四面体的_心_重合与正四面体.pdf

中学数学月 刊1 999年第8期la一bl越小(大)恃ab越大(小).当A,a,b为非负数,n>1时,.a一bl越小(大)拱a”+b”越小(大)恃告+脸越大(小).例如,9=2+7=3+6=4+5等,推知:3岌丫万.+丫下f(y,)+、-一,A、_二_~_.‘Af(v,))2·f(于).当且仅当,1=份一,:时J、了“一“J、2‘’曰一~叫7‘2了‘一刁取等号.(证略)例2求函数的值域:四面体的“心”重合与正四面体江苏省 前黄高级中学众所周知,在三角形的内心、外心、重 心及垂心这四个心中,若存在着两心 重合,则此三角形必为正 三角形.因 而这个三角形的四, ’,合”也就完全重合了.那么对于四面体而言是否也有类似的性质呢?即当四面体的“心”中的某两心重合时,这个四面体是否能成为正四面体呢?‘ 它的心 是否能完全重合呢?1四面体有关“心”的概念及性质为了解决上述 问题,我们首先要将三角形有关“心”的概念推广到四面体中来(1 ) 四面体内心:四面体内切球的球心.它到四面体各面的距离相等·,因此它也是各二面角平分面的交点.(2 ) 四面体外心:四面体外接球的球心.它到四面体各顶点 的距离都相等,因此它 在各面上的射影为各面的外心.(3 )四面体重心:四面体顶点与所对面三张志朝(21 31 72)角形重心连线的交点.它分顶点与对面三角形 重心连线的比值是3:1.四面体对棱中点连线的中点是四面体的重 心.证如图1,设四面体ABCD的重心为O,连AO,BO,CO,DO,并延长与对面分别相交于点。

口O:,03,O‘,它们分别是所在面 的 重心.连AO;,刀口1,并延长都与BC相交于B C中点E;连BO3,COZ,并延 长都与AD相交于AD的中点F .于是可以发现:E,O,F都是平面B CD与平面月ED的公共点,⋯E,O,F共线.⋯四面体重 心O在对棱BC与AD中点连线上;1999年第8期中学数学月刊同理可证:重 心O又在AB与CD的 中点连线上.另外,我们不难证明四面体三对对棱中点连线交于同一点且两 两互相平分,所以 四面体重心O是对棱中点连线的中点.( 4)四面体垂心:四面体四条高线的交点.三角形的三条高总 相 交于一点,但四面体的四条高线却不 一定相交于一点,当且仅当此四面体是对棱垂直 的四面体时,四条高线相交于一点,这时四面体才有垂心.顶点与蚕心的连线垂直于底面,且在对面 的垂足是此面 的垂心.(5 )四面体的棱心:与四面体各棱都相切的球称为四面体的棱切球,我们又将棱切球球心简称为棱心.一般的四 面体不一定存在着棱切球,当且仅当它的各面的内切 圆在公共棱上 的切点重合时,四面体存在着棱切球.事实上,我们还有:四面体存在棱切球的充要条件是此四面体的三对对棱之 和都相等.棱心 到各棱的距离都相等.所以它在各面上 的射影 是各面的内心.2四面体的“心”重合与正四面体在上述介绍 的四面体的五个心中,存在着两个心重合的四面体是否也具有三角形中相应的性质呢?通 过探索我们发现有些 相应性质得到了保留,而有些相应性质有了改变.定理1若四面体的内心与外心重合,则此四面体是对梭相等的四面体.证如图2,△A BD,△AC D的外心..’.OIB=OzC,OZB~OZC.又’:O点是四面体的内心,⋯O点到各面 的距离都相等,⋯00;~ 00:.⋯R t△OO IC望Rt△OOZC,.‘.OIC=OZC.即 △AB C与△B CD的外接圆半径相等(同理 可证四面体各面 的外 接圆半径都相等),于 是等腰△O:BC望△OZBC,.’.乙BOIC~匕BO:C,设它 的值等于0,同理有:乙COZD~匕CO‘D“a,乙BO:D=乙B O3D ‘夕,乙AOIB,匕AO3B=7,匕AO3D一乙AO4D=舀,乙AOI C=艺AO4C=考.又’ . ’a+夕+8=3 6 00,(1)夕+y+参~3 600,(2)7+占+夕=3600,(3)a+古+g“3 600.(4)于是由(l )+(3 )得:Q+夕十y十2 0十夸二7200,由(3)+(4)得:a+口+y+2古+g二720 0,⋯a十夕十)十2夕十夸~a+夕+y+2乡十夸,⋯0 一沙,即匕BOZC=A04D·又’:各面的外接圆半径都相等,⋯等腰△BO:C望 △AO4D,: ’BC~AD.同理 可证:AB一 CD,BD二AC,所以四面体是对校相等的四面体.定 理2若四面体的内心与重心重合,则此四面体是对棱相等的四面体.定 理3若四面体的外心与重心重合,则此四面体为对棱相等的四面体.对于任一四面体,总存在内心、外心和重心.由上述定理知:这三个心中的任何两个心重合,则四面体都为对棱相等的四面体.设四面体AB CD的内心与外心重合于O点.由O点分别作△A BC,△B CD,△ABD,△AC D所 在 平面的 垂线,垂足分别如图3,将四面体BA:CID补成长方体A BC D一A:BIC:D;,很显然,长方体对. 角线交点O是长 方体兮兮汉/’‘‘刃刃’ 一补、、为01,O:,03,O‘.’:O是四面体的外心,., .O;,02,03,O‘分 别是 △A BC,△方CD,外接球的球心、所以它也是四面体BA lc、D的外心;另外O点 也是BD与 B IC,中点连 线的中点,故它又是四面体的重心;因为对棱相中学数学月 刊1999年第8期等的四面体的四个面是全等的四个三角形,:.它们的 面 积 相等.又由于以重心O为顶点,以 四面体的面为底面的四个三棱锥体积相等,故四面体重心O到 各面 的距离都相等,故O点又是四面体的内心.因 此对棱相等的四面体的内心、外心及重心重合于一点.所以对任一四面体而言,若它 的 内心、外心及重心这三心 中,有两心重合于一点,则这 三个心就重合于一点.上述三个定理可以统一叙述成:四面体为对梭相等的四面体的充要条件是这个四面体的 内心、外心及重 心有两个心重合.定 理4若四面体的 内心与垂心重合,则此四面体为正四面体证如 图4,设四面体A BCD的内心与垂心重合于O点,’:O点是四面体的垂心,., .AO,BO,D O分别C图4垂直于它们的对面,设它们的延长线与对面分别相交于O:,O:,03,这三点分别是所在 面的垂心,⋯A O3土刀C,AOZ土CD,并且垂足分别为E,F,连O,E,OIF,又’:O点又是四面体的 内 心,⋯0 02=00。

