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概率论第六章习题解答概率论第六章习题解答 1、在总体 2 (52,6.3 )N中随机抽取一容量为 36 的样本，求样本均值X落在 50.8 与 53.8 之 间的概率 解 因为 2 (52,6.3 )N，所以 50.8525253.852 {50.853.8}{} 6.3366.3366.336 X PXP   10.87.2 ()() 6.36.3   (1.71)( 1.14)   0.9564 1 0.87290.8293  2、在总体(12,4)N中随机抽取一容量为 5 的样本 1 X， 2 X， 3 X， 4 X， 5 X， （1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于 1 的概率 （2）求概率 12345 {max(,,,,)15}PXXXXX， 12345 {min{(,,,,)10}PXXXXX 解（1）总体均值为12， ，样本均值 5 1 14 (12, ) 55 i i XXN     所求概率为 {|12| 1}1{|12| 1}PXPX  1{ 1121}PX   1121 1{} 4 54 54 5 X P    55 1()() 22    22 (1.12) 2(1 0.8686)0.2628 （2） 1234512345 {max(,,,,)15}1{max(,,,,)15}PXXXXXPXXXXX  12345 1{15,15,15,15,15}P XXXXX  5 1 1{15} i i P X     5 1 1215 12 1{} 22 i i X P      5 1 ((1.5))   5 1 (0.9332)0.2923 . （3） 12345 {min{(,,,,)10}PXXXXX 12345 1{min{(,,,,)10}PXXXXX  12345 1{10,10,10,10,10}P XXXXX  5 1 1{10} i i P X     5 1 1(1{10}) i i P X     5 1 1210 12 1(1{}) 22 i i X P      5 1 1(1( 1)) i     5 1 1(1) i    5 1 (0.8413)1 042150.5285   3、求总体(20,3)N的容量分别为 10,15 的两个独立样本均值差的绝对值不超过 0.3 的概率。

解设容量为 10 的样本均值为X，样本容量为 15 的样本均值为Y， 则 3 (20,) 10 X ， 3 (20,) 15 Y ， 331 ()(0,)(0, ) 10152 XYNN {|| 0.3}1{|| 0.3}PXYPXY  1{ 0.30.3}PXY  0.30.3 1{} 111 222 XY P    1{ 0.32() 20.32}PXY  1(0.32)( 0.32)   22 (0.32) 22 (0.42)  2(1 0.6628)2 0.33720.6744 4、（1） 设 126 ,,,XXX样本是来自总体(0,1)N， 22 123456 ()()YXXXXXX， 试确定常数 C，使CY服从 2 分布 （2）设 125 ,,,XXX来自总体(0,1)N样本， 12 1 222 2 345 () () C XX Y XXX    ，试确定常数 C 使Y 服从t分布 （3）已知( )Xt n，求 2 (1, )XFn 解（1）因为 126 ,,,XXX是来自总体(0,1)N的样本， 由 2 (,) iii XN 知 222 121212 ()(,) Nnn XXXN ） 故 123 (0,3)XXXN， 456 (0,3)XXXN， 且相互独立，因此 123 (0,1) 3 XXX N  ， 456 (0,1) 3 XXX N   且两者相互独立，由 222 12 ,,, n XXX是来自总体(0,1)N的样本，则统计量 22222 12 ( ) n XXXn 由 2 分布的定义知 22 2 123456 ()() (2) 33 XXXXXX    即 2(2) 3 Y ，所以 1 3 C 。

