高中数学必修四教学案合集.doc

§1.1　任意角、弧度1．1.1　任意角课时目标1．了解任意角的概念，能正确区分正角、负角与零角．2．理解象限角与终边相同的角的定义．掌握终边相同的角的表示方法，并会判断角所在的象限．1．角(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着它的 ________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型 定义 图示正角 按______________所形成的角负角 按______________所形成的角零角 一条射线______________，称它形成了一个零角2.象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴正半轴重合，建立平面直角坐标系，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是________________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________}，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和．一、填空题1．经过 10 分钟，分针转了________度．2．若角 α 与 β 的终边相同，则 α－β 的终边落在______．3．若 α 是第四象限角，则 180°－α 是第____象限角．4．－2011° 是第 ________象限角．5．与－495° 终边相同的最大负角是________，最小正角是________．6．已知 α 为第三象限角，则 所在的象限是第________象限．α27．如图所示，终边落在阴影部分(含边界) 的角的集合是________________________ ．8．若 α＝1 690°，角 θ 与 α 终边相同，且－360°0)，当 α 为多少弧度时，该扇形有最大面积？1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数) 与它对应 ；反过来，每一个 实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于 这个实数的角) 与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题 的关键在于充分利用“180°＝π”这一关系式．易知：度数× ＝弧度数，弧度数× ＝度数．π180 (180π)3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．1．1.2　弧度制知识梳理1．(1) 　(2)半径长　1 rad　(3)|α |＝ 　终边的旋转方向　正数　负数　01360 lr2．2π 　 360°　π　180°　 　 °π180 (180π)3. 　 αR　 　 αR2　 lRαπR180 απR2360 12 12作业设计1．－ π34解析　∵－ π＝－2π＋ ，∴θ＝－ π.114 (－ 34π) 342．25解析　216° ＝216 × ＝ ，π180 6π5l＝α·r＝ r＝30π，∴ r＝25.6π53．A＝B4.2sin 1解析　r＝ ，∴l＝|α|r ＝ .1sin 1 2sin 15．1 或 4解析　设扇形半径为 r，圆心角 为 α，则Error! ，解得Error! 或Error!.6．{α|0≤α≤π}解析　集合 A 限制了角 α 终边只能落在 x 轴上方或 x 轴上．7．{β |β＝2kπ ＋ ，k∈Z}2π3解析　 由对称性知，β 角的终边与 的终边相同，2π3∴β 角的集合是{β| β＝2k π＋ ，k∈Z}2π38.{－ 11π3，－ 5π3，π3，7π3}解析　由题意，角 α 与 终边相同，则 ＋2π＝ π，π3 π3 73－ 2π＝－ π， －4π ＝－ π.π3 53 π3 1139. π 或 π73 103解析　－ π＋ π＝ π＝ π，76 72 146 73－ π＋ π＝ π＝ π.76 92 206 10310．2∶3解析　设扇形内切圆半径为 r，则 r＋ ＝r ＋ 2r＝a.rsin π6∴a＝ 3r，∴S 内切 ＝πr 2.S 扇形 ＝ αr2＝ × ×a212 12 π3＝ × ×9r2＝ πr2.12 π3 32∴S 内切 ∶S 扇形 ＝2∶3.11．解　设扇形的圆心角为 θ，半径 为 r，弧长为 l，面 积为 S，则 l＋2r＝40， ∴l＝40－2r.∴S＝ lr＝ ×(40－2r )r＝20r－r 212 12＝－(r－10) 2＋100.∴当半径 r＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm2，此时 θ＝ ＝ ＝2 rad.lr 40－ 2×101012．解　 设第一次相遇所用的 时间为 t 秒．∵圆 的半径 为 R＝4，∴ 4( t＋ t)＝2π ×4，π3 π6解得 t＝4，故 P 点走过 rad，Q 点走过 － rad.4π3 2π3答　P，Q 第一次相遇时所用的时间为 4 秒，P，Q 点各自走过的弧度分别为 rad，4π3－ rad.2π313．4 2解析　设圆半径为 r，则内接正方形的 边长为 r，圆弧长为 4 r.2 2∴圆 弧所 对圆心角| θ|＝ ＝4 .42rr 214．解　(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓 ，∵α＝ 60°＝ ，R＝10，∴l＝αR＝ (cm)．π3 10π3S 弓 ＝S 扇 －S △＝ × ×10－ ×102×sin 60°12 10π3 12＝50 (cm2)．(π3－ 32)(2)扇形周长 c＝2R＋l＝2R＋ αR，∴α＝ ，c－ 2RR∴S 扇 ＝ αR2＝ · ·R2＝ (c－2R) R12 12c－ 2RR 12＝－R 2＋ cR＝－(R－ )2＋ .12 c4 c216当且仅当 R＝ ，即 α＝2 时，扇形面积最大，且最大面积是 .c4 c216§1.2　任意角的三角函数1．2.1 　任意角的三角函数 (一)课时目标1．借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 定义.2.