高一数学复合函数讲解(共6页).doc

　1、复合函数的概念　　如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y　　例如：函数是由复合而成立　　 函数是由复合而成立　　a是中间变量2、复合函数单调性　　由引例 对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且　　对任意，　　当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减　　∵当a＞1时，　　∵y=f（u）是上的递减函数 ∴　　∴　　∴是单调递减函数类似地，　当0＜a＜1时，是单调递增函数　　一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N　　有以下四种情况：　　（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；　　（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；　　（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；　　（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。

注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集例1、讨论函数的单调性（1）（2）　　又是减函数　　∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）　　②x∈（-1，3）　　令　　∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的　　∵是增函数　　∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减　　注意：要求定义域 　　练习：求下列函数的单调区间　　1、（1）减区间，增区间；　　（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；　　（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数2、已知求g（x）的单调区间　　提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）　　的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）　　　　例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）　　（1）y=f（x）的表达式及定义域；　　（2）求y=f（x）的值域；　　（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数　　答案：（1）x∈（0，3）　　（2）（0，]　　（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数　　当x∈时，；　　当x∈时，。

　　 例3、确定函数的单调区间　提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论　函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）　函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]　1、求下列函数的单调区间1）（2）（3）2、求函数的递减区间3、求函数的递增区间4、讨论下列函数的单调性1）（2）答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）2、[，2] 3、（-∞，-2）4、（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；用待定系数法求函数解析式 一、填空题：1、已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，则m＝ 2、抛物线过点(1，0)，与x轴两交点间距离3，则b＝ ，c＝ 3、抛物线与x轴只有一个交点，则b＝ 4、抛物线的顶点是C(2，)，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程的两个根，则AB＝ ，S△ABC＝ 5、如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，当线段AB最短时，线段OC的长是 。

6、若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 7、抛物线与x轴有 个交点二、选择题 1、抛物线与y轴的交点坐标是( )(A)(0，－5)； (B) (0，13)； (C) (0，4)； (D) (3，－5)2、抛物线的顶点坐标为( )(A) (B) (C) (D) (－1，0)3、若抛物线的顶点在y轴上，则m的值为( )(A)－3 (B)3 (C)－2 (D) 24、若抛物线的顶点在x轴上，则c的值为( )(A) ； (B) ； (C) ； (D) 5、函数图象可能为( )6、若(2，5)，(4，5)是抛物线上的两点，那么它的对称轴为直线( )(A) (B) (C) (D) 7、抛物线与x轴的交点个数是( )(A)0； (B)1； (C)2； (D)无数个三、求符合下列条件的二次函数式图象：1、过点(0，1)，(1，1)，(－1，－1)； 2、对称轴是x＝2，经过(1，4)和(5，0)两点。

3、抛物线与x轴的一个交点(6，0)，顶点是(4，－8)4、当x＝3时，y有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3)5、抛物线以点(－1，－8)为顶点，且与y轴交点纵坐标为－66、顶点在x轴上，对称轴方程x＝－3，且经过点(－1，4)7、求二次函数的图象与x轴两交点间的距离的最小值，此时m的值是多少？8、二次函数图象经过A(0，2)和B(5，7)两点，且它的顶点在直线y＝－x上。