大学物理振动波动课件谷风参考.ppt

一一. .广义振动广义振动振动、波动振动、波动 — 横跨物理学所有领域横跨物理学所有领域— 物理量在中心值附近作周期性变化物理量在中心值附近作周期性变化1. 机械振动机械振动位置或位移位置或位移特征特征运动学运动学— 周期性周期性动力学动力学— 恢复力恢复力形态形态轨迹轨迹 — 直线或曲线直线或曲线形式形式 — 平动平动(质点质点) 或转动或转动(刚体刚体)2. 非非机械振动机械振动电磁振荡、交流电电磁振荡、交流电……以上具有相似物理规律和研究方法以上具有相似物理规律和研究方法概述概述第第 九九 章章 振振 动动1.1谷风书苑二二. .最基本的振动最基本的振动 —— 简谐运动简谐运动简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动叠加叠加分解分解理想模型理想模型一维平动一维平动 — 弹簧振子弹簧振子一维转动一维转动 — 复摆（含单摆）复摆（含单摆）2.2谷风书苑9 9－－1 1 简谐运动简谐运动 振幅振幅 周期与频率周期与频率 相位相位一一. .简谐运动简谐运动以平衡位置为原点、建立图示坐标系以平衡位置为原点、建立图示坐标系偏离偏离x 弹簧振子弹簧振子(一维平动一维平动 集中质量＋弹性系统集中质量＋弹性系统)k：劲度系数、一般为振动常数：劲度系数、一般为振动常数  ：角频率：角频率— 系统属性系统属性A、、  ：积分常数：积分常数 — 初始条件初始条件动力学方程动力学方程运动微分方程运动微分方程运动方程运动方程等等价价判判别别式式3.3谷风书苑a. x — 平衡位置平衡位置 量度量度注b. k、、  — 固有性质固有性质 与初始条件无关与初始条件无关A、、  — 初始条件初始条件 与固有性质无关与固有性质无关c.vmam周期性函数周期性函数t 或或(  t +  )d. 推广推广 — 角谐振动角谐振动(   < 5° ( 9－－3 ))4.4谷风书苑[例例] 证明下列振动仍为简谐振动证明下列振动仍为简谐振动,并求固有量并求固有量(k,   )（（1））将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧将弹簧振子竖直悬挂，已知平衡时弹簧伸长量为伸长量为 l0（（2））如图所示，两弹簧串联，水平面光滑如图所示，两弹簧串联，水平面光滑 l0kmk1k2m讨论讨论:动力学分析动力学分析 — 判断振动性质，求固有量判断振动性质，求固有量(动和静动和静)平衡位置，偏离量平衡位置，偏离量x (  )、力、力(矩矩)分析分析…5.5谷风书苑 1.振幅振幅 A最大位移最大位移 表征能量表征能量二二. .简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述 2.周期与频率周期与频率比较比较即即弹簧振子固有周期弹簧振子固有周期单位时间单位时间, ,全振动次数的全振动次数的2 倍倍、T、 — 固有量，取决振动系统动力学特征固有量，取决振动系统动力学特征6.6谷风书苑 3. 相位相位由前知由前知xva— t 时状态时状态(相相)k = 0,1,2,…x = A ,v = 0x = 0 ,v < 0x =－－A ,v = 0x = 0 ,v > 0(或 )一般取一般取k= 0 描述描述±2k —重复性重复性如如 t = 0 则则  — 初始状态初始状态7.7谷风书苑— 任意角任意角(4(4个象限个象限) )4. 常数常数A   的确定的确定( 解析法解析法)、、t = 0再结合再结合v0(>0、、= 0、、<0)判断判断或或8.8谷风书苑9－－2 旋转矢量旋转矢量一一. .简谐运动与匀速圆周运动简谐运动与匀速圆周运动如图所示如图所示旋转矢量旋转矢量oM9.9谷风书苑矢端矢端M投影点投影点P关系关系运动性质运动性质 匀速率匀速率 圆周运动圆周运动 简谐振动简谐振动 合与分合与分 角频率角频率 同上同上 同上同上角速度角速度( (逆逆) )t = 0 角位置角位置t 时时角位置角位置相位相位初相位初相位 ( (  t＋＋  ) )  数值相等数值相等MoP10.10谷风书苑注b. 