[理学]第一章 函数、极限与连续.ppt

第一章 函数、极限、连续内容函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇 偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等 函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右 极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的 性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两 个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续 性 闭区间上连续函数的性质要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法 则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无 穷大量的概念及其与无穷小量的关系．8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断 点的类型． 9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函 数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些 性质 §1.1 函数内容重点：复合函数，特别是分段函数的复合1.函数的表示法高等数学中常用解析法（数学表达式），根据形 式的不同分为显函数、隐函数和分段函数。

v显函数 函数由自变量的解析式直接表示v隐函数 函数自变量与因变量的对应关系由方程确定如： v分段函数如:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例 绝对值函数xyO一般把含绝对值的函数作为分段函数处理， 即把含绝对值的函数化成分段函数补充：绝对值:运算性质:绝对值不等式:取最值函数通常也是分段函数2.函数关系的建立在应用数学解决实际应用问题的过程中，先要将 该问题量化，然后分析哪些是常量，哪些是变量，确 定选取哪个作为自变量，哪个作为因变量，最后把实 际问题中变量之间的函数关系正确抽象出来，根据题 意建立起它们之间的数学模型经济学中几种常见函数关系 ：3. 函数的几种特性(1) 函数的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX无界则称函数若有 成立，f (x)在X上有界.否则称为无界.函数有界性的判断一般借助极限与连续的性质判定注意: ※闭区间上的连续函数一定有界※开区间上的连续函数，若左端点的右极限及右 端点的左极限存在，则函数在此开区间上有界定理(2) 函数的单调性:(3) 函数的奇偶性:偶函数yxox-x设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于有f (-x)= f (x)恒成立,则称f (x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数 y=cosx是偶函数.奇函数yxox-x设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 有f (-x)= -f (x)恒成立,则称f (x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.若在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,必有函数 y=sinx是奇函数.函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.(4) 函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f (x)为周期函数, l 称为f (x)的周期.一有且恒成立,设函数f (x)的定义域为D,如果存在一个正数l ,使得对于任周期为 周期为注: 周期函数不一定存在最小正周期.函数sinx, cosx的周期是函数tanx的周期是如,常量函数,是没有最小正周期的周期函数.4. 复合函数定义:xuy注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 ;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成；5、基本初等函数与初等函数基本初等函数（6类）：常数函数、幂函数、指数 函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

xyOy=C（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数（6）反三角函数初等函数:由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的 函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.§1.2 极限内容重点：1.求极限的方法：⊙极限的四则运算法则⊙两个基本极限 ⊙等价无穷小量替换⊙夹逼定理 ⊙单调有界准则⊙罗比达法则2.无穷小量阶的比较1.1.极限的运算法则极限的运算法则设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则2.2.两个基本极限两个基本极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限3.3.夹逼定理夹逼定理注意:准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则.4.4.单调有界准则单调有界准则常用等价无穷小:注：用任意无穷小量 代替x后上述等价关系 仍成立 例如,5.5.等价无穷小量替换等价无穷小量替换定理(等价无穷小替换定理)等价无穷小量替换只能用于乘除，不 能用于加减！要牢记 啊！定理定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为罗比达法则.6.6.罗比达法则罗比达法则运用罗必达法则时的注意事项运用罗必达法则时的注意事项在运用罗必达法则时 , 但也不是无穷大 , 则不能说明在 . 此时应重新另找其它方法进行计算 .罗必达法则只限于求其它类型的未定式应首先化成这两种形式才能用罗必达法则 .如果在使用罗必达法则后 , 则条件 , 则可继续使用罗必达法则 .使用罗必达法则要 注意观察条件是否 满足, 不然会出错.关键:将其它类型未定式化为罗必达法则可解决 的类型 .步骤:步骤:步骤:即：幂指函数的极限先转化为以即：幂指函数的极限先转化为以e e为底的指数函数的极限为底的指数函数的极限在运用罗必达法则求极限过程中, 极限存在并且不等于零的因子可以提出来, 这样可使问题简化.在求极限过程中, 能化简要先化简，能用等 价无穷小量替换要尽可能使用，最后考虑罗 比达法则。

极限计算的 重要原则数列极限的计算定理注：数列极限的计算一般先化为函数极限然后利用函数极限的计算方法定义:7.7.无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较问题实质上是无穷小量阶的比较问题实质上是型未定式的极限问题，型未定式的极限问题，故可用罗比达法则故可用罗比达法则 §1.3 连续内容重点：函数的连续性及间断点的分类设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.a.函数连续性的定义 (极限形式)函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.定义定义是整个邻域1.连续的定义1.1.函数的连续性函数的连续性连续性概念的增量形式连续性概念的增量形式则称 f (x) 在点 x0 处连续.设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若定义定义自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.2.单侧连续设函数 f (x) 在 [x0, x0+ ) 内有定义. 若则称 f (x) 在 x0 点处右连续.设函数 f (x) 在 (x0–  , x0 ] 内有定义. 若则称 f (x) 在 x0 点处左连续.其中,    为任意常数.定义定义常用于分段函数在分段点处连续性的讨论.定理定理3.连续函数与连续区间在开区间内每一点都连续的函数,叫做在该开区 间内的连续函数,或者说函数在该区间内连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.基本初等函数在定义域内是连续的.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.4.初等函数的连续性★★定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.5.闭区间上连续函数的性质定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M 与最小值 m 之间的任何值.6. 函数的间断点通常将函数的不连续点叫做函数的间断点.第一类间断点:及均存在 ,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在 ,称若其中有一个为振荡 ,称若其中有一个为为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点 .为振荡间断点 .间断点的类型可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx。