世纪金榜二轮专题辅导与练习选修4.ppt

系列4部分选修4-1 几何证明选讲1 1．平行截割定理：．平行截割定理：(1)(1)平行线等分线段定理及其推论平行线等分线段定理及其推论①①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段__________，那，那么在任一条么在任一条( (与这组平行线相交的与这组平行线相交的) )直线上截得的线段也直线上截得的线段也__________．．②②推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．腰．相等相等相等相等(2)(2)平行线分线段成比例定理及其推论平行线分线段成比例定理及其推论①①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成截得的对应线段成__________．．②②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边推论：平行于三角形一边的直线截其他两边( (或两边的或两边的延长线延长线) )，所得的对应线段，所得的对应线段______________．．(3)(3)三角形角平分线的性质三角形角平分线的性质三角形的一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个三角形的一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角的两边对应成比例. .比例比例成比例成比例2 2．相似三角形：．相似三角形：(1)(1)相似三角形的判定相似三角形的判定①①判定定理判定定理a a．两角对应相等的两个三角形相似．．两角对应相等的两个三角形相似．b b．两边对应成比例且夹角．两边对应成比例且夹角__________的两个三角形相似．的两个三角形相似．c c．三边．三边______________________的两个三角形相似．的两个三角形相似．②②推论：如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形推论：如果一条直线与三角形的一条边平行，且与三角形的另两条边相交，那么截得的三角形与原三角形相似的另两条边相交，那么截得的三角形与原三角形相似. .相等相等对应成比例对应成比例(2)(2)相似三角形的性质定理相似三角形的性质定理相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于____________________________．．(3)(3)直角三角形射影定理直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的的__________的乘积．的乘积．相似相似比的平方比的平方射影射影3 3．圆周角定理：．圆周角定理：(1)(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆__________的角．的角．(2)(2)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的__________．．(3)(3)圆周角定理的推论圆周角定理的推论①①同弧同弧( (或等弧或等弧) )所对的圆周角所对的圆周角__________；同圆或等圆中，相等的；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧圆周角所对的弧__________．．②②半圆半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角等于所对的圆周角等于9090°°. .反之，反之，9090°°的圆周的圆周角所对的弧为角所对的弧为_____(_____(或弦为或弦为_____)_____)．．相交相交一半一半相等相等相等相等半圆半圆直径直径4 4．圆的切线：．圆的切线：(1)(1)直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线与圆交点的个数直线到圆心的距离直线到圆心的距离d d与与圆的半径圆的半径r r的关系的关系相交相交两个两个__________相切相切一个一个__________相离相离无无__________d d＜＜r rd d＝＝r rd d＞＞r r(2)(2)切线的性质及判定切线的性质及判定①①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切线的性质定理：圆的切线垂直于经过__________的半径．