旋矢图旋矢图相位相位状态状态一一 一对应一对应a. 规定规定＋＋－－Ⅰ、、Ⅱ、、Ⅲ象限象限 正角，正角，一般：一般：Ⅳ象限象限 负角负角二二. .旋转矢量法旋转矢量法1. 表示谐振动（三要素）表示谐振动（三要素）oxPx0v02. 描绘描绘x－－t 曲线曲线3. 确定初相位确定初相位  (或相位或相位) (几何法几何法)11.11谷风书苑oP由图知由图知讨论讨论: :如振子如振子P，，t = 0 时处于下状态，求时处于下状态，求 (1)(2); ;相位差相位差(初相差初相差)规定规定逆时针在前为超前逆时针在前为超前4. 相位差相位差 (同频率同频率)— 两振动两振动“步调步调”对对(a)图图 x2超前超前x1 (2－1)≤(b)图图 x1 超前超前 x2 /2 或或 x2滞后滞后 x1 /2ox 1 2图图(a)ox图图(b)12.12谷风书苑oo5.  t 或或 oP回到平衡位置回到平衡位置(第一次第一次)如振子由初始状态如振子由初始状态( x0=－－A/2 , v0<0)由旋矢图知由旋矢图知由此由此  与与  t 可互求可互求6. 谐振动合成谐振动合成( 9－－5)如如同相同相 “步调一致步调一致”反相反相 “步调相反步调相反”13.13谷风书苑三三. .谐振动的运动学分析谐振动的运动学分析1. 已知运动方程已知运动方程→ 一系列物理量一系列物理量2. 由由已知条件已知条件→运动方程运动方程(确定三要素确定三要素) →其它物理量其它物理量[例例1] 一质量为一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其振的物体作简谐运动，其振幅为幅为0.08 m, ,周期为周期为4 s, ,起始时刻物体在起始时刻物体在 x = 0.04 m处处, ,向向ox 轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）. .试求试求: : (1) t=1.0 s时时, ,物体所处的位置和所受的力；物体所处的位置和所受的力； (2) 由起始位置运动到由起始位置运动到 x = -0.04m处所需要的最处所需要的最短时间短时间. .14.14谷风书苑分析分析: :求求(1)a. 先求运动方程先求运动方程(三要素三要素) ,其中其中  为关键为关键b.   和和 t t 求解求解解析法解析法旋转矢量法旋转矢量法如如  :解析法解析法由由判断判断旋矢法旋矢法由旋矢图由旋矢图知知 (2) x = 0.04 m 到到-0.04 m最短时间最短时间 15.15谷风书苑由图知由图知[例例2] 一简谐运动的一简谐运动的 x – t 曲线，如图所示，求：曲线，如图所示，求：(1) 初相初相  ；； (2) 求求运动方程运动方程, ,并用旋矢表示之并用旋矢表示之；；(3) 第一次到达第一次到达 处的速度和处的速度和加速度。

加速度分析分析: :a. 简便路径简便路径: 用旋矢法求用旋矢法求  和和  ,并结合相位法求第三问并结合相位法求第三问b. 旋矢图旋矢图oP第一次到达次第一次到达次 处相处相位位比较：解析法、旋矢法、相位法比较：解析法、旋矢法、相位法讨论讨论: :116.16谷风书苑如如(物理摆物理摆) — 一维角谐振动模型一维角谐振动模型OAm转转动动正正向向9－－3 单摆和复摆单摆和复摆一一. .复摆复摆运动方程运动方程 (准谐振动准谐振动)如图如图 偏离平衡位置偏离平衡位置 l — 质心质心 c 至转轴至转轴 o 距离距离二二. .单摆单摆(数学摆数学摆) — 复摆一个特例复摆一个特例*（（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向有有17.17谷风书苑ORr[例例1]一半径为一半径为 r 的均质球的均质球,可沿半径为可沿半径为 R 的固定的固定大球壳的内表面作纯滚动大球壳的内表面作纯滚动(如图如图)试求圆球绕平衡试求圆球绕平衡位置作微小运动的动力学方程及其周期位置作微小运动的动力学方程及其周期.分析分析: :偏离偏离  力力(矩矩)分析分析18.c18谷风书苑[例例2] 细杆细杆( (m ,l ) )竖直时竖直时, ,水平轻质弹簧水平轻质弹簧( k )处于自处于自然状态然状态, , 求细杆作小幅摆动时的周期求细杆作小幅摆动时的周期T。

