高等数学(工本)试题.doc

第 1 页-20102010 年年 1 1 月高等数学（工本）试题月高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）1.在空间直角坐标系中，方程 x2+y2=2 的图形是（ ）A.圆 B.球面 C.圆柱面D.旋转抛物面2.设函数 f(x+y,x-y)=,则 f(x,y)=（ ）xy2yx22A. B. C. D. 22yxxy 22yxxy2 22yxxy4 )yx(2xy223.设积分区域 Ω：x2+y2+z2≤1，三重积分 I=，则（ ） dxdydz) 1z(A.I0 D.I 与 z 有关4.微分方程的通解 y=（ ）0y2y3y A.C1e-x+C2e2x B. C1e-x+C2e-2x C. C1ex+C2e-2x D. C1ex+C2e2x5.下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ）A. B. C. D. 1n221n3n1nn1n) 1(3n1nnln) 1( 1n1nn32二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 10 分）分）6. 设函数 z=u+v, 而 u=x+y, v=xy，则=___________.xz 7. 设区域 D：|x|≤1,0≤y≤1,则二重积分的值等于___________.D2dxdy)xsinx1 (8. 设 λ 是正常数，并且 xyλdx+xλydy 是其个函数 u(x,y)的全微分，则λ=___________.9. 微分方程的一个特解为 y*=___________.3yy2y 10. 函数 f(x)=sin x 展开成 x 的幂级数为___________.三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）11．求过点 P（4，-1，2）并且与直线 L：平行的直线方程.   1zyx7zyx12．设函数 z=，其中 f 是可微函数，求.)x,xy(fyz,xz  13．已知函数 z=e3y(x2+2y-x)，求.yxz214．求函数 f(x,y,z)=xyz-x2-y2+3z 在点（-1，-1, 2）处的梯度.第 2 页-15．求曲面 z=4-x2-y2上平行于平面 2x+2y+z-7=0 的切平面方程.16．计算二重积分 I=，其中 D 是由坐标轴和直线 x+y=4 所围成的区域.Ddxdy)y2x(17．计算三重积分 I=，其中积分区域：x2+y2+z2≤1. dxdydz)zyx(22218．计算对弧长的曲线积分，其中 L 是连接点（1，0）和（0，1）的直线 Lds)y2x3(段.19．计算对坐标的曲线积分，其中 L 是椭圆的逆时针方向. Lxdyydx1by ax2222 20．求微分方程（1+x2）dy+(1+y2)dx=0 的通解.21．求幂级数的收敛半径和收敛区间.1nn 32 x1nn22．设函数 f(x)=x+1,x的傅里叶级数展开式为求系数 ,1nnn0)nxsinbnxcosa (2aa5 .四、综合题（本大题共四、综合题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）23．求由四个平面 x=0, y=0, x=1, y=1 所构成的柱面和平面 z=0 及 x+y+z=7 所围成的立体的体积.24．设无穷级数和均收敛，证明无穷级数是绝对收敛.1n2 na1n2 nb1nnnba25．设曲线 y=y(x)在其上任意点（x,y）处的切线斜率为，且过点（-1，0） ，求该yx1 曲线的方程.第 3 页-20102010 年年 4 4 月高等数学（工本）试题月高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分）1.在空间直角坐标系中,方程表示的图形是( )1222222 cz by axA.椭圆抛物面 B.圆柱面 C.单叶双曲面D.椭球面2.设函数 z=x2y,则( ) xzA.2 B. C.D.12 yyxxxyln2xxyln2212yyx3.设是由平面及坐标面所围成的区域,则三重积分( )01zyx dxdydzA. B. C.D.81 61 31 214.已知方程的两个特解为 y1=2x 和 y2=cosx,则该微分方程的通解是)()(xQyxPyy=( )A.2C1x+C2cosx B.2Cx+cosx C.cosx+C(2x-cosx)D.C(2x-cosx)5.设幂级数在 x=1 处收敛,则在 x=4 处该幂级数( )1)3(nn nxaA.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散D.敛散性不定二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 10 分）分）6.设函数,则 .yxyzcossin xz7.已知是某函数的全微分,则 .dyedxeyxyxyxu,yxu,8.设是上半球面,则对面积的曲面积分 .01222zzyx dS9.微分方程的通解为 y= .xy2sin 10.无穷级数的和为 .0!2nnn三、计算题（本大题共三、计算题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分）11.