的半径．②②切线的判定定理切线的判定定理过半径外端且与这条半径过半径外端且与这条半径__________的直线是圆的切线．的直线是圆的切线．(3)(3)切线长定理切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长从圆外一点引圆的两条切线，切线长__________．．切点切点垂直垂直相等相等5 5．弦切角：．弦切角：(1)(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆弦切角：顶点在圆上，一边与圆__________，另一边与圆，另一边与圆相交的角．相交的角．(2)(2)弦切角定理及推论弦切角定理及推论①①定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的__________．．②②推论：同弧推论：同弧( (或等弧或等弧) )上的弦切角上的弦切角__________，同弧，同弧( (或等弧或等弧) )上的弦切角与圆周角上的弦切角与圆周角__________．．相切相切一半一半相等相等相等相等6 6．圆中比例线段：．圆中比例线段：定理定理名称名称基本图形基本图形条件条件结论结论应用应用相交相交弦定弦定理理 弦弦ABAB，，CDCD相相交于圆内点交于圆内点P P (1)PA(1)PA··PBPB＝＝_______._______.(2)(2)△△ACPACP∽△∽△BDPBDP (1)(1)在在PAPA，，PBPB，，PCPC，，PDPD四线段中知四线段中知三求一三求一. .(2)(2)求弦长求弦长及角及角 PCPC··PDPD定理定理名称名称基本图形基本图形条件条件结论结论应用应用切切割割线线定理定理 PAPA切切⊙⊙O O于于A A，，PBCPBC是是⊙⊙O O的割线的割线 (1)PA(1)PA2 2＝＝_______._______. (2)(2)△△PABPAB∽△∽△PCAPCA (1)(1)已已 知知 PAPA，，PBPB，，PCPC知知二可求一二可求一. .(2)(2)求解求解ABAB，，ACAC PBPB··PCPC定理定理名称名称基本图形基本图形条件条件结论结论应用应用割线割线定理定理 PABPAB，，PCDPCD是是⊙⊙O O的割线的割线 (1)PA(1)PA··PBPB＝＝_______._______.(2)(2)△△PACPAC∽△∽△PDBPDB (1)(1)求求线线段段PAPA，，PBPB，，PCPC，，PDPD及及ABAB，，CD.CD.(2)(2)应用相应用相似求似求ACAC，，BDBD PCPC··PDPD7.7.圆内接四边形：圆内接四边形：(1)(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角__________．．(2)(2)圆内接四边形判定定理：圆内接四边形判定定理：①①如果四边形的对角如果四边形的对角__________，则此四边形内接于圆；，则此四边形内接于圆；②②若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆．线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆．互补互补互补互补1.(20131.(2013··江江苏苏高高考考) )如如图图, , ABAB和和BCBC分分别别与与圆圆O O相相切切于于点点D,C,ACD,C,AC经过圆心经过圆心O,O,且且BC=2OC.BC=2OC.求证：求证：AC=2AD.AC=2AD.【【证明证明】】连结连结OD.OD.因为因为ABAB和和BCBC分别与圆分别与圆O O相切于点相切于点D,C,D,C,所以所以∠∠ADO=∠ACB=90ADO=∠ACB=90°°. .又因为又因为∠∠A=∠A,A=∠A,所以所以Rt△ADO∽Rt△ACBRt△ADO∽Rt△ACB. .所以所以 又又BC=2OC=2OD,BC=2OC=2OD,故故AC=2AD.AC=2AD.2.(20132.