分析分析: :偏离偏离 对对o :LKoθ  很小时很小时,有有讨论讨论:动力学分析步骤动力学分析步骤?19.19谷风书苑t t : :系统能量系统能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例9－－4 简谐运动的能量简谐运动的能量守恒守恒4T2T43T能量能量势能势能动能动能总能量总能量20.20谷风书苑简谐运动简谐运动——能量特征能量特征——能量守恒能量守恒讨论讨论:能量法能量法 —— 判断广义简谐运动判断广义简谐运动振子偏离平衡位置振子偏离平衡位置 x 时时以弹簧振子为例：以弹簧振子为例：两边对两边对 t 求导求导21.21谷风书苑[例例] 求图示系统的振动频率求图示系统的振动频率  . .设轻绳与定滑轮设轻绳与定滑轮间无相对滑动间无相对滑动. .xoxx0分析分析: :a. 寻找平衡位置寻找平衡位置 , 建立图示坐标系建立图示坐标系b. ⅠⅠ法法 动力学法动力学法偏离偏离x 平动与转动隔离平动与转动隔离对对m :对对J :m与与J :对对J :对对m :——系统固有性质系统固有性质22.22谷风书苑xoxx0偏离偏离 x 系统系统( m、、k、、J、、地球地球 )c. ⅡⅡ法法 能量法能量法两边对两边对 t 求导，求导，并考虑并考虑，，，，可得同样结果可得同样结果23.23谷风书苑9－－5 简谐运动的合成简谐运动的合成一一. .两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成与相位差与相位差 有关有关仍为谐振动，仍为谐振动，   不变不变24.24谷风书苑a.如如讨论讨论:b.如如或或如如静止静止a. 以上为两相干波干涉的基础以上为两相干波干涉的基础注b. 建议：对下列特殊情况可直接用旋矢法求解建议：对下列特殊情况可直接用旋矢法求解如如(同相或反相同相或反相),和和 对对x或或y轴对称轴对称,同相合成同相合成 最强最强反相合成反相合成 最弱最弱25.25谷风书苑[例例] 一谐振动一谐振动分别与下列谐振动合成分别与下列谐振动合成, ,求合运动方程求合运动方程. .(1)(2)(3)(4)比较：旋矢法与解析法比较：旋矢法与解析法讨论讨论: :26.26谷风书苑合振动轨迹方程合振动轨迹方程( (消去消去t t ) )—— 椭圆方程椭圆方程二二. .两个相互垂直同频率简谐运动的合成两个相互垂直同频率简谐运动的合成27.27谷风书苑讨论讨论:a. 所含各种情况所含各种情况 = 0 ,   直线直线(谐振动谐振动) =  /2 , 3 /2 正椭圆正椭圆如如 A1=A2 圆圆 — 其他情况其他情况 斜椭圆斜椭圆b. 右旋与左旋右旋与左旋如如  =  2 -  1>0如如  =  2 -  1<0x超前超前y 逆时针旋转逆时针旋转(左旋左旋)y 超前超前x 顺时针旋转顺时针旋转(右旋右旋)28.28谷风书苑* *三三 . .多个同方向同频率简谐运动多个同方向同频率简谐运动的的合成合成如如:相位差依次恒为相位差依次恒为合运动仍为简谐运动合运动仍为简谐运动EGR如如则则29.29谷风书苑讨论讨论: :a. 若若b. 若若（（N个矢量构成一闭合图形）个矢量构成一闭合图形）如如（如图）（如图）如如（如图）（如图）同相合成同相合成最大最大30.c. 次级大次级大30谷风书苑四四. .