求过点 P(3,-1,0)并且与直线垂直的平面方程.03 21zyx12.设函数,其中 f 是可微函数,求,.yxxfz,3xz  yz 第 4 页-13.设方程确定函数,求全微分 dz.xyxlnyxzz,14.求函数在点(1,-1)沿与 x 轴正向成 30°角的方向 l 的方向导数.22,xyyxyxf15.求空间曲线在点处的切线方程.tztytx,sin,cos   4,22,2216.计算二重积分,其中区域 D：dxdyeIDyx22. 0, 422yyx17.计算二次积分.20 2sinydxxxdyI18.计算对弧长的曲线积分,其中 L 是直线上从点(-1,-3)到点(1,- Ldsyx1322 xy1)的直线段.19.计算对坐标的曲线积分其中 L 是抛物线上从点(-2,4)到点(2,4)的一 Lydxxdy2xy 段弧.20.求微分方程满足初始条件的特解.034 yyy 8)0(, 40yy21.判断级数是否收敛,如果收敛,是条件收敛还是绝对收敛? 131321nnnn22.设函数的傅里叶级数展开式为   xxxxf0 ,0, 0,10sincos2nnnnxbnxaa求系数 b7.四、综合题（本大题共四、综合题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）23.求函数的极值.yxxyyxyxf311381021,2224.设曲线在其上点(x,y)处的切线斜率为 x+y,且过点(-1,e-1),求该曲线方程. xyy 25.将函数展开为(x+1)的幂级数. 2312xxxf第 5 页-20102010 年年 7 7 月自学考试高等数学（工本）试题月自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1．向量 a={}与 y 轴的夹角为（ ）1, 1,2A． B． C．D．6π 4π 3π 2π2．函数 f (x, y)=在点（0，0）处（ ）22yx A．连续 B．间断 C．可微D．偏导数存在3．设函数P（x, y） ，Q（x, y）具有连续的偏导数，且P (x，y)dx+Q（x, y）dy 是某函数u（x, y）的全微分，则（ ）A． B． C． D．xQ yP  xP yQ  xQ yP  xP yQ 4．下列方程中，是一阶级性非齐次微分方程的是（ ）A．ydy=(x+y)dx B．xdy=(x2+y)dx C．D．9cosyxdxdy32 xydxdy5．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（ ）A． B． C．D．15312nnn11) 1(1nnn 151nn11) 1(nnn二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）6．在空间直角坐标系中，直线的方向向量为___________.   320 zyxzyx7．函数 f (x, y)=的定义域为___________.)1 (ln122yx 8．设积分区域 D：x2+y2≤4，则二重积分在极坐标中的二次积分为Ddxdyyxf)(22_____.9．微分方程的一个特解___________.122 yyyy·*y10．设 f (x)是周期为 2的函数，f(x)的傅里叶级数为π112)sin) 1() 12cos(π) 12(2(2πnn nxnxnn则傅里叶系数 a2=___________.三、计算题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）第 6 页-11．已知直线 L 过点 P(2,-1,-1),并且与平面: x-y+z=0 垂直，求直线 L 的方程.π12．设函数 z=x2+arctan,求和xy xz .2yxz 13．设函数 z=xy+1，求全微分 dz.14．设函数 z=f (x, sin(2x+y)), 其中 f (u, v)具有连续偏导数，求和.xz  yz 15．设函数 f (x, y)=5－，求 grad f (2，1).22yx 16．计算二重积分，其中积分区域 D 是由直线 x+y=2，y=x 及 y=0 所围成Ddxdyyx)(的区域.17．计算三重积分，其中积分区域是由平面 2x+3y+z=2 及坐标面所围成的 ydxdydzΩ区域.18．计算对弧长的曲线积分，其中 C 是圆周 x2+y2=1. cyxdse222219．验证对坐标的曲线积分与路径无关，并计算 Cdyxyxdxyxy)4()32(324) 1 , 2()0 , 1 (324)4()32(dyxyxdxyxyI20．求微分方程的通解.yedxdyx21．判断无穷级数的敛散性.1!nnnn22．将函数展开为 x－1 的幂级数.4)(xxxf四、综合题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）23．求函数的极值点，并判断是极大值点还是极小148423264),(22yxyxyxyxf值点.24．计算由三个坐标面，平面 x=2, y=2 及曲面 z=x2+y2+2 所围立体的体积.25．设无穷级数收敛，证明：.1nnu0lim nnu第 7 页-20102010 年年 1010 月高等数学（工本）试题月高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分。