数学问题解决迁移及其教学研究.pdf

山东师范大学硕士学位论文数学问题解决迁移及其教学研究姓名：郑光明申请学位级别：硕士专业：课程与教学论(数学)指导教师：傅海伦20040426独创声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及耳得的研究成果据我所知，除了文中特另I 加以标注和致谢的地方外，论岁 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得——( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位鸯证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已墨论文中作了明确的说明并表示谢意学位论文作者签名郜兕阈导师特f 哮( 揸L ／签字日期：2 0 0 4 年年月2 钿签字日期：2o o q 年 - j 题，不能从确定的算法或运用已有的知识进行直接推导，不能用简单的模仿来解决，必须通过试探和选择策略，甚至通过突破性的创造性思维才能求得解决数学应用问题是指现实中的问题，是需要学生把现实问题数学化，建立合适的数学模型来求解的问题这里数学问题是相对解题者而言的，象求导数的数学问题对没有学过相关知识的高中生来讲是非常规的数学问题，而对学过这类知识的学生来讲就是常规数学问题了，再如例1 中因式分解问题对没有掌握变项分组分解法的学生来讲是数学问题，而对已掌握的学生来讲，就不再是进行数学问题解决迁移，而是应用已有数学知识了。

2 、数学问题解决迁移的形式多样，可以是数学问题表面内容带来的数学问题解决迁移，也可以是数学解题方法的迁移，还可以是数学解题策略的迁移，这些比较明显的数学问题解决迁移笔者认为可以称为显性数学问题解决迁移，另外先前数学问题解决的态度、动机、兴趣等方面也会对新的数学问题的解决产生影响，但那些迁移的发生并不明显，可以称为隐性数学问题解决迁移二、数学问题解决迁移的数学学科特点数学问题解决迁移的数学学科特点由数学的特点决定人们对数学的认识是不断发展的，恩格斯称数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，随着近现代数学研究对象的扩展，有的数学家称“数学是研究结构的科学”、“数学是模式的科学”，再从现代数学来讲，数学是研究量和量的变化的科学数学形式抽象但却内容具体、应用广泛，所以对于数学的特点，共同的认识是数学具有高度的抽象性、严谨的逻辑性、应用的广泛性哺3 ，而抽象性、形式化、模式化是数学的本质特性这里数学的抽象性主要表现在内容上、方法上和抽象程度上：内容上，数学只保留量的关系而舍弃一切质的特点，只保留一定的形式、结构，而舍弃内容；形式上，数学是以逻辑为链条的形式化符号系统；抽象程度上，数学比其他学科在抽象程度上更高，数学的概念、定理、结构、方法等都是多层次抽象的结果”1 。

笔者认为，数学问题解决迁移的数学学科特点，就体现在数学问题解决迁移的研究对象——“数学问题”，和数学问题解决迁移的中介——“数学问题解决的认知结构”中1 、数学问题解决迁移的数学学科特点体现在“数学问题”的数学特征中数学问题解决迁移是先前数学问题解决学习对后继数学问题解决学习的影响，前后两种问题解决的对象都是“数学问题”数学问题解决迁移的数学学科特点首先就体现在数学问题解决迁移的对象——“数学问题”的数学特征中数学问题和其它领域的问题，比如阅读中的问题、拼写中的问题、现实中的问题等是不一样的数学问题具有形式化、抽象性等特征，数学问题之间在表面内容和深层次数学结构上存在的数学关系使一个数学问题的解决能影响到另一个数学问题的解决这样，数学问题解决迁移中数学问题的数学特征，就体现了数学问题解决迁移与一般问题解决迁移的特殊之处，体现出数学问题解决迁移的数学学科特点喻平老师就指出，“数学问题的结构和系统存在特殊性，数学问题间的强抽象、弱抽象及等置抽象关系使两个数学问题间既具有诸多‘相同要素’又具有统摄两者的‘共同原理’，所以一个数学问题的结构、解决方法、解题策略会影响到别的数学问题中去”，“由于数学问题之间存在数学抽象关系，使解题中的迁移能够产生和实现，这也就体现了数学解题迁移的特殊性”。