(2013··新课标全国卷新课标全国卷Ⅰ)Ⅰ)如图，直线如图，直线ABAB为圆的切线，切点为圆的切线，切点为为B B，点，点C C在圆上，在圆上，∠∠ABCABC的平分线的平分线BEBE交圆于点交圆于点E E，，DBDB垂直垂直BEBE交交圆于点圆于点D.D.(1)(1)证明：证明：DB=DC.DB=DC.(2)(2)设圆的半径为设圆的半径为1 1，，BC= BC= 延长延长CECE交交ABAB于点于点F F，求，求△△BCFBCF外外接圆的半径接圆的半径. .【【解析解析】】(1)(1)连结连结DEDE交交BCBC于点于点G.G.由弦切角定理得由弦切角定理得∠∠ABE=∠BCE,ABE=∠BCE,而而∠∠ABE=∠CBEABE=∠CBE，，故故∠∠CBE=∠BCECBE=∠BCE，，BE=CE.BE=CE.又因为又因为DB⊥BEDB⊥BE，，所以所以DEDE为直径，为直径，∠∠DCE=90DCE=90°°，，由勾股定理得由勾股定理得DB=DC.DB=DC.(2)(2)由由(1)(1)知，知，∠∠CDE=∠BDECDE=∠BDE，，DB=DCDB=DC，，故故DGDG是是BCBC的中垂线，所以的中垂线，所以设设DEDE的中点为的中点为O O，连结，连结BOBO，则，则∠∠BOG=60BOG=60°°，，从而从而∠∠ABE=∠BCE=∠CBE=30ABE=∠BCE=∠CBE=30°°，，所以所以CF⊥BFCF⊥BF，，故故Rt△BCFRt△BCF的外接圆的半径等于的外接圆的半径等于热点考向热点考向 1 1 相似三角形相似三角形 【【典例典例1 1】】如图，在如图，在△△ABCABC中，中，D D是是ACAC中点，中点，E E是是BDBD三等分点，三等分点，AEAE的延长线交的延长线交BCBC于于F F，求，求 的值．的值．【【解题探究解题探究】】解决本题可通过作平行线，构造相似三角形，即过解决本题可通过作平行线，构造相似三角形，即过D D点作点作DM∥AFDM∥AF交交BCBC于于M.M.可知：可知：(1)S(1)S△BDM△BDM与与S S△BEF△BEF的关系为：的关系为：__________ ______________.(2)S.(2)S△DMC△DMC与与S S△BEF△BEF的关系为：的关系为：______________________. .S S△BDM△BDM=9S=9S△BEF△BEFS S△DMC△DMC=6S=6S△BEF△BEF【【解析解析】】过过D D点作点作DM∥AFDM∥AF交交BCBC于于M M，因为，因为DM∥AFDM∥AF，，所以所以因为因为EF∥DMEF∥DM，，所以所以 即即S S△BDM△BDM =9S =9S△BEF△BEF，，又又即即S S△DMC△DMC= S= S△BDM△BDM=6S=6S△BEF△BEF，，所以所以S S四边形四边形DEFCDEFC =14S =14S△BEF△BEF，，因此因此【【互动探究互动探究】】在本题中，若点在本题中，若点E E是是BDBD的的n n等分点等分点( (左边第一个左边第一个) )，，试用试用n n的代数式表示的代数式表示 的值的值. .【【解析解析】】同上述过程可得同上述过程可得S S△BDM△BDM=n=n2 2S S△BEF△BEF，，且且从而从而S S四边形四边形DEFCDEFC=(2n=(2n2 2－－n n－－1)S1)S△BEF△BEF, ,所以所以【【方法总结方法总结】】有关三角形的面积的两类比例有关三角形的面积的两类比例(1)(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方. .(2)(2)同底同底( (或等高或等高) )的三角形面积比等于它们的高的三角形面积比等于它们的高( (底底) )之比之比. .多边形的面积可通过分割，化归为三角形面积之和的形式多边形的面积可通过分割，化归为三角形面积之和的形式. .【【变变式式备备选选】】如如图图，，已已知知在在△△ABCABC中中，，D D是是BCBC边边的的中中点点，，且且ADAD＝＝ACAC，，DE⊥BCDE⊥BC，，DEDE与与ABAB相交于点相交于点E E，，ECEC与与ADAD相交于点相交于点F.F.(1)(1)求证：求证：△△ABC∽△FCD.ABC∽△FCD.(2)(2)若若S S△FCD△FCD＝＝5 5，，BCBC＝＝1010，求，求DEDE的长的长. .