[教师]九年级相似三角形动点问题.doc

...wd... 相似三角形动点问题一．选择题〔共1小题〕1．如图，小正方形的边长均为1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点三角形和△ABC相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为〔　　〕　A．0.5，2.5B．0.5，5C．1，2.5D．1，5解：如以以下图，△DEF和△GHI分别是面积最小和面积最大的三角形．因为△DEF，△GHI和△ABC都相似，AB=，DE=1，GH=，所以它们的相似比为DE：AB=1：，GH：AB=：，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而△ABC的面积为2×1=1，故△DEF和△GHI面积分别为0.5，5．应选B．二．填空题〔共10小题〕2．如图，P是Rt△ABC斜边AB上的动点〔P异于A、B〕，∠C=90°，∠B=30°，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，当=或或时，截得的三角形面积为△ABC面积的．716358解：设P〔lx〕截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴，②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴，③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=∴，④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且 ，∴=，∴=，∴当=或或时，截得的三角形面积为Rt△ABC面积的，故答案为：或或．3．如图，在正方形ABCD中，M是BC边上的动点，N在CO上，且，假设AB=1，设BM=x，当x=或时，以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似．相似三角形的性质；正方形的性质．7，AB=1∴CN=×1=，∵BM=x，∴CM=1﹣x，①当CN与BM是对应边时，=，即=解得x=，②当CN与AB是对应边时，=，即=，解得x=．综上所述，x的值是或．故答案为：或．4.在△ABC中，P是AB上的动点〔P异于A、B〕，过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P〔lx〕〔x为自然数〕．〔1〕如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P〔l1〕、P〔l2〕都是过点P的△ABC的相似线〔其中l1⊥BC，l2∥AC〕，此外，还有　1　条；〔2〕如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P〔lx〕截得的三角形面积为△ABC面积的．分析：〔1〕过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；〔2〕按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解：〔1〕存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；〔2〕设P〔lx〕截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．5．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　3秒或4.8秒　．71动点型；分析：如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=12﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：6=〔12﹣2t〕：12∴t=3；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：12=〔12﹣2t〕：6，∴t=4.8．故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．三．解答题〔共19小题〕1．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，假设两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．动点型．分析：首先设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t〔0≤t≤6〕，然后分别从当MN∥BC时，△AMN∽△ABC与当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC去分析，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似〔无此过程不扣分〕设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t〔0≤t≤6〕，〔1〕当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，〔1分〕则，即，〔3分〕解得t=3；〔5分〕〔2〕当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，〔6分〕则，即，〔8分〕解得t=4.8；〔10分〕故所求t的值为3秒或4.8秒．2．∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：〔1〕将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D．①在图甲中，证明：PC=PD；②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比；〔2〕将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长．分析：〔1〕①可通过构建全等三角形来求解；②可根据相似比来求面积比．〔2〕分两种情况进展讨论：①当C在OA上上时；②当C在OA延长线上时；解：〔1〕①证明：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，得∠HPN=90°∴∠HPC+∠CPN=90°∵∠CPN+∠NPD=90∴∠HPC=∠NPD∵OM是∠AOB的平分线∴PH=PN又∵∠PHC=∠PND=90°∴△PCH≌△PDN∴PC=PD②∵PC=PD∴∠PDG=45°∵∠POD=45°∴∠PDG=∠POD∵∠GPD=∠DPO∴△POD∽△PDG∴．〔2〕①假设PC与边OA相交，∵∠PDE＞∠CDO令△PDE∽△OCD∴∠CDO=∠PED∴CE=CD∵CO⊥ED∴OE=OD∴OP=ED=OD=1②假设PC与边OA的反向延长线相交过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，∵∠PED＞∠EDC令△PDE∽△ODC∴∠PDE=∠ODC∵∠OEC=∠PED∴∠PDE=∠HCP∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND∴HC=ND，PC=PD∴∠PDC=45°∴∠PDO=∠PCH=22.5°∴∠OPC=180°﹣∠POC﹣∠OCP=22.5°∴OP=OC．设OP=x，则OH=ON=∴HC=DN=OD﹣ON=1﹣∵HC=HO+OC=+x∴1﹣=+x∴x=即OP=3．如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点P从A出发以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q也从点A出发以每秒1cm的速度向终点E运动．设运动的时间为t秒．解答以下问题：〔1〕当0＜t≤3时，以A、P、Q为顶点的三角形能与△ADE相似吗〔不必说理由〕〔2〕连接DQ，试求当t为何值时△ADQ为等腰三角形．〔3〕求t为何值时直线PQ平分矩形ABCD的面积．716358 分析：〔1〕不能相似，因为相似时，只能∠AQP=90°，∠QPA=30°，而△ADE中的锐角不能为30°；〔2〕分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，③当QA=QD时，求出AQ长即可；〔3〕连接AC，取AC中点O〔即AO=OC〕，当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，根据△ROC≌△POA，求出CR=AP=2t，得出RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，根据△RQE∽△PQA得出=，代入求出即可．解：〔1〕不能相似；〔2〕∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=6cm，∠ADC=90°，分为三种情况：①当AD=AQ=3cm时，此时t=3； ②当DA=DQ时，过D作DM⊥AE于M，在Rt△ADE中，AD=3，DE=DC﹣CE=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AE=5cm，由三角形的面积公式得：S△ADE=×AD×DE=AE×DM，∴DM=cm，在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM==〔cm〕，∵DM⊥AQ，AD=DQ，∴AQ=2AM=cm〔三线合一定理〕，即t=； ③当QA=QD时，过Q作QN⊥AD于N，则AN=ND=，∵∠ADC=∠ANQ=90°∴QN∥DC，∵DN=AN，∴EQ=AQ=AE=×5cm=cm，即t=综合上述，当t为3秒或秒或秒时，△ADQ是等腰三角形．〔3〕连接AC，取AC中点O〔即AO=OC〕，当直线PQ过O时，直线PQ平分矩形ABCD的面积，∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∴∠OCR=∠OAP，∵在△ROC和△POA中，，∴△ROC≌△POA〔ASA〕，∴CR=AP=2t，∵CE=2，∴RE=2t﹣2，EQ=5﹣t，∵DC∥AB，∴△RQE∽△PQA，∴=，=，解得：t1=3，t2=0〔舍去〕．即t=3秒时，直线PQ平分矩形ABCD的面积．4．：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如以以下图，P〔3，4〕为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两局部．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C的坐标．7163分析：根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似，根据网格构造写出此时点C的坐标即可；又当PC⊥OB时，分割得到的三角形与Rt△OAB也相似，根据网格构造，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标．解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为〔3，0〕，PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为〔6，4〕，PC⊥OB时，△CPB∽△OAB，根据勾股定理得，OB==10，∵P〔3，4〕为OB的中点，∴PB=OB=5，∴=，即=，解得BC=，AC=AB﹣BC=8﹣=，此时点C的坐标为〔6，〕，综上所述，点C的坐标为〔3，0〕，〔6，4〕，〔6，〕．5．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN。