概率论与数理统计：第3章 第五节两个随机变量的函数的分布.ppt

概率统计一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其 推广到多个随机变量的情形推广到多个随机变量的情形 在在多维随机变量多维随机变量中需讨论：已知随机变中需讨论：已知随机变 量量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求及其联合分布，如何求 出它们的函数：出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布的联合分布 第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 研究的问题研究的问题在在一维随机变量一维随机变量中讨论了：已知随机中讨论了：已知随机变量变量 X 及它的分布，如何求其函数及它的分布，如何求其函数的分布概率统计一一. Z=X+Y 的分布的分布(和的分布和的分布)设设 ( X, Y )的概率密度为的概率密度为 f( x, y). 则则 Z= X + Y 的分布函数为的分布函数为:固定固定 z 和和 x , 对内层积分对内层积分作变量替换作变量替换 y= u – x累累次次积积分分是直线是直线x+y =z 左下方左下方的半平的半平面面交换交换积分积分次序次序概率统计得得 Z=X+Y 的的概率密度为概率密度为:注注: 当当 X, Y 相互独立相互独立时，则由时，则由或或称为称为卷积公式卷积公式记为：记为：由由 X 和和 Y 的对称性，的对称性， fZ (z)又可写为：又可写为： 有有:概率统计例例1. 设设 X 和和 Y相互独立的随机变量，且相互独立的随机变量，且求求：：Z = X + Y 的概率密度的概率密度解解: 利用利用卷积公式卷积公式：：概率统计概率统计 结论结论:推广推广到到 n 个相互独立正态随机变量之和，即：个相互独立正态随机变量之和，即： 若随机变量若随机变量 X 和和 Y 相互独立，且相互独立，且▲则它们的则它们的和和仍服从正态分布，仍服从正态分布，即：即：▲且且它们相互独它们相互独立，则它们的立，则它们的和和仍服从正态分布。

即有：仍服从正态分布即有：▲更更一般一般的有：有限个相互独立的正态随机变量的的有：有限个相互独立的正态随机变量的的的线性组合线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布概率统计例例2.且且 X, Y 的概率密度分别为的概率密度分别为:求求: Z = X + Y 的分布的分布概率统计解解: 当当 时，时，当当 时，时， 令：令： 从从概率统计Beta 函数定义：函数定义： B(m,n) =且且 B 函数与函数与 函数之间有关系式：函数之间有关系式：概率统计 结论结论:从而得：从而得：▲布，则它们的布，则它们的和和仍服从参数为仍服从参数为 若若 相互独立，且服从参数为相互独立，且服从参数为的的 分分的的 分布分布▲ 推广推广：：服从参数为服从参数为则其和则其和概率统计此时则此时则称称 X 服从自由度为服从自由度为 n 的的开平方分布开平方分布，记，记为：为：▲特别特别当当 时，时，的密度函数为：的密度函数为：▲ 若若 相互独立，并均服从相互独立，并均服从, 则则正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从 分布分布概率统计 例例3.求求: Z = X + Y 的分布的分布解解:(服从泊松分布服从泊松分布)，，且且 X, Y 相互独立。

相互独立设设与与 的取值均为：的取值均为：的取值也为非负的整数的取值也为非负的整数因为因为 X与与Y 相相互独立互独立概率统计 结论结论:服从参数为服从参数为 的泊松分布，且的泊松分布，且若若 X, Y 相互独立则它们的和服从参数为相互独立则它们的和服从参数为 泊松分布，即：泊松分布，即：概率统计例例4. 若若X 和和 Y 相互相互独立独立，，具有具有相相同的概率密度同的概率密度：：求：求：Z = X +Y 的概率密度的概率密度 为确定积分限，先找出使被积函数不为为确定积分限，先找出使被积函数不为 0 的区域的区域 由卷积公式：由卷积公式：也即也即解解:由已知：由已知：概率统计 于是得：于是得：如图示如图示:区域区域概率统计例例1 ~ 例例3说明说明：不论是连续型随机变量还是离：不论是连续型随机变量还是离散型随机变量，如果它们服从正态分布散型随机变量，如果它们服从正态分布, 分分布或泊松分布，那么它们的和也仍然服从正态布或泊松分布，那么它们的和也仍然服从正态, 分布或泊松分布，并且参数是单个参数之相加分布或泊松分布，并且参数是单个参数之相加,具有这种性质的随机变量也具有这种性质的随机变量也称称其为满足或具有其为满足或具有可加性可加性的随机变量。

