2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习01（含答案）.docx

2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习01如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴分别交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(﹣1，0)和点B(﹣3，0)，交y轴于点C(0，﹣3)．(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，点E为抛物线的顶点，点T(0，t)为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180°，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B′，E′，当四边形BEB'E'的面积为12时，求t的值；(3)如图2，过点C作CD∥x轴，交抛物线于另一点D．点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P．当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣(x﹣m)2＋2m2(m＜0)的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．(1)求a的值；(2)将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？(3)Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B．(1)求抛物线的表达式；(2)P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N．①当MN＝AB时，求点P的坐标；②联结OP交AB于点C，当点C是MN的中点时，求的值．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x+b与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax2﹣5ax﹣6a(a＜0)经过B、C两点，与x轴交于另一点A．(1)求a，b的值；(2)点P段AB上，点Q段PC的延长线上，过点Q作y轴的平行线，交直线BC于点F，过点Q作y轴的垂线，垂足为点E，交对称轴左侧的抛物线于点D，设点P的横坐标为t，线段QF的长为d，当d与t之间的函数关系式d=﹣t+4时，求D的坐标．(3)在(2)的条件下，连接CD，将△CQD沿直线CD翻折，得到△CQ′D，求t为何值时，点Q′恰好落在抛物线上，并求出此时点Q′的坐标以及tan∠DCQ的值．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C(点C点A的右侧)，点P是抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？(3)如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A(3，0)，D(-1，0)，E(0，3)．(1)求抛物线的解析式及顶点B的坐标；(2)求证：CB是△ABE外接圆的切线；(3)试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度(0＜t≤3)时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)三点，直线y=kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.(1)求直线和抛物线的解析式；(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；(3)点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标.已知抛物线C1：y＝mx2＋n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值；(3)如图，若点F的坐标为(0，﹣2)，直线l分别交线段AF，BF(不含端点)于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由．答案解：(1)∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B(1，0)，∴A(﹣3，0)，∴OA＝OC＝3，∴C(0，3)，∴可以假设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x﹣1)，把(0，3)代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)如图(2)中，连接OP．设P(m，﹣m2﹣2m＋3)，S＝S△PAO＋S△POC＋S△OBC，＝×3×(﹣m2﹣2m＋3)××3×(﹣m)＋×1×3＝(﹣m2﹣3m＋4)＝﹣(m＋)2＋，∵﹣＜0，∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P(﹣，)；(3)存在，理由如下：如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P(﹣1，4)，N(0，4)；如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M(﹣1，n)，P(t，﹣t2﹣2t＋3)，则N(t＋1，0)，由题意，，解得，消去n得，3t2＋5t﹣10＝0，解得t＝，∴P(，)，N(，0)或P′(，)，N′(，0)．综上所述，满足条件的点P(﹣1，4)，N(0，4)或P(，)，N(，0)或P′(，)，N′(，0)．解：(1)∵二次函数过点A(﹣1，0)，B(﹣3，0)，∴设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x＋3)，将C(0，﹣3)代入，得：3a＝3，解得：a＝﹣1，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣4x﹣3；(2)如图1，连接EE′、BB′，延长BE，交y轴于点Q．由(1)得y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣(x＋2)2＋1，∴抛物线顶点E(﹣2，1)，设直线BE的解析式为y＝kx＋b，∵B(﹣3，0)，E(﹣2，1)，∴，解得：，∴直线BE的解析式为：y＝x＋3，∴Q(0，3)，∵抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣3绕点T(0，t)旋转180°，∴TB＝TB′，TE＝TE′，∴四边形BEB′E′是平行四边形，∴S△BET＝S四边形BEB′E′＝×12＝3，∵S△BET＝S△BQT﹣S△EQT＝×(3﹣2)×TQ＝TQ，∴TQ＝6，∴3﹣t＝6，∴t＝﹣3；(3)设P(x，﹣x2﹣4x﹣3)，①当∠BP1C＝90°时，∠N1P1B＝∠P1CE，∴tan∠N1P1B＝tan∠P1CE，∴＝，∵BN1＝﹣x2﹣4x﹣3，P1N1＝x＋3，P1E＝﹣x，EC＝﹣x2﹣4x，∴＝，化简得：x2＋5x＋5＝0，解得：x1＝，x2＝(舍去)，②当∠BP2C＝90°时，同理可得：x2＋5x＋5＝0，解得：x1＝(舍去)，x2＝，∴M点的坐标为(，﹣3)或(，﹣3)，③当∠P3BC＝90°时，由△BM3C是等腰直角三角形，得：△N3BP3也是等腰直角三角形，∴N3B＝N3P3，∴﹣x2﹣4x﹣3＝x＋3，化简得：x2＋5x＋6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3(舍去)，∴M点的坐标为(﹣2，﹣3)；④当∠BCP4＝90°时，由△BOC是等腰直角三角形，可得△N4P4C也是等腰直角三角形，∴P4N4＝CN4，∴﹣x＝﹣3﹣(﹣x2﹣4x﹣3)，化简得：x2＋5x＝0，解得：x1＝﹣5，x2＝0(舍去)，∴M点的坐标为(﹣5，﹣3)，综上所述：满足条件的M点的坐标为(，﹣3)或(，﹣3)或(﹣2，﹣3)或(﹣5，﹣3)．解：(1)由题意可知，抛物线E：y＝﹣(x﹣m)2＋2m2(m＜0)的顶点P的坐标为(m，2m2)，∵点P在抛物线F：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2．(2)∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，∴yA＝﹣(t﹣m)2＋2m2＝﹣t2＋2mt＋m2，yB＝2t2，∴s＝yA﹣yB＝﹣t2＋2mt＋m2﹣2t2＝﹣3t2＋2mt＋m2＝﹣3(t﹣m)2＋m2，∵﹣3＜0，∴当t＝m时，s的最大值为m2，∵s的最大值为4，∴m2＝4，解得m＝±，∵m＜0，∴m＝﹣．(3)存在，理由如下：设点M的坐标为n，则M(n，2n2)，∴Q(2n﹣m，4n2﹣2m2)，∵点Q在x轴正半轴上，∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，∴n＝﹣m，∴M(﹣m，m2)，Q(﹣m﹣m，0)．如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK＋∠PQK＝90°，∵∠PQG＝90°，∴∠PQK＋∠GQN＝90°，∴∠QPK＝∠GQN，∴△PKQ∽△QNG，∴PK：QN＝KQ：GN，即PKGN＝KN．∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，∴(﹣m﹣2m)(﹣m﹣m)＝2m2QN，解得QN＝+2．∴G(0，﹣﹣2)．解：(1)∵直线y＝2x＋8与x轴交于点A、与y轴交于点B，∴令x＝0，则y＝8，令y＝0，则x＝﹣4，∴B(0，8)，A(﹣4，0)，∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A、B，∴，∴，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋8；(2)①∵P是抛物线上一点，且位于直线AB上方，过点P作PM∥y轴、PN∥x轴，分别交直线AB于点M、N，∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，∴∠MPN＝∠AOB＝90°，∴△PMN∽△OBA，∴，设点M的横坐标为m(﹣4＜m＜0)，则M(m，2m＋8)，P(m，﹣m2﹣2m＋8)，∴PM＝﹣m2﹣2m＋8﹣(2m＋8)＝﹣m2﹣4m，。