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完整word)中考数学压轴题二次函数与圆第四讲：二次函数与圆综合中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求二次函数1能根据实际情境了解二次函数的意义；2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式;2.能从函数图像上认识函数的性质;3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1能用二次函数解决简单的实际问题; 2能解决二次函数与其他知识结合的有关问题;例题精讲一、二次函数与圆综合【例1】 已知:抛物线与轴相交于两点，且．(Ⅰ)若，且为正整数，求抛物线的解析式;（Ⅱ）若，求的取值范围;(Ⅲ）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；(Ⅳ)若直线过点，与（Ⅰ）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式．【解析】（Ⅰ)解法一:由题意得，．解得,．为正整数，∴．∴．解法二：由题意知，当时,．（以下同解法一)解法三：，．又．∴．(以下同解法一．）解法四:令，即，∴．（以下同解法三．）（Ⅱ)解法一:．，即． ，∴．解得：．∴的取值范围是．解法二：由题意知，当时，． 解得：．∴的取值范围是．解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知,．∴∴．∴的取值范围是．(Ⅲ）存在．解法一:因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧,∴． 由切割线定理知，，即．∴，∴∴．解法二：连接．圆心所在直线， 设直线与轴交于点，圆心为，则．，∴在中, ．即．解得 ．（Ⅳ）设，则．过分别向轴引垂线，垂足分别为． 则．所以由平行线分线段成比例定理知,．因此，,即．过分别向轴引垂线，垂足分别为,则．所以．．．． ，或． 当时，点．直线过， 解得当时,点．直线过， 解得故所求直线的解析式为:，或． 【例2】 已知抛物线与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 并且线段CM的长为（1）求抛物线的解析式.（2）设抛物线与x轴有两个交点A(X1 ,0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。

3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由.【解析】(1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线．过点C（0,2），所以c=2,抛物线的顶点M在直线CM上，所以，解得或若，点C、M重合，不合题意,舍去，所以．即M过M点作y轴的垂线,垂足为Q，在所以，，解得，∴所求抛物线为：或以下同下解法二：由题意得，设点M的坐标为∵点M在直线上，∴由勾股定理得，∵∴=，即解方程组，得，∴或当时，设抛物线解析式为，∵抛物线过点,∴,∴当时，设抛物线解析式为∵抛物线过点，∴，∴∴所求抛物线为: 或（2）∵抛物线与x轴有两个交点，∴不合题意，舍去∴抛物线应为：抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得（3)∵AB是⊙N的直径，∴r = , N（－2，0），又∵M（－2,4）,∴MN = 4设直线与x轴交于点D，则D(2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴，作NG⊥CM于G,在= r 即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切【例3】 已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，抛物线经过，两点．⑴试用含的代数式表示；⑵设抛物线的顶点为，以为圆心，为半径的圆被轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙内,它所在的圆恰与相切，求⊙半径的长及抛物线的解析式;⑶设点是满足()中条件的优弧上的一个动点，抛物线在轴上方的部分上是否存在这样的点,使得？若存在，求出点的坐标；若不存在,说明理由．【解析】⑴解法一：∵一次函数的图象与轴交于点∴点的坐标为(，)∵抛物线经过、两点∴，，∴ 解法二：∵一次函数的图象与轴交于点∴点的坐标为(）∵抛物线经过、两点∴抛物线的对称轴为直线∴,∴⑵由抛物线的对称性可知，∴点在⊙上,且又由()知抛物线的解析式为∴点的坐标为(）①当时，如图，设⊙被轴分得的劣弧为，它沿轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙关于轴对称，设它的圆心为∴点与点也关于轴对称∵点在⊙上,且与⊙相切∴点为切点，∴∴∴为等腰直角三角形，∴∴点的纵坐标为,∴∴∴抛物线的解析式为②当时，同理可得：抛物线的解析式为综上，⊙半径的长为，抛物线的解析式为或⑶ 抛物线在轴上方的部分上存在点，使得设点的坐标为(）,且①当点在抛物线上时（如图)∵点是⊙的优弧上的一点∴，∴过点作轴于点，∴,∴，∴由解得：（舍去）∴点的坐标为 ②当点在抛物线上时(如图），同理可得，由解得：（舍去）∴点的坐标为 综上，存在满足条件的点，点的坐标为：或点评:本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿轴翻折后的弧所在圆⊙，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系（切线的性质）;2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质,4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆交轴正半轴于点, 是的切线．