第六章自旋和角动量.doc

第六章 自旋和角动量一、填空1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法.2. 在 的共同表象中，算符 对应的矩阵分别是),ˆ(x2zyx、、_____、_____和_____.二、概念与名词解释1. 电子自旋2. 泡利矩阵3. 无耦合表象，耦合表象4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应三、计算1. 求自旋角动量算符在(cosα, cosβ, cosγ)方向的投影Sn=Sxcosα+Sycosβ+Szcosγ 的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求 Sz 的取值概率及平均值.2. 求下列状态中算符 的本征值：)SLJ(,z2v).,()YS (4) ),()YS,231/ ()() (2)()1- z/- 1- z1/2 10z/ /- 1/z1/23. 对自旋态 .)()( , 2y2x2/ 求4. 一个由两个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系. 已知粒子 1 处在 S1z=1/2 的本征态，粒子 2 处在 S2x=1/2 的本征态，取 ħ＝1，求体系总自旋 S2 的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率.5. 考虑三个自旋为 1／2 的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 A、B 为实常数，试找出体系的守恒量，,)B(AH321vv并确定体系的能级和简并度(取 ħ＝1 为单位).6. 设氢原子处于状态 求轨道角动量 z 分量 ,)/2(rYR3-,())r(102v和自旋 z 分量的平均值，进而求出总磁矩 的 z 分c/Se-Lvv量的平均值.7. 设总角动量算符为 ，记算符 J2 与 Jz 的共同本征函数为 |jm>，当Jˆvj=1 时：(1) 写出 J2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x>x ；(2) 若体系处于状态 求同时测 J2 与 Jx 的取值概率； ,2]/1-[(3) 在|ψ> 状态上，测量 Jz 得 ħ 时，体系处于什么状态上；在|ψ> 状态上，计算 Jy 的平均值.8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于 p 态和 s 态，求出其总轨道角动量的可能取值.9. 用柱坐标系，取磁场方向沿 z 轴方向，矢势Aφ=Bρ/2， Aρ=Az=0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量.10. 自旋为 1/2 的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足Bx=Bsinθcosωt，B y=Bsinθsinωt，B z＝Bcosθ.设 t=0 时自旋在磁场方向上的分量等于 1/2，求在时刻 t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2 的态中的概率.11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场 U(r)=meω02r2/2 中运动，求粒子的能谱.12. 自旋为 ħ/2 的粒子处于线谐振子位势中，t=0 时粒子处于状态求 t>0 时的. )/3(Sx2)/3(Sx2-)/3(Sx,0)S( z1/2z1/2- z1/2z 波函数及能量的取值概率与平均值. 为该线谐振子的第 n 个()n本征态.13. 设体系由两个自旋为 ħ/2 的非全同粒子构成，若体系处于两个粒子的自旋状态分别为|χ 1>、|χ 2>的状态中，分别求出体系处于单态与三重态的概率.其中 ./2)exp(isin-co ;021 14. 两个自旋为 ħ/2 的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间的相互作用为 其中 c 是常数. 设 t=0 时粒子 1 的自旋 ,Sˆc21v沿 z 轴正方向，粒子 2 的自旋沿 z 轴负方向，求 t>0 时测量粒子 1 的自旋仍处于 z 轴正方向的概率 .四、证明1. 设 是与泡利算符对易的两个矢量算符，证明BˆAv、 )BˆA(iˆ)(v2. 如果 ψm 是 Lz 的本征态，满足本征方程 Lzψm＝mħψ m，现在将 z轴转一个角度 θ，变成 z＇轴，求证：=mħcosθ.3. 设 求证： ,J21v(1) 即 J1z 的矩阵对于量子数 m 是对角化的； ,jj''j1zz(2) ; m'Jm' 1'1 (3) 当 时，1j'-. 0jmJ'14. 对于两个自旋 1/2 的粒子组成的体系，证明张量算符和 S2 及 对易. 为总自旋， 是总角动12112-)/r(r3SvvJSvJv量， 是体系的轨道角动量，在质心坐标系中， 的算L J， L符形式是 .21r,riprh五、综合题1. 在 σz 表象中，写出算符 的矩阵形式，2/)ˆi(ˆ /)(Qˆ yxz和并证明如下关系成立： .ˆ-ˆ ;Qˆ ;ˆ 0;ˆ0abab0;ˆ ;; 1; z---2- ---2-2-  2. 证明 并由此求出 的本征值. ,)ˆ2(-3)ˆ(121vv 21v3. 对于两个自旋为 1/2 的粒子组成的体系，令取 ħ＝1，定义张量算符 )r(/ e, r-21 ，方 向 上 的 单 位 矢 量21r2r-)3(Svv(1) 证明 (S12)2=4S2-2S12， 是总自旋. 再进而证明 S12 的任意正整数S次幂均可表示为 S12 和 S2 的线性组合；(2) 求 S12 的本征值；(3) 令 机会均等地经历各种方向，求 S12 的平均值.rev4. 氘是质子和中子的束缚态，其总角动量 J＝1. 现已知它主要是由S(l=0)态组成并且有很少的 D(l=2)态参与进来：(1) 解释为什么 P 态不能参与？(2) 解释为什么 G 态不能参与？(3) 计算 n-p 体系(总角动量 J=1)处在纯 D 态时的磁矩.假设 n 和 p 自旋耦合形成总自旋 ，然后总自旋在与轨道角动量 耦合形成总SvLv角动量 ，用核磁子表示你的结果. 已知质子和中子的磁矩分别Jv示 2.79 和－1.91 核磁子.5. 在 的态中2121m ,J(1) 若 j1=1, j2=1/2, j=3/2, m=1/2,求克莱布希－戈尔登系数；(2) 考虑下列反应：(a) π+p→π +p(b) π－ p→π － p(c) π－ p→π 0n这些同位旋守恒的反应能在同位旋 I=3/2 的 Δ 共振态或在 I=1/2的 N*共振态中产生，试分别就对应于 Δ 共振和 N*共振的能量计算截面比 σa、σ b、σ c.在一个共振能处可忽略其他同位旋态产生的影响，π 介子的同位旋是 I=1 态，核子的同位旋是 I=1/2 态.6. 一个 π－ 介子(赝标粒子、自旋为零、奇宇称)最初被束缚在氘核周围，并处在最低库仑能态上. 它被氘核(一质子和一中子处在 3S1态中)俘获，并使氘核转变为一对中子 π－ +d→n+n (1) 中子对的轨道角动量和总自旋角动量是多少？(2) 发现两个中子的自旋均与氘核的自旋相反的概率是多少？(3) 如果氘核的自旋在最初全部指向 方向，发现自旋反向的中子的Rˆv发射概率(单位立体角)的角分布是多少？7. 讨论一个中性粒子，它的内禀角动量是 其中 S=ħ/2，即 ,1)S(它是一个自旋为 1/2 的粒子. 假设这粒子有一磁矩 γ 是一 ,SMv个常数. 这个粒子的量子态可用自旋空间描述. 它的基矢是 Sz 的两个本征态|+>和|－>，分别代表其自旋方向平行和反平行于 z 轴，即有 Sz|+>= ħ/2|+>，S z|－>=－ħ/2|－> . 在 t=0 时，体系状态是|ψ>(t=0)= |+>.这一粒子沿 y 轴运动，通过一沿 y 轴方向的均匀磁场 .jB0v(1) 求 |ψ>(t)，用|+>和| －>来表示.(2) 、、作为时间函数的表达式 .。