1 0 ] 关于数学问题的数学特征也有不同的认识和表述形式，文[ 1 1 ] 的作者认为数学问题的特征有三点：数学问题可以视为一种问题情景，即如果问题解决中问题情景的元素、性质中的关系都是有关数学的，那么它就是一个数学问题；数学问题的主要特征是抽象化、形式化；数学模型化是形成数学问题的方法论基础，一个具有背景的问题，通过数学的模型化方法，形成形式化的数学问题上述观点从宏观上分析了数学问题的数学特征，下面笔者从研究数学问题解决迁移的角度出发，具体分析，认为一个数学问题不同于一般问题的数学特征体现在以下几个方面：1 4( 1 ) 数学问题的数学表面内容体现了数学问题抽象化、形式化的特征一个数学问题中包含一定的数学信息和非数学信息，非数学信息即指数学问题陈述的特征、文字信息表达的形式，数学信息体现了问题中各元素的数学关系，通常由数学符号、数学术语和文字等数学语言来传达所谓数学语言是指为一定数学共同体所一致接受的概念和符号系统H 羽，显然一个问题之所以称之为数学问题是因为其中含有数学信息，这在数学问题的叙述内容和叙述方式中就有所体现，看下面的数学问题：例4 ：已知关于X 的函数Y = ( m + 6 ) X 2 + 2 ( m 一1 ) x + ( m + 1 ) 的图象与X 轴总有交点，求m 的取值范围。

在例4 这个数学问题的叙述中就使用函数这一数学概念并且使用了数学符号，与一般概念相比，数学概念更加抽象，与自然语言相比，数学符号语言更简单，更严密由于数学概念和数学符号的高度抽象性，一个数学问题从表面上看就是较为抽象的，不理解数学概念和数学符号的含义，就算看了这个数学问题也不知道说的是什么，更谈不上真正理解这个数学问题．广 例5 ：化简—三÷—驾a + 4 a bb + √a b这道数学问题的表面内容也体现了数学问题的形式化和抽象化的特征，并且，数学问题的不同的外部表现形式，会影响对数学问题的心理表征，从而影响解题思路的获得比如，如果能将口+ √石分解为瓜√石+ √石) ，将6 + √万分解为√6 ( √口+ √6 ) ，则此数学问题的形式变化为：l厄 瓜‘+ 矗、西m + 矗、所以数学问题表面内容的不同形式会影响数学解题的难度 2 ) 数学问题的深屡数学结构体现了数学问题模式化的特征数学问题的外部表征是数学问题中较为明显的事实性内容及其表述形式，这可以说是一个数学问题的表层结构，数学问题还有其深层的数学结构．它是指数学问题内在的结构，体现了数学问题表征的数学特点¨“ 任何一个数学问题都应具有相应的深层数学结构，数学问题的“深层数学结构”是数学问题的本质所在，它体现了数学是一种“模式的科学”。

象上边例4 这个数学问题，它的深层数学结构就是，“一个二次函数与X 轴有交点，求系数中未知数的取值范围”由其深层数学结构可以提示解题的方法是：由判别式的范围，求出系数中未知数的取值范围在例4 的解决过程中，对数学问题数学结构的分析，也可以说是一种数学模式的识别再象例5 ，变化后的数学问题形式就体现了这道数学题目的内在数学结构，所以，当数学问题以更能体现其内在数学结构的形式呈现的时候，其解决就更容易一些 3 ) 数学问题的研究内容体现了数学问题一般化、抽象化的特征在数学教育中有一个著名的“数学握手游戏”，这个数学游戏之所以能成为一个数学问题，就因为在这个数学游戏中体现了数学问题一般化、抽象化的特征这个游戏是这样的，老师让四个同学相互握手，每两个人只能握手一次，不能重复，看能握几次，再换成五个人，看能握几次，然后是六个人，最后老师让同学们找出其中的规律是：N 个人握手坐唑生次 2这个数学游戏之所以成为一个数学问题，首先游戏不仅仅是四人一组，五人一组，六人一组进行握手的具体结果，而是从具体上升到了一般的普遍规律；其次，在这个游戏中，我们所关心的是问题“数量”方面的内容，而不是事物“质”的方面的内容，这就是数学抽象的特殊之处“”。