的随机变量归纳归纳 求解例求解例1 ~ 例例3过程中知：过程中知： 在求随机向量在求随机向量( X, Y ) 的函数的函数 Z = g( X, Y ) 的分布时，的分布时，关键是关键是设法将其设法将其 转化为转化为( X, Y )在一定范围内取值的形式，从而利在一定范围内取值的形式，从而利 用已知的分布求出用已知的分布求出 Z = g( X, Y ) 的分布▲▲概率统计 二二. 的分布的分布 (商的分布商的分布) 设设 ( X, Y ) 的概率密度为的概率密度为 f( x, y )则则 的分布函数为的分布函数为: 对于对于固定固定 z, y 令令:概率统计同样有同样有: 故有故有:对对 求导得求导得 概率密度函数为概率密度函数为: 概率统计注注: 当当 X, Y 相互独立时相互独立时, 则有则有:例例5. 设设 X, Y 的概率密度分别为的概率密度分别为:并且并且 X, Y 相互独立相互独立。

求求：： 的概率密度函数的概率密度函数 概率统计解解: 因为因为 X, Y 的取值范围分为大于零与小于等于零的取值范围分为大于零与小于等于零两段，所以两段，所以 Z 的取值范围也分为：的取值范围也分为：当当 时时：： 当当 时时：： 概率统计 三、三、M = max ( X, Y ) 及及 N = min( X, Y ) 的分布的分布最大值最大值和最小和最小值分布值分布 设设X，，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布是两个相互独立的随机变量，它们的分布 函数分别为函数分别为FX ( x ) 和和FY ( y ) 所以得：所以得：求：求：M = max ( X, Y ) 及及 N = min ( X, Y ) 的分布函数的分布函数.1. M = max ( X, Y ) 的分布的分布解：解：因为：因为：概率统计2. N = min ( X, Y ) 分布分布所以：所以： 从而得：从而得：因为：因为：由独立性由独立性概率统计注注:所以得：所以得：▲与与由由通过对其求导得相应的通过对其求导得相应的概率密度函数概率密度函数▲ 推广推广：：是是 个相互独立的随机变个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为：量，它们的分布函数分别为：则：则：的的分布函数分别为分布函数分别为:概率统计▲ 特别特别，当，当相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的分布函数分布函数 F(X) 时（即独立同分布），则有：时（即独立同分布），则有：设设随随机机变变量量X1, X2相相互互独独立立，，并并且且有有相相同同的的几几何何分分布布，，即即 P( Xi = k ) = p( 1 – p ) k -1 , k=1, 2, … ( i =1, 2) 例例6.求求：： 的分布的分布解解：： 解法一解法一因为：因为：P( Y = n ) = P( max( X1, X2) = n )概率统计= P( X1= n, X2≤n ) + P( X2 = n, X1 < n )记记:1 – p = qn = 0, 1 , 2, …而：而：P( Y = n ) = P( max(X1, X2) = n )因为：因为： P( Y = n ) = P( Y ≤ n ) - - P( Y ≤ n -1 )解法二解法二概率统计= P( max( X1, X2 ) ≤ n ) - - P( max( X1, X2 ) ≤ n – 1 )= P( X1≤ n, X2≤n ) - - P( X1 ≤ n - 1, X2 ≤ n – 1 )n = 0, 1, 2,…而而：： P( Y = n ) = P( Y ≤ n ) - - P( Y ≤ n -1 )概率统计系统系统 L 的工作情况的工作情况( 教材教材 P181 页页 例例5））例例6.。