动点从点开始沿方向以每秒个单位长度的速度运动，点从点开始沿轴正方向以每秒个单位长度的速度运动，且动点、从点和点同时出发，设运动时间为（秒)．⑴当时，得到、两点，求经过、、三点的抛物线解析式及对称轴；⑵当为何值时，直线与相切？并写出此时点和点的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴上存在一点，使最小，求出点N的坐标并说明理由．【解析】⑴ 由题意得，，的坐标分别为，，．设抛物线解析式为，则∴,，．∴所求抛物线为．对称轴为直线：．⑵ 设时，与⊙切于点．连结，，,则，．又,分别平分和而，∴，∴∵,∴∽∴即，∴由于时间只能取正数，所以即当运动时间时，与⊙相切此时：，，，⑶ 点关于直线的对称点为,则直线的解析式为：∴直线交直线于,,此时最小,∴，【例5】 如图，点，以点为圆心、为半径的圆与轴交于点．已知抛物过点和，与轴交于点．⑴ 求点的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点在抛物线上,点为此抛物线对称轴上一个动点，求 最小值．⑶ 是过点的的切线，点是切点，求所在直线的解析式．【解析】⑴由已知,得,，∵抛物线过点和，则,解得 则抛物线的解析式为，故．（说明：抛物线的大致图象要过点、、,其开口方向、顶点和对称轴相对准确)⑵如图①，抛物线对称轴是　．∵，抛物线上，∴．过点作轴于点,则,，∴． 又∵与关于对称轴l对称，∴的最小值．CAMBxyODEQPK图①l　　CAMBxyODE图②⑵当在第四象限时，如图②，连结和．由已知,得　．是的切线，∴，则．又∵，∴．∴．又在和中，,则． 设所在直线的解析式为，过点，，∴，解得直线的解析式为．又∵直线过原点,且，则的解析式为．当在第一象限时，易得四边形为矩形，此时,∴直线的解析式为点评：本题难度不大，第⑵问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第⑶问需注意，过圆外一点引圆的切线有两条．考点：1．二次函数解析式的确定；2．轴对称；3．切线的性质；4．一次函数解析式的确定．【例6】 在平面直角坐标系中，已知直线经过点和点,直线的函数表达式为，与相交于点．是一个动圆，圆心在直线上运动,设圆心的横坐标是．过点作轴,垂足是点．⑴ 填空：直线的函数表达式是 ，交点的坐标是 ，的度数是 ；⑵ 当和直线相切时，请证明点到直线的距离等于的半径，并写出 时的值．⑶ 当和直线不相离时,已知的半径,记四边形的面积为（其中点是直线与的交点）．是否存在最大值?若存在，求出这个最大值及此时的值;若不存在，请说明理由．【解析】⑴ ,，⑵ 设和直线相切时的一种情况如图甲所示,是切点，连接，则．过点作的垂线，垂足为，则， 所以． 当点在射线上，和直线相切时，同理可证．取时，，或．⑶ 当和直线不相离时，则,由⑵知，分两种情况讨论：① 如图乙，当时，, 当时，（满足）,有最大值．此时（或）．② 当时，显然和直线相切，即时，最大．此时． 综合以上①和②，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 点评：本题共3问，这3问之间难度递增,且环环相扣,解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第⑶问时要先确定的取值范围，然后分类讨论．考点：1．一次函数解析式的确定；2．等边三角形的判定及性质；3．直线与圆的位置关系；4．全等三角形;5．两函数图象交点坐标的确定；6．二次函数的最值．【答案】（1），，；(2）或;（3）当或时，存在S的最大值，其最大面积为【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与 二次函数的图象交于两点（在的左侧)，且点坐标为．平行于轴的直线过点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明;⑶ 把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位,二次函数的图象与轴交于两点,一次函数图象交轴于点．当为何值时，过三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】2006年，山东潍坊【解析】⑴ 把代入得，∴一次函数的解析式为； ∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，∴设二次函数解析式为，∴把代入得,∴二次函数解析式为．⑵ 由，解得或，∴,，过点分别作直线的垂线，垂足为，,则，∴直角梯形的中位线长为，过作垂直于直线于点，则，,∴,∴的长等于中点到直线的距离的2倍，∴以为直径的圆与直线相切．⑶ 平移后二次函数解析式为,令，得，，，∵过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点，∴要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离，此时,半径为2，面积为，设圆心为中点为，连，则，在三角形中,，∴，而，∴∴当时，过三点的圆面积最小,最小面积为点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)（3）问，这两问都需要确定圆心位置，要求学生较好的掌握圆的有关性质,并能灵活运用．考点：1．一次函数，二次函数解析式的确定;2．直线与圆的位置关系,3．二次函数图象的平移；4．圆心的性质；5．点到直线垂线段最短．【答案】（1)一次函数的解析式为；二次函数解析式为．（2）以为直径的圆与直线相切．（3）当时,过三点的圆面积最小，最小面积为【例8】 如图1,的半径为,正方形顶点坐标为，顶点在上运动．⑴ 当点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线与相切；⑵ 当直线与相切时,求所在直线对应的函数关系式;⑶ 设点的横坐标为，正方形的面积为,求与之间的函数关系式,并求出的最大值与最小值．【考点】二次函数与圆综。