两个同方向不同频率简谐运动合成两个同方向不同频率简谐运动合成—拍拍一般：合运动一般：合运动—— 不是谐振动不是谐振动讨论讨论 , , 的情况的情况 31.31谷风书苑合运动合运动如如随随t 变化的振幅变化的振幅振动因子振动因子可证明可证明 拍频拍频—— 振幅变化的频率振幅变化的频率32.32谷风书苑比较比较证明证明(1) 解析法解析法证明证明(2) 旋矢法旋矢法从两振动同相从两振动同相 — 再次同相再次同相由相对运动由相对运动拍现象应用领域拍现象应用领域 — 声学、无线电技术、速度测量声学、无线电技术、速度测量33.33谷风书苑一一. . 阻尼振动阻尼振动简谐运动简谐运动 — 理想理想 等幅等幅 守恒守恒9－－6 阻尼振动阻尼振动 受迫受迫振动振动 共振共振实际实际 阻尼阻尼C 为常数为常数设设如如 2 < 02 其解为其解为式中式中A , — 初始条件初始条件↓2 02↓34.34谷风书苑讨论讨论: :临界阻尼临界阻尼——工程中有很多应用工程中有很多应用c.临界阻尼临界阻尼b.过阻尼过阻尼 a.欠阻尼欠阻尼35.35谷风书苑二二. . 受迫振动受迫振动周期性简谐外力周期性简谐外力则则其解其解暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应特征特征 稳定后稳定后 (谐振动谐振动) , — 多种因素有关多种因素有关(如如 0、 P、 )振动频率振动频率 — 驱动外力驱动外力 P机械能守恒机械能守恒36.36谷风书苑三三. . (位移位移)共振共振共振频率共振频率ω0* *另速度共振另速度共振 — 电流谐振电流谐振(选频选频)令令速度最大速度最大令令共振共振 — 有弊也有利有弊也有利37.37谷风书苑一一. . 振荡电路振荡电路 无阻尼自由电磁振荡无阻尼自由电磁振荡LC S9－－7 电磁振荡电磁振荡LC电路电路 (无阻尼情况无阻尼情况)电荷与电流电荷与电流电场与磁场电场与磁场周期性转换周期性转换L+C(a)L+C(c)LC(b)LC(d)I0I038.38谷风书苑二二. .无阻尼电磁振荡的振荡方程无阻尼电磁振荡的振荡方程LC 电路电路t :有有振动周期振动周期广义广义简谐简谐运动运动39.39谷风书苑三三. . 无阻尼电磁振荡的能量无阻尼电磁振荡的能量t :电容器电容器电感线圈电感线圈总能量总能量守恒守恒40.40谷风书苑*9－－8 简述非线性系统简述非线性系统一一. . 线性系统线性系统( (理想或近似理想或近似) )特征特征1. 动力学行为动力学行为 — 满足满足(一组一组)线性微分方程线性微分方程2. 其解其解 — 满足线性叠加原理满足线性叠加原理3. 由由— 精确描述动力学过程精确描述动力学过程边界条件边界条件初始条件初始条件确定性确定性二二. . 非线性系统非线性系统( (实际实际, ,普遍普遍) )特征特征1.叠加原理不成立叠加原理不成立2. 初始条件不同初始条件不同,会导致很不相同运动形式会导致很不相同运动形式3. 可能出现完全随机混沌行为可能出现完全随机混沌行为41.41谷风书苑讨论讨论: :小角度小角度(线性系统线性系统)和大角度和大角度(非线性系统非线性系统)物理行为物理行为1.小角度摆小角度摆(  < 5°)线性微分方程线性微分方程其解其解精确描述状态精确描述状态 — 确定性确定性两同频率谐振动合成两同频率谐振动合成—— 满足线性叠加原理满足线性叠加原理满足满足其解其解42.42谷风书苑非线性微分方程非线性微分方程如取前两项如取前两项一次迭代近似解：一次迭代近似解：2.大角度摆大角度摆(  > 5°)不满足线性叠加原理不满足线性叠加原理近似：两个不同频率谐振动合成（复杂振动）近似：两个不同频率谐振动合成（复杂振动）其中其中与与A（能量，初始条件）有关（能量，初始条件）有关43.43谷风书苑初始条件不同可能会导致下列三种不同运动初始条件不同可能会导致下列三种不同运动 — 不确定性不确定性以上通常用如下相图以上通常用如下相图(P-x 或或 -  或或…)描述描述d  /dt 44.44谷风书苑d  /dt施加某种影响施加某种影响—— 完全随机行为完全随机行为—— 混沌混沌满足某种条件（前沿课题）满足某种条件（前沿课题）45.45谷风书苑。