无限深方势阱中的粒子.ppt

§3 无限深方势阱中的粒子一、 一维无限深方形势阱二、薛定谔方程和波函数三、旧量子论的半经典解释1举几个小例1 )说明量子力学解题的思路2 )了解量子力学给出的一些重要的结论21.由粒子运动的实际情况 正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程3.解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量一、量子力学解题的一般思路3二、几种势函数1.自由粒子2.方势阱无限深方势阱能级结构问题方势阱4方势阱是实际情况的 极端化和简化分子束缚 在箱子内三维方势肼金属中的电子53.势垒梯形势散射问题势垒隧道贯穿64.其他形式超晶格谐振子7a金属U(x) U=U0U=U0E U=0 x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a无限深方势阱（potential well ）一、一维无限深方形势阱功函数分子束缚 在箱子内三维方势肼8U=0EU→∞U→∞U(x)x0a特点 ： 粒子在势阱内受力为零 势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力 不能到阱外91.势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外二、薛定谔方程和波函数阱外0阱内 0102.哈密顿量3.定态薛定谔方程阱外：阱内 ：011根据波函数有限的条件阱外1)阱外4.分区求通解12•令2)阱内为了方便将波函数脚标去掉将方程写成•通解式中 A 和 B 是待定常数135.由波函数标准条件和边界条件定特解通解是(1)解的形式解的形式为(2)能量取值14A已经为零了 B不能再为零了即只能 ka 等于零要求能量可能值151 )每个可能的值叫能量本征值2 )束缚态 粒子能量取值分立 (能级概念)能量量子化3 )最低能量不为零 波粒二象性的必然结果请用不确定关系说明4 )当n趋于无穷时 能量趋于连续5 )通常表达式写为讨论L--阱宽16(3)本征函数系•由归一性质 定常数 B得•本征函数17考虑到振动因子（驻波解）6.定态波函数187. 概率密度19小结：本征能量和本征函数的可能取值20一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao21时，量子经典玻尔对应原理|2Ψn|an很大En022三、旧量子论的半经典解释粒子在阱外的波函数为零允许的波长为:粒子的动量粒子在势阱内动量为阱内的波函数在阱壁上的值也必为零（ 驻波）量子化能量由波函数的连续性23能量量子化 是粒子的波动性和 边界条件的必然o允许的波长为:24§4 势垒和隧道效应一、粒子进入势垒二、有限宽势垒和隧道效应三、隧道效应的应用25ψ2ψ1透射?反射入射1.势函数讨论入射能量 E 026I 区令2. 定态薛定谔方程xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)方程为27II 区令>283.薛定谔方程通解通解通解波动形式指数增加和衰减29考虑物理上的要求当x 时 2(x) 应有限所以 D = 0于是EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0304.概率密度 ( x > 0 区)x >0区 (E < U0) 粒子出现的概率  0U0 x  概率 本征波函数概率密度31经典：电子不能进入E < U的区域(因动能 0) 量子：电子可透入势垒若势垒宽度不大则电子可逸出金属表面在金属表面形成一层电子气EU0Ψ2透射Ψ1入射+反射xⅡ区Ⅰ区032二、有限宽势垒和隧道效应隧道效应 EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区x = aΨ333隧道效应 EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3振幅为 波穿过势垒后 将以平面波的形式继续前进( ) 称为势垒穿透或隧道效应34• • 经典经典• • 量子量子隧道效应隧道效应351. 穿透系数穿透系数会下降6个数量级以上当势垒宽度 a 约50nm 以上时此时量子概念过渡到经典 36量子物理： 粒子有波动性 遵从不确定原理 粒子经过II区和能量守恒并不矛盾 只要势垒区宽度x = a不是无限大 粒子能量就有不确定量Ex = a很小时 P和E很大2. 怎样理解粒子通过势垒区经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的37三、隧道效应的应用隧道二极管 金属场致发射 核的衰变…1. 核的 衰变U  Th + He2382344 粒子怎么过去的呢? 通过隧道效应出来的对不同的核算出的衰变 概率和实验一致rRU35MeV4.25MeV0<<势垒高度382.扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）STM 是一项技术上的重大发明 用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）原理：利用量子力学的隧道效应1986. Nob ：鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明电子显微镜宾尼（G.Binning）罗尔（Rohrer）发明STM39U0U0U0ABdE电子云重叠隧道电流iABU d探针样品A——常量 ——样品表面平均势垒高度（~eV）d ~ 10A。

d变 i变 反映表面情况40隧道 电流 反馈传 感器参考信号显示器压电 控制加电压扫描隧道显微镜示意图41某种型号的扫描隧道显微镜424344基于STM工作原理或扫描成像方法的派生显微镜系列原子力(AFM) 磁力 分子力显微镜 等等用AFM得到的癌细胞的表面图象“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.98 图 4-845操纵原子不是梦“原子书法”1994年中国科学院科学家“写”出的平均每个字的面积仅百万分之一平方厘米“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 插页彩图13硅单晶 表面直 接提走 硅原子 形成2 纳米的 线条46“扫描隧道绘画”一氧化碳“分子人”“原子和分子的观察与操纵” -- 白春礼 P.151 图7-8CO分子竖 在铂片上分子人高 5nm471993年美国科 学家移动铁原 子，铁原子距 离0.9纳米“量子围栏”48个铁原子排列在 铜表面证明电子的波动性48§5 一维谐振子一、势函数二、薛定谔方程及解三、与经典谐振子的比较49谐振子不仅是经典物理的重要模型也是量子物理的重要模型如：黑体辐射场量子化50一、势函数选线性谐振子的平衡位置为坐标原点以坐标原点为零势能点则一维线性谐振子的势能为：m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数是谐振子的角频率51二、薛定谔方程及解解得：n = 0, 1, 2, …52线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度53线性谐振子 n=11 时的概率密度分布虚线代表经典结果经典谐振子在原点速度最大 停留时间短 粒子出现的概率小 在两端速度为零 出现的概率最大 54xn很大EnE1E2E0 0U(x)能量特点：(1)量子化 等间距 符合不确定关系概率分布特点: E < U 区有隧道效应(2)有零点能55•跃迁只能逐级进行各跃迁发出的频率相同 只有一条谱线(3)跃迁有选择定则： 56三、与经典谐振子的比较1.基态位置概率分布经典：在x = 0 处粒子的速度最大 概率最小量子：在x = 0 处概率最大572．当 时符合玻尔对应原理量子概率分布过渡到经典概率分布 能量量子化过渡到能量取连续值第3章结束58。