（2）因为设 125 ,,,XXX是来自总体(0,1)N的样本 12 (0,2)XXN， 即有 12 (0,1) 2 XX N  ， 又有 2222 345 (3)XXX 且 12 2 XX ， 222 345 XXX相互独立，于是由t分布的定义知 12 12 2221 222 2 345 345 3 2 (3) 2 () 3 XX XX t XXX XXX       因此所求常数为 3 2 C  （3）因为( )Xt n，故X可写成 Z Y n 的形式， 其中(0,1)ZN， 2( ) Yn，且Z，Y相互独立，按F分布的定义知 2 (1, )XFn 5、 （1）已知某种能力测试的得分服从正态分布 2 ( ,)N ，随机地取 10 个人 参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这 10 个人得分的平均值小于的概率 （2）在（1）中设62， 2 25，若得分超过 70 就能得奖，求至少有一人得奖 的概率 解设 i X表示参加测试的i个人的得分（1,2,,10i ） ，则 2 ( ,) i XN ， 2 2 () 2 1 ( ) 2 x X fxe      ，0，x   由于 1210 ,,,XXX相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为 2 2 () 10 2 1210 1 1 ( ,,,) 2 i x X i fx xxe        10 2 1 2 () 10 2 1 () 2 i i x e        又 10 1 1 10 i i XX    ， 1010 11 11 ()()() 1010 ii ii E XEXE X    2 1010 2 11 11 ()()() 101010 ii ii D XDXD X     故 2 ( ,) 10 XN  ，则 {}{0}(0)0.5 10 X P XP       （2）因为(62,25) i XN，若一人得分超过 70 就能得奖，则一人得奖的概率为 {70}1{70} ii P XP X  627062 1{}1(1.6)1 0.94520.0548 55 i X P      则 10 个人得奖可以看作是一个二项分布：(10,0.0548)b，设 A 表示没有人得奖，则 0010 10 ( )(0.0548)(0.9452)0.5692P AC ( )1 0.56920.4308P A   即至少有一得奖的概率为 0.4308。

6、设总体(1, )Xbp， 12 ,,, n XXX是来自总体的样本 （1）求 12 (,,,) n XXX的分布律； （2）求 1 n i i X   的分布律； （3）求()E X，()D X， 2 ()E S 解（1）因为 12 ,,, n XXX相互独立，且有(1, ) i Xbp，1,2,,in， 即 i X具有分布律 1 {}(1) ii xx i P Xxpp  ，0,1 i x ， 因此 12 (,,,) n XXX分布律为（各个样本的分布律的乘积） 1 1122 11 {,,,}{}(1) ii nn xx nni ii P Xx XxXxP Xxpp      11 (1) nn ii ii xx n pp     （2）因为 12 ,,, n XXX相互独立，且有(1, ) i Xbp，故 1 ( , ) n i i Xb n p   ， 其分布律为 1 {}(1) n kkn k in i PXkC pp     7、设总体 2( ) Xn， 1210 ,,,XXX是来自X的样本，求()E X，()D X， 2 ()D S。

解因为 2( ) Xn，所以 2 ()() i E XEn， 2 ()()2 i D XDn1,2,,10i  1010 11 11 ()()() 1010 ii ii E XEXE Xn    1010 2 11 112 ()()() 1010105 ii ii nn D XEXE X    1010 22 222 11 11 ()( (10)(() 10 ()) 99 ii ii E SEXXE XE X    因为 222 ()()( ())2 iii E XD XE Xnn 2 22 ()()( ()) 5 n E XD XE Xn 所以 10 222 1 1 ()((2) 10()) 95 i n E Snnn    22 1 (10(2) 10()) 95 n nnn 1 182 9 nn 8、总体 2 ( ,)XN ， 1210 ,,,XXX是来自X的样本， （1）写出 1210 ,,,XXX的联合分布密度； （2）写出X的概率密度 解（1） 1210 ,,,XXX联合概率密度 2 2 () 10 2 1,210 1 1 (,,) 2 x i f x xxe        10 22 1( )2 2 5 1 (2) i x e       （2）因为()E X， 2 () 10 D X  ， 所以 2 2 2 2 () 5() 2(10) 15 ( ) 210 x x X fxee           。

一般地 2 ( ,)XN ， 2 2 () 2() 1 ( ) 2 x n X fxe n        9、设在总体 2 ( ,)XN 中抽取一容量为 16 的样本，这里， 2 均为未知 （1）求 2 2 {2.041} S P  ；其中 2 S为样本方差 （2） 2 ()D S 解（1）设 1216 ,,,XXX为总体的一个样本，则由教材 P143 定理二知 2 2 2 1 (1) 1 S n n      从而 22 22 {2.041}{1515 2.041} SS PP  （n-1＝15） 2 2 1{1530.615} S P    1 0.010.99  （查表，115n ， 2( 1)30.615n  ，得0.01） （2）由于 2 2 2 1 (1) 1 S n n     ，故 2 2 (1) ()2(1) nS Dn   （因为 2 ()2Dn） 2 2 4 (1) ()2(1) n D Sn    即 44 2 2 2(1)2 () (1)1 n D S nn    10 题和 11 题略去 。