = j j ∫0 2 ω + σ = ρ 2 2T ⎜ ⎟ dt L a sin( t naq )dt w Lanj T00 0 ⎢ 2 ⎝ dt ⎠⎥ 2T00 j j j j 4 j j其中 L 是原子链的长度， ρ 使质量密度，T 0为周期。

1221所以Tnj = ρ w Lajj=KT （3）4 2μ KT因此 将此式代入（2）式有 nj2 = ρ ωL2jμ所以每个原子的平均位移为 2 == ∑ μ 2= ∑KT = KT ∑1n nj ρ ωL2ρ L ω 2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者 季正华 - 1 - 黄昆 固体物理 习题解答解：如上图所示，质量为 M 的原子位于 2n-1， 2n+1， 2n+3 ……质量为 m 的原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……牛顿运动方程：..m μ2n = −β μ(22n − μ2n+1 − μ2n−1)..M μ2n+1 = −β μ(22n+1 − μ2n+2 − μ2n)体系为 N 个原胞，则有 2N 个独立的方程i na q方程解的形式：i μ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω −(2n+1)aq]na q μ =将 μ2n=Ae[ωt−(2 ) ] 2n+1 Bei[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若 A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者 季正华 - 2 - 第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。

总的格波数目为 2N当 M=m 时—— 两种色散关系如图所示在长波极限(q→0，λ>>0)情况下：当 q→0——与一维单原子晶格格波的色散关系一致3.3 考虑一双原子链的晶格振动，链上最近邻原子间力常数交替为 ca和 10 c．令两种原子质量相同，且最近邻间距为 2 ．求在 k = 0 和Hk = πa处的 ω ( ) ．大略地画出色散关系．此问题模拟如 2 这样的双原子分子晶体解 a/2 c 10c •us−12d uvs−1(o)us•(ovs)•us+1ovs+1M s = C Vs−1 − u +10C V − u ，dt22 s s sd V ( ) + ( )M dt 2s= 10C us −VsC us1+ −Vs,将 us = ueisKa • e− i t,Vs= VeisKa • e−i t. 代入上式有解答（初稿）作者 季正华 - 3 - − 2 (黄昆 固体物理 习题解答+ e−ika )V −Mω u C 10 11Cu,− 2 ( ika + ) u −Mω V = C e 10 11CV ,是 U，v 的线性齐次方程组，存在非零解的条件为M ω2− 11 , (10 + e−iKa)=0，解出(iKa+ 10), Mω2− 11CωM24− ω2+22MC220C (1−conKa) 0ω±∴ 2=C ⎡ ( − ) ⎤11± 121 20 1 conKa .M ⎣ω+2 = C M22 / ,⎦ω220 /C M,当 K=0 时， ω−2= 0, 当 K= π / a 时 +ω2= 2 /C M ,−ω 2 与 K 的关系如下图所示．这是一个双原子(例如 H 2)晶体。

3.4 考虑一个全同原子组成的平面方格子，用 μ ,记第 l 行，第 m 列的原子在垂直于格平面的位移，每个原子质量为 M，最近邻原子的力常数为 cd2μ（a）证明运动方程为： M ( , ) = c[(μ+ μ+ − −2μ )+(μ dt 2+ μ l 1,m l 1,m− 2μ )] ,μ, +1= μ (0) exp[ (, −1 ,)]（b）设解的形式为 , i lk a mk axy − ωt ，这里 a 是最近邻原子间距，证明运动方程是可以满足的，如果2ω M = 2 [2 cos(k ax) cos(kya)] 这 就 是 色 散 关解答（初稿）作者 季正华 - 4 - 系黄昆 固体物理 习题解答2π（c）证明独立解存在的 k 空间区域是一个边长为 a 的正方形，这就是平方格子的第一布里渊区，构出 k kx ，而 ky=0 时，和 kx=ky时的ω − k 图ca2ω = 1/ 2k2 + k 2 1/ 2 = 2 1/ 2( ) (xy) ca M k( / )（d）对于 ka 0.ω ω> ω ω = 2 > =解： 0时， 0 Aq 0 ( ) 0,ω ω> hωgq ⎣ B ⎦应用 e = − +1 x x +hω...2−所以 eqk TB= −1 ωhq+⎛⎜ωhq ⎞⎟+...k TB⎝ k TB⎠1 ⎛ hω ⎞ ⎛ hω⎞≅ + ∑因此 F Uωh + ∑ k Tl − +⎜1 1q ⎟ ≅ U+ k Tl ⎜ q ⎟2q B n k T 0 B n k Tq其中 U0 ≅ +U∑1q2hω ⎝ B ⎠12 hω⎝ B ⎠3.10 设晶体中每个振子的零点振动能为 的零点振动能。

使用德拜模型求晶体证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故 T=0K 时振动能 E 0就是各振动模零点能之和 E ω= ∫mE ( ) ( )ω ωd 将E( ) = 1 ωh 和 g ( )=3V ω2 代入积分有3V ω090ω0ω θ0 29 θ2π 2vs3E = π 4=hN ，由于 h = k 得E= NkD0 2 3 m8m m B D 0 B16 vs 8一股晶体德拜温度为~ 102K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热解答（初稿）作者 季正华 - 8 - 能相比拟．黄昆 固体物理 习题解答3.11 一维复式格子 m = ×5 1.67 10−24g,104/ ), 求：（1）光学波 ω max0,ωmin0，声学波 ω Amax 2）相应声子能量是多少电子伏3）在 300k 时的平均声子数01M=4, β = 1.5 10 /m( 1.51×（4）与ω max相对应的电磁波波长在什么波段解（1），ω Amax= 2β = 2 1.5 104×/24 = 3.00 1013s−1,β (M)4 5 1.67 10( ) ×M m 4 × × + × 24 /ωo = 2 = 2 1.5 10 4 5 5 1.67 10 = 13 −1max 24 24 6.70 10 s2βMm2 1.5 1044 5 1.67 10× × ×5 1.67 10/ω A = = = 13 −1max mω A =245 1.67 10−16 ×5.99 1013 −1 =s−2eh max 6.58 10 5.99 10 s 1.97 10 Vω o（2） h max= 6.58 10 −16 × 13s−1=6.70 104.41 10 −2eVω oh minnA==−16 ×6.58 10113s−1 =3.00 10= 0.873, nO−23.95 101=eV= 0.221（3） maxnO =ωAehmax1/k TB−1= 0.276max ωOehmax/k TB−1min O /k T2ehωminB −1（4） λ = π c=28.1μ mω解答（初稿）作者 季正华 - 9 - 。