【【解析解析】】(1)(1)因为因为DE⊥BCDE⊥BC，，D D是是BCBC的中点，的中点，所以所以EBEB＝＝ECEC，，所以所以∠∠B B＝＝∠∠1.1.又因为又因为ADAD＝＝ACAC，所以，所以∠∠2 2＝＝∠∠ACB.ACB.所以所以△△ABC∽△FCD.ABC∽△FCD.(2)(2)过点过点A A作作AM⊥BCAM⊥BC，垂足为点，垂足为点M.M.因为因为△△ABC∽△FCDABC∽△FCD，，BCBC＝＝2CD2CD，所以，所以又因为又因为S S△△FCDFCD＝＝5 5，所以，所以S S△△ABCABC＝＝20.20.因为因为S S△△ABCABC＝＝ BCBC··AMAM，，BCBC＝＝1010，所以，所以2020＝＝ ××1010××AMAM，所以，所以AMAM＝＝4.4.又因为又因为DEDE∥∥AMAM，所以，所以 因为因为DMDM＝＝ DCDC＝＝BMBM＝＝BDBD＋＋DMDM，，BDBD＝＝ BCBC＝＝5 5，所以，所以所以所以热点考向热点考向 2 2 圆周角定理、圆内接四边形圆周角定理、圆内接四边形【【典例典例2 2】】(2013(2013··苏州模拟苏州模拟) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为圆内接四边形，为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点延长两组对边分别交于点E E，，F F，，∠∠AFBAFB的平分线分别交的平分线分别交ABAB，，CDCD于点于点H H，，K K．求证：．求证：EH=EKEH=EK．． 【【解题探究解题探究】】因因EHEH与与EKEK在同一三角形中，故欲证两者相等，可利用在同一三角形中，故欲证两者相等，可利用““等角等角对等边对等边””的方法证之，而的方法证之，而∠∠EHK,∠EKHEHK,∠EKH是是““圆内角圆内角””，故，故由由““三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和””转化为转化为圆周角，即由圆周角，即由∠∠EHK=EHK=________________，，∠∠EKH=EKH=____________________，再证之，再证之. .【【证明证明】】由条件可知：由条件可知：∠∠EHK=∠1+∠AEHK=∠1+∠A，，∠∠EKH=∠2+∠DCF,EKH=∠2+∠DCF,因因FHFH是是∠∠AFBAFB的平分线，故的平分线，故∠∠1=∠21=∠2，因，因ABCDABCD为圆内接四边为圆内接四边形，故形，故∠∠DCF=∠A,DCF=∠A,从而从而∠∠EHK=∠EKHEHK=∠EKH，于是，于是EH=EK.EH=EK.∠1+∠A∠1+∠A∠2+∠DCF∠2+∠DCF【【方法总结方法总结】】1 1．有关线段相等的三种证法．有关线段相等的三种证法(1)(1)在同一三角形中，等角对等边在同一三角形中，等角对等边. .(2)(2)在全等的两个三角形中，对应边相等在全等的两个三角形中，对应边相等. .(3)(3)利利用用比比例例线线段段，，其其中中三三个个比比例例项项相相同同或或相相等等时时，，第第四四个个比比例项也相等例项也相等. .2 2．．““圆内角圆内角””和和““圆外角圆外角””的转化关系的转化关系在在圆圆中中，，通通常常““三三角角形形的的外外角角等等于于和和它它不不相相邻邻的的两两个个内内角角之之和和””，，将将““圆圆内内角角””或或““圆圆外外角角””转转化化为为圆圆周周角角与与其其他他特特殊殊角角的的““和和( (差差) )””关系关系. .【【变变式式训训练练】】(2013(2013··新新课课标标全全国国卷卷Ⅱ)Ⅱ)如如图图，，CDCD为为△△ABCABC外外接接圆圆的的切切线线，，ABAB的的延延长长线线交交直直线线CDCD于于点点D D，，E,FE,F分分别别为为弦弦ABAB与与弦弦ACAC上的点，且上的点，且BCBC··AE=DCAE=DC··AFAF，，B B，，E E，，F F，，C C四点共圆四点共圆. .(1)(1)证明：证明：CACA是是△△ABCABC外接圆的直径外接圆的直径. .(2)(2)若若DB=BE=EA,DB=BE=EA,求求过过B,E,F,CB,E,F,C四四点点的的圆圆的的面面积积与与△△ABCABC外外接接圆圆面面积的比值积的比值. .