复数开方计算方法.doc

§ 复数的开方一、引入 1、复习复数的乘方公式 de Moiver公式 2、复数能开方吗？ 说到乘方我们自然想到开方，首要的问题是能不能开方.因为我们记得在实数中就是因为负数不能开方，所以我们才引入虚数单位，即引入虚数.那么复数能不能开方呢？需不需要引入新的数呢？n次方根有几个呢？我们这节课就来研究这个问题.二、复数的开方公式 1、问题：为了方便我们假设复数是可以开方的，即设是复数的n次方根，那么求即是求和 2、问题的解决：由n次方根的定义和de Moivre 公式，得 根据复数相等的含义，两个复数模相等，辐角相差，从而 即： 由于k的取值是无限多的，所以是无限多值的，难道有无限多吗？现在我们看看的变化对的影响：012…n-1nn+1……………我们可以看出到各不相同，但是= ………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..当k取到n以后就出现了重复，即呈周期性变化，所以我们只需要看前面n个值就可以了.从上面的探讨我们知道，任意复数的开方是可以实现的，不需要引入新的数，并且任意复数的n次方根恰有n个，即是上述k取0到n-1时的值.3、复数的开方公式复数的n次方根恰有n个，即： 其中注：口诀：（n次）方根恰有n个，先化三角再开方，模作开方角平均. 简记：模开方，角平均.（模取次算术根，角指的是辐角，形式上n个根平分辐角.）三、例题 例1、求i的平方根.解：的三角形式为：， 所以的平方根是： 即：，和注：验证：两根分别为：和，易验证他们的平方是i例2、求的立方根.解：的三角形式为：，所以它的立方根是： 即：，，E：1）求的平方根.2）求的立方根.五、作业： 1、求的平方根.2、求复数-16的四次方根.3、在复数范围内分解因式：。