所以，一个数学问题有它特殊的研究内容，这也体现了数学问题一般化、抽象化的特征2 、“数学问题解决的认知结构”体现了数学问题解决迁移的数学学科特点关于认知结构，基本上沿用了奥苏伯尔认知结构理论中的说法，即认知结构是知识内化在学生头脑中所形成的内容和组织，奥苏伯尔的认知结构理论认为一切有意义的学习都是在原有认知结构基础上产生的，迁移是以认知结构为中介进行的，他的观点代表了从认知角度来解释迁移的一种主流倾向对数学认知结构的认识并不统一文[ 1 5 ] 作者提出了数学认知结构的横向结构：数学认知结构包含处于最低层次的数学概念、定理、公式等，又包含处于中间层次的数学方法和解题技巧，还有处于高层次的数学方法论和数学观文[ 1 6 1 作者提出：良好数学认知结构的特征，一是有足够多的观念；二是具备稳定灵活的产生式；三是层次分明的观念网络系统：四是一定的问题解决策略的观念随着元认知理论的发展，一些研究者提出数学认知结构应包括元认知成份，文[ 1 7 ] 作者就从系统论的观点，将数学认知结构分为三个系统：数学知识经验系统、数学认知操作系统和数学元认知系统，每个系统又有几部分组成数学问题解决迁移是先前数学问题解决对后继数学问题解决的影响，这种影响也是以认知结构为中介进行的，笔者称之为“数学问题解决的认知结构”。

这里“数学问题解决的认知结构”是指数学问题解决过程中所涉及的与数学问解解决相关的数学认知结构中各部分所组成的网络结构因为数学解题的认知结构是数学认知结构的子结构，所以数学问题解决的认知结构可以借鉴数学认知结构的系统但又有它自身的特点下边笔者按照文[ 1 7 ] 作者给出的认知结构的划分系统，将元认知系统纳入认知系统，从而把数学问题解决的认知结构划分为：数学问题解决的知识经验系统、数学问题解决的认知操作系统、数学问题解决的元认知系统，具体如下表：l 数子系统组成数学解题的基本知识结构：蒿数学问题解决的数学概念、数学事实、数学原理及其组织网络题知识经验系统数学思想方法、数学思维模式、数学解题策略数学解题的情境性知识篓 数学问题解决的一般认知操作：感知、注意、记忆、思维、想象 釜认知操作系统数学解题思维动作：数学方法技巧性的、策略定向性的藉数学问题解决的 通过元认知进行数学解题监控和调节 元认知系统因为在第三章数学问题解决迁移的影响因素中，有关于数学问题解决认知结构对数学问题解决迁移的影响的内容，所以在这里，详细论述一下 1 ) 数学问题解决的知识经验系统①数学解题的基本知识结构：数学概念、数学事实、数学原理及其组织网络数学基本知识包括数学概念、数学事实( 数学语言、原始概念、公理、符号) 、数学原理( 定理、命题、定律、公式等) ¨刀，并且良好的数学基本知识结构，应该是一个组织有序、相互贯通的网络结构。

②数学思想方法、数学思维模式和数学解题策略数学思想方法是数学认知结构中最活跃的因素，是数学科学的灵魂，通常将数学思想与数学方法合称为数学思想方法相比而言，数学思想比数学方法更概括、更普遍、更深刻，而数学方法则具有操作性和具体性有时在强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法数学思维模式就是在对数学信息加工时形成一种相对稳定的程序，如数学思维中的逼近、叠加、映射等模式，所以说数学思维模式是一些浓缩的数学知识与方法的信息块，它也体现了数学问题解决方法体系上的内容数学解题的策略性知识即调控自己的认知活动以促进数学问题解决的知识，它可以优化数学问题解决过程中数学信息加工的效果，提高加工效率，有利于数学问题解决的进行③数学解题的情境性知识数学解题的情境性知识是指对具体数学解题的背景和条件的概括，即学生对解决某一类型的数学问题比较有效的数学方法、数学解题模式的认识，这些数学解题的情境性知识是学生在过去的数学解题过程中，不断加深对数学问题的认识，不断积累的结果 2 ) 数学解题的认知操作系统认知操作一般包括感知、注意、记忆、思维、想象等，在数学解题的思维活动中，既有一般的思维动作，如分析、综。