北师大版高中数学选修21第二章空间向量与立体几何空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-1第二第二章章《《空间向量与立体几何空间向量与立体几何》》法门高中姚连省制作法门高中姚连省制作1如如图图，，设设i,j,k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的的向向量量，，且且有有公公共共起起点点O对对于于空空间间任任意意一一个个向向量量p=OP,设设点点Q为为点点P在在 i , j所所 确确 定定 的的 平平 面面 上上 的的正正投投影影，，由由平平面面基基本本定定理理可可知知，，在在 OQ,k所所 确确 定定 的的 平平 面面 上上 ，， 存存 在在 实实 数数z，， 使使 得得OP=OQ+zk,而而 在在i,j所所确确定定的的平平面面上上，，由由平平面面向向量量基基本本定定理理可可 知知 ，， 存存 在在 有有 序序 之之 前前 数数 对对( x , y) ，，使使得得OQ=xi+yj.从从而而OP=O Q + z k= x i + y j + z k.xyzkijQPO一、空间向量基本定理：空间向量基本定理：2xyzkijQPO如果如果i,j,k是空间三个两两垂直的向量，对空间是空间三个两两垂直的向量，对空间任一个向量任一个向量p，存在一个有序实数组使得，存在一个有序实数组使得 p=xi+yj+zk.xi,yj,zk为向量为向量p在在i,j,k上的分向量。

上的分向量3思考：思考：在空间中，如果用任意三个不在空间中，如果用任意三个不共面向量共面向量a,b,c代替两两垂直的向量代替两两垂直的向量i,j,k,能得能得到类似的结论吗？到类似的结论吗？空间向量基本定理：空间向量基本定理：如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量p,存在有序存在有序实数组实数组{x,y,z},使得使得p=xa+yb+zc.空间所有向量的集合空间所有向量的集合{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈∈R}{a,b,c}叫做空间的一个叫做空间的一个基底基底，，a,b,c都叫做都叫做基向量4二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做单位正交基底，常用基底叫做单位正交基底，常用 i , j , k 表表示示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 i、、j、、k 以点以点O为原点，为原点，分别以分别以i、、j、、k的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了这样就建立了一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系O--xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量I、、j、、k都叫做坐标向量都叫做坐标向量.通通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面5 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，A,对应一个向量对应一个向量OA，，于是存在唯一的有序实数于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，，使使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底在单位正交基底i, j, k中与向量中与向量OA对应的有对应的有序实数组序实数组(x,y,z)，，叫做叫做点点A在此空间直角坐标系在此空间直角坐标系中的坐标，记作中的坐标，记作A(x,y,z)，，其中其中x叫做点叫做点A的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标的竖坐标.6例题讲解：例题讲解：例例4、如图，、如图，M，，N分别是四面体分别是四面体OABC的边的边OA，，BC的中点，的中点，P，，Q是是MN的三等分点用向量的三等分点用向量OA，，OB，，OC表示表示OP和和OQBANCOMQP7三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算. .设设则则8设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则则AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标点的坐标. . 空间向量坐标运算法则，关键是注意空空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。