⋯Rt△A OO:望Rt△AOO:⋯乙OAO:二乙O AO2.又’:AO:是R t△AE与Rt△AO,F的公 共边,.飞这两个直角三角形也全等,⋯O IE一O:F.⋯O:到△BCD两边BC与C刀的距离相等.同理可证:O;到另一 边BD的距离也与它们相等,⋯O;点又是△BCD的内心,., .△BCD的 内心的与垂心重合,故△B CD为正三角形.同理可证四面体其它三个面也都是正 三角形.所以四面体AB CD是正四面体.定 理5若四面体 的内心 与棱心重合,则此四面体是 正四面体.定 理6若四面体的重 心 和棱心 重合,则此四面体是正四面体.因四面体的垂心在各面 上 的射影是各面的垂心,四面体的棱心在各面 上 的射影 是各面 的内心,四面体外心在各面 上 的射影 是各面 的外心.所以若四面体的垂心与棱心 重合,则四面体各面 上的垂心与内心也重合;若四面体的外心与棱心重合,则四面体各面上 的外心与内心 也重合;若四面体的外心与垂心重合,则四面体各面上的外心与垂心也重合.故满足 上述三条中任何一条的四面体的各面都是正 三角形,所以是正四面体.因此我们有:定 理7若四面体的外心与垂心重合,则 此四面体是正四面体.定理8若四面体的垂心与棱心重合,则此四面体是正四面体.定 理9若四面体的外心与棱心重合,则此四面体是正四面体.与上面三定理 的证明类似,若四面体的垂心 与 重心重合,则各面 的垂心与重心也重合,所以我们又有:定理1 0若四面体的垂心与重心重合,则该四面体是正四面体.由上述定理4至定理1 0,我们可以发现:四面体的内心、外 心、重 心中的任一心与四面体的垂 心、棱心中的任一心重合,以及垂心与棱心重合,则该四面体都将成为正四面体.这六个定理 中 的条件都是四面体为 正四面体的充要条件,因而它们相互是等价的.我们不难证明:(l )若对棱相等的四面体存在着垂心.则它 的对棱垂直,进而可知它 是正四面体.(2 )若对棱相等的四面体存在着棱切球,则它们三对“对棱之和”相等,所以它 的各棱都相等,所以它是 一个正四面体.再由于正四面体的五个心重合于一点.所以,若四面体存在着垂心与棱 心,则再由它 的五心中的 任何两心重 合,都能 得 出 五心重合于一点.。