【【解析解析】】(1)(1)因为因为CDCD为为△△ABCABC外接圆的切线，所以外接圆的切线，所以∠∠DCB=∠ADCB=∠A，，由题设知由题设知故故△△CDB∽△AEF CDB∽△AEF ，所以，所以∠∠DBC=∠EFA.DBC=∠EFA.因为因为B B，，E E，，F F，，C C四点共圆，所以四点共圆，所以∠∠CFE=∠DBCCFE=∠DBC，，故故∠∠EFA=∠CFE=90EFA=∠CFE=90°°. .所以所以∠∠CBA=90CBA=90°°，因此，，因此，CACA是是△△ABCABC外接圆的直径外接圆的直径. .(2)(2)连结连结CECE，因为，因为∠∠CBE=90CBE=90°°，所以过，所以过B B，，E E，，F F，，C C四点的圆的四点的圆的直径为直径为CECE，由，由DBDB＝＝BEBE，有，有CECE＝＝DCDC，又，又BCBC2 2=DB=DB··BA=2DBBA=2DB2 2，所以，所以CACA2 2=4DB=4DB2 2+BC+BC2 2=6DB=6DB2 2. .而而DCDC2 2=DB=DB··DA=3DBDA=3DB2 2，故过，故过B B，，E E，，F F，，C C四点的圆的面积与四点的圆的面积与△△ABCABC外接圆面积的比值为外接圆面积的比值为热点考向热点考向 3 3 圆的切线、圆中比例线段圆的切线、圆中比例线段 【【典典例例3 3】】(2013(2013··淮淮安安模模拟拟) )如如图图，，⊙⊙O O的的半半径径为为3 3，，两两条条弦弦ABAB，，CDCD交于点交于点P P，且，且AP=1AP=1，，CP=3CP=3，，OP=OP=求证：求证：△△APC≌△DPBAPC≌△DPB．．【【解题探究解题探究】】设直线设直线OPOP交交⊙⊙O O于点于点E E，，F F，从本题条件易证，从本题条件易证△△APCAPC和和△△DPBDPB是是相似三角形，由此再证三角形全等，则需条件相似三角形，由此再证三角形全等，则需条件““边对应边对应相等相等””，根据条件，可从相交弦定理计算得之，即，根据条件，可从相交弦定理计算得之，即由由APAP··BP=BP=______________= =______________，从而得证，从而得证. .CPCP··DPDPFPFP··EPEP【【证明证明】】设直线设直线OPOP交交⊙⊙O O于点于点E E，，F F，由相交弦定理得，由相交弦定理得APAP··BP=CPBP=CP··DP=FPDP=FP··EPEP又又AP=1AP=1，，CP=3CP=3，故，故DP=1DP=1，，BP=3BP=3，所以，所以AP=DPAP=DP，，BP=CPBP=CP，，而而∠∠APC=∠DPBAPC=∠DPB，所以，所以△△APC≌△DPBAPC≌△DPB．．【【方法总结方法总结】】在圆中，有关线段乘积式或比例式的证明的两种在圆中，有关线段乘积式或比例式的证明的两种方法方法(1)(1)通过圆中特殊角之间的相等关系，证明相似三角形，从而通过圆中特殊角之间的相等关系，证明相似三角形，从而得证得证. .(2)(2)通过圆幂定理通过圆幂定理( (相交弦定理、切割线定理相交弦定理、切割线定理) )直接证之直接证之. .另外，可利用这些比例式计算有关线段的长度另外，可利用这些比例式计算有关线段的长度. .【【变式训练变式训练】】(2013(2013··南京模拟南京模拟) )如图，如图，PAPA，，PBPB是是⊙⊙O O的切线，的切线，切点分别为切点分别为A A，，B B，线段，线段OPOP交交⊙⊙O O于点于点C C．若．若PAPA＝＝1212，，PCPC＝＝6 6，求，求ABAB的长．的长．【【解析解析】】如图，延长如图，延长POPO交交⊙⊙O O于于D D，连结，连结AOAO，，BOBO．．ABAB交交OPOP于点于点E E．．因为因为PAPA与与⊙⊙O O相切，所以相切，所以PAPA2 2＝＝PCPC··PDPD．．设设⊙⊙O O的半径为的半径为R R，因为，因为PAPA＝＝1212，，PCPC＝＝6 6，，所以所以12122 2＝＝6(2R6(2R＋＋6)6)，解得，解得R R＝＝9 9．．因为因为PAPA，，PBPB与与⊙⊙O O均相切，所以均相切，所以PAPA＝＝PBPB．．又又OAOA＝＝OBOB，所以，所以OPOP是线段是线段ABAB的垂直平分线．的垂直平分线．即即AB⊥OPAB⊥OP，且，且ABAB＝＝2AE2AE．．在在Rt△OAPRt△OAP中，中，AEAE＝＝ 所以所以ABAB＝＝。