考研数学微分方程部分典型题解析、习题与答案.pdf

微分方程典型考研题、解析、习题与答案1. 1sinxyyxexx解：ypyp11sinsin(*)10 xxppxexppxexxxpppcxx常数变易求特解( )pc x x代入 （*）221( )sin( )(sincos )21(sincos )2111cos(cossin)222xxxxxc xexc xexxCPxexxcxyxexexxGxc2. 212yyy解：令dpypypdy222111211221ln(1)lnln121dpppdpdypdyypypycdypc yxc yxcc3.2lnyyyyy解：12lnlnlnxxyyzy zzyc ec ey令4.若123,yyy是( )yp x yq xf x 的三个特解，则下列哪个正确（）1122311221231122123112212311A c yc yyB c yc yccyC c yc yccyD c yc yccy解：*3112223yycyycyy=11221231c yc yccy，故选 D 5.下列微分方程中，从123cos2sin 2xyc ecxcx为通解的是（）440 440 440 440 A yyyyB yyyyCyyyyD yyyy解：所求方程的等价形式为特征方程：321220440ii，故选D 。

6.已知22123,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee都是某非线性微分方程的解，试求此方程解：*3112223222122221221212211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyycyycyyxeeecxeexeecxeexeeexeeeceeceexeccecce通解为：*2122,1210202222xyxexxxxyyyfxfxexeyyyexe以非齐次方程的特解代入上式7. fx 可微，abf abe f be fa ，0fe，求 fx 解：0, 0, 0000000011010limlimlim0ababax bxxxxxxxxxxxxxf abe f be f afffffxxe fxefxe fxfxeeefxffxxfxfxxxxxeefxffxxfxfxxxxfxfefxyy110001xxxfcxeyxeceyxe8. f t 在 0,上连续，满足方程2222422412txytf tefxydxdy ，求f t 解：222222222224224004444201142010111228888441tttxyttttfctfftefxydxdyedfrrdrftetftytyeftyetCftyet9.已知, , uvfu vfu vuv，求解2, xyefx x 。

解：222222222223322,2,21313xxxxuvxxxxxyefx xefx xfx xefx xx ey eyexyexyexcyxc e10.yy x 在, 有二阶导数，0y， 解方程：322sin0d xdxyxdydy解：322sin0d xdxyxdydy33121sin0sin1sin2xxyyxyyyyxyc ec ex11.求解微分方程1fxfx解：1111111101sin1cossincos11sin1cossincos1fxf xfxfxfxfxfxfxfxfxyyfxycxccccfxcxc代入12.求解微分方程110 xxyyxedxedyy解：令1101101xxuuyyuuuxyxdxduuxyuuyydydyxedxedyedxeu dyyduueeyy uecdyxyec分离变量法13.设函数( )f x在0,+上连续，且(0)0f,已知在0,x上的平场值等于(0)f与( )f x的几何平均值，求( )f x解：01( )(0) ( )0 xf t dtff xx032( )( )( )( )( )( )( )2( )22( )( )( )xf t dtxf xf oaf ofxf xaf xaxf xfxf xf xxax令令3211( )( )2( )zdzf xfx dxf x3223122221( )( )2 ( )2222 ( )( )222122111(0)( )()0(1( ) )dzf xfxf xdxdzf xf xdxxdxdzz dxxdxdzzzcxdxxaxaff xcxcacf o x14. 设( )f x具有一阶连续导数，且( )1f,又1sin( )( )0 0yxf x dxf x dyxx是全微分方程， 求( )f x，并求此全微分方程的通解。

解：1sin( )( )yxfxf xyxx1( )sin( )1sin( )( )01( )(cos)1( )11( )( cos1)fxxf xxxfxf xxxxf xxcxfcf xxx将 fx )代入原方程22cos1cos1sin0cos1sincos10sincos10sincos(1)0cos(1)0cos(1)1codxyxxxdxdyxxxyyxxxdxdyxxxxyxdxxydxxdyxyxdxyxdxydxxyxyddxxyxycxxcxysx15. 在上半平面求一条向上凹的曲线yfx ，其任一点( ,) P x y处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数（Q是法线与x轴交点） ， 且曲线在点 1, 1处的切线与x轴平行解：3122(1)yKy曲线为凹，则0y( )yf x在,P x y点的法线方程1()(0)YyXxyyQ 点的坐标0,(, 0)YXxyyQ xyy1222211222(0)(1 )(1 )(1 )PQxyyxyyykyyyy21yyy不显含x令,dpypypdy22122222212(1)1(1)11ln(1)ln2011ln(1)111ln1(1)112xxxxxpdpdypypyCyDCpypydydxyyxCyyCyyxyyeyee16. 已知曲线过（1,1）点，如果把曲线上任意一点P 处的切线与 y 轴的交点记为Q，则以 PQ 为直径的圆都经过点F（1，0） ，求此曲线方程。

解：PQ方程()(0,)Yyy XxQyxy圆心 O 的坐标11,2222x yyxyx yxy圆过1122222222221(1,0)1111122221111()()1()44441111xFOQO Fxxyxyxyxyxxyxyxxyxyxyyyyyxxy2222222221111()122222121211021xyzyyxxzzxxzc xxcxxxyxcxycyx令常微分方程习题一、填空题1、微分方程xxyy1的通解为2、方程xxyyxln2满足911y的特解为3、微分方程02yyx满足初始条件21, 100 xxyy的特解是4、初值问题20,00,2yyeeyyy的解为5、方程xeyyxcos4的通解为6、方程0024222xydxdyxdxydx的通解为7、方程xyyxyx1222的通解为二、解答题1、求方程04222ydydyxyedxeyy的通解2、求方程222222x xyxxyyyex的通解3、设xfy在),0上连续， 且满足111020dtttfedtttfxfxtx求xfy的表达式4、设xfy在,0内二阶可导，且01lim1xxfx，已知曲线xfy在点yx,处的切线方程在y 轴上的截距等于曲线xfy在区间x, 1上的弧长，求曲线方程xfy5、设函数uf在,0内二阶可导且22yxfz满足等式02222yzxz（1）验证0uufuf（2）若11,10ff，求函数uf的表达式。

6、考虑远离地球的物体m（质量亦记为m）由于万有引力的作用向地面垂直下降（不计空气阻力等其他力） 设物体远离地心的初始距离为R，初始速度为0v，万有引力常数为G，地球的质量为M，他们满足202v RGM试求物体m 离地心的距离S 与时间的函数关系式7、设xf有二阶连续导数，并满足方程011xfxft dt，求xf常微分方程习题答案一、填空题1、xCxey2、31ln3xxy3、1xy或12xy4、2ln1lnxeyy5、xxeeCeCyxxxcos22121（利用叠加原理求特解）6、221xCxCy7、xxCxCy61221二、解答题1、22yyeCex2、0ln22Cexxyx3、xexy14、由101xxxf，则01,01ff由题意不难得到dxyx121（弧长） =yxy（截距）微分后可用降阶法，解得4141ln212xxy5、 （ 1）直接验证；（ 2）ueeuf16、2332322S tRGMt7、xxxfsin1sin11coscos。