熟记正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号．1．任意角三角函数的定义设角 α 终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为 r，则 sin α＝________，cos α ＝________，tan α＝________.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号一、填空题1．若角 α 的终边过点 P(5，－12) ，则 sin α＋cos α＝________.2．点 A(x，y)是 300°角终边上异于原点的一点，则 的值为________．yx3．若 sin α0，则 α 是第____象限角．4．角 α 的终边经过点 P(－b,4) 且 cos α＝－ ，则 b 的值为________．355．已知 x 为终边不在坐标轴上的角，则函数 f(x)＝ ＋ ＋ 的值域是|sin x|sin x cos x|cos x| |tan x|tan x________．6．α 是第一象限角，P( x， )为其终边上一点且 cos α＝ x，则 x＝________.5247．已知 α 终边经过点(3a－9，a＋2) ，且 sin α>0，cos α≤0，则 a 的取值范围为________．8．代数式：sin 2cos 3tan 4 的符号是________．9．已知点 P 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，则 θ 的值为________．(sin34π，cos34π)10．若角 α 的终边与直线 y＝ 3x 重合且 sin α0，∴α 是第一、三象限角，故 α 是第三象限角．4．3解析　r＝ ，cos α＝ ＝ ＝－ .b2＋ 16－ br － bb2＋ 16 35∵α 的 终边经过点 P，cos α＝－ ，35∴α 为 第二象限角，∴b>0，∴b＝3.5．{－1,3}解析　若 x 为第一象限角， 则 f(x)＝3；若 x 为第二、三、四象限，则 f(x)＝－1.∴函数 f(x)的值域为{－1,3}．6. 3解析　 r＝ ，cos α＝ ，x2＋ 5xx2＋ 5由 ＝ (x>0)，2x4 xx2＋ 5解得 x＝ .37．－20，cos α≤0，∴α 位于第二象限或 y 轴正半轴上，∴3a－9 ≤0，a＋ 2>0，∴－20，π2∵ 0.π2 32∴sin 2cos 3tan 40，cos π0，∴式子符号为正．(2)∵108°是第二象限角，∴ tan 108°0.从而 0.当 k＝2n (n∈Z)时，2nπ0，cos >0，tan >0.θ2 θ2 θ2当 k＝2n＋1 (n∈Z )时，2nπ＋ π0，θ2 θ2 θ2从而 tan >0，而 4kπ0，则 r＝17a，于是sin α＝ ，cos α＝－ ，tan α＝－ .817 1517 815(2)若 a” 连接)．5．集合 A＝[0,2π]，B＝{α |sin α ，则角 α 的取值范围是________．32 127．如果 0 的解集是______________．339．已知 α，β 均为第二象限角，若 sin αsin 1.2>sin 1解析　∵1,1.2,1.5 均在 内，正弦线在 内随 α 的增大而逐渐增大，(0，π2) (0，π2)∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1.5. ∪ 　6. ∪[0，π4) (54π，2π] (0，π3) (5π3，2π)7．cos α 解析　 作出符合题意的正弦线 后，再作出 α，β 的正切线得 tan α>tan β.10. ，k∈Z(kπ－ π3，kπ＋ π3)解析　如图所示．∵3－ 4sin2x>0，∴sin2xcos α>0，(π4，π2)即 sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝ ，③1713sin α－cos α ＝ ，④713③＋④得 sin α＝ ，③－④得 cos α＝ .1213 51313．解　原式＝sin ＋cos .[kπ－ (π4＋ α)] [kπ＋ (π4－ α)]当 k 为奇数时，设 k＝2n＋1 (n∈Z)， 则原式＝sin [2n＋ 1π－ (π4＋ α)]＋cos [2n＋ 1π＋ (π4－ α)]＝sin ＋cos[π－ (π4＋ α)] [π＋ (π4－ α)]＝sin ＋(π4＋ α) [－ cos(π4－ α)]＝sin －cos(π4＋ α) [π2－ (π4＋ α)]＝sin －sin ＝0；(π4＋ α) (π4＋ α)当 k 为偶数时，设 k＝2n (n∈Z)， 则原式＝sin ＋cos[2nπ－ (π4＋ α)] [2nπ＋ (π4－ α)]＝－sin ＋cos(π4＋ α) (π4－ α)＝－sin ＋cos(π4＋ α) [π2－ (π4＋ α)]＝－sin ＋sin ＝0.(π4＋ α) (π4＋ α)综上所述，原式＝0.14．解　由条件，得Error!①2＋② 2，得 sin2α＋3cos 2α＝2，③又因为 sin2α＋cos 2α＝1，④由③④得 sin2α＝ ，即 sin α＝± ，12 22因为 α∈ ，所以 α＝ 或 α＝－ .(－ π2，π2) π4 π4当 α＝ 时，代入② 得 cos β＝ ，又 β∈(0，π)，π4 32所以 β＝ ，代入①可知符合．π6当 α＝－ 时，代入② 得 cos β＝ ，又 β∈(0，π)，π4 32所以 β＝ ，代入①可知不符合．π6综上所述，存在 α＝ ，β＝ 满足条件．π4 π6§1.3　三角函数的图象和性质1．3.1　三角函数的周期性课时目标1．了解周期函数，函数的周期、最小正周期.2.掌握形如 y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx ＋φ)( A≠0) 的函数周期计算方法 T＝ .3.会用函数的周期性解决简单实际问2π|ω|题．1．周期函数的概念一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得定义域内的每一个 x 值，都满足 f(x＋T) ＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做________________ ，非零。