小学奥数《几何体侧面展开》经典专题点拨教案.doc

小学奥数《几何体侧面展开》经典专题点拨教案　　【正棱柱、圆柱侧面展开】正棱柱（底面是正多边形，侧棱与底面垂直的棱柱）和圆柱的侧面展开，摊在同一个平面上，是一个矩形矩形的上、下对边，是柱体上、下底面的周长；矩形左右两对边，是柱体的侧棱或母线　　例如图1.41，将正六棱柱ABCDEF—A払扖扗扙扚捈霸仓鵒O挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希愠闪司匦蜛1A抇1A抇2A2图中画出的是棱柱侧面展开图圆柱侧面展开后，也是一矩形，只是中间没有那些虚线　　【正棱锥侧面展开】正n棱锥（底面为正n边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥）侧面展开，摊在同一平面上，是顶点公共、腰与腰相连的n个全等的等腰三角形　　例如图1.42，将正三棱锥S—ABC的侧面展开，摊在同一个平面上，便形成了三个全等的等腰三角形SAB、SBC和SCA捪嗔耐夹巍　　　【圆锥侧面展开】圆锥侧面展开，摊在同一个平面上，变成的是一个扇形扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，扇形的两条半径，是圆锥的母线　　例如图1.43，将圆锥SO的侧面展开，摊在同一个平面上，便成了扇形径SA、SA挼募薪铅瓤砂聪旅娴氖阶蛹扑悖篲　　　　式中r是圆锥底面圆半径，l是圆锥母线的长。

　　　【正棱台侧面展开】正n棱台（用一平行于正n棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面间的几何体）侧面展开，摊在同一个平面上，得到的是n个全等的等腰梯形，并且腰腰相连　　例如图1.44，将正三棱台ABC—A払扖挼牟嗝嬲箍谕黄矫嫔希阈纬闪烁猛加冶叩耐夹瘟恕　　【圆台侧面展开】圆台侧面展开，摊在同一个平面上的图形，是圆环的一部分，叫做“扇环”这个扇环像梯形，它的两“腰”是圆台的母线，它的上、下“底”是两条弧，其弧长分别是圆台上、下底面圆的周长　　例如图1.45，将圆台O1O2的侧面展开，摊在同一个平面上，就形成了　　　附送：2019-2020年小学奥数《几何公理、定理或性质》经典专题点拨教案　　【直线公理】经过两点有一条直线，并且只有一条直线　　【直线性质】根据直线的公理，可以推出下面的性质：　　两条直线相交，只有一个交点　　【线段公理】在所有连结两点的线中，线段最短或者说：两点之间线段最短　　【垂线性质】　　（1）经过一点，有一条而且只有一条直线垂直于已知直线　　（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短也可以简单地说成：垂线段最短　　【平行公理】经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行。

　　【平行公理推论】如果两条直线都和第三条直线平行，那么，这两条直线也相互平行　　【有关平行线的定理】　　（1）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行　　（2）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也和另一条垂直　　【三角形的特性】三角形有不变形的特性，一般称其为三角形的稳定性由于三角形有这一特性，所以在实践中它有广泛的应用　　【三角形的性质】三角形的性质（或定理及定理的推论），一般有：　　（1）三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边　　（2）三角形三内角之和等于180°　　由三角形上述第（2）条性质，还可以推出下面的两条性质：　　①三角形的一个外角，等于它不相邻的两个内角之和如图1.1，∠4=∠1+∠2　　②三角形的一个外角，大于任何一个同它不相邻的内角如图1.1，　　∠4＞∠1，∠4＞∠2　　【勾股定理】在直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方　　用字母表达就是a2+b2=c2a、b表直角边长，c表斜边长　　我国古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一条直角边叫做“股”，另一条直角边叫做“勾”，斜边叫做“弦”所以我国将这一定理称为“勾股定理”。

　　勾股定理是我国最先发现的一条数学定理而古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）较早地证明了这个定理因此，国外常称它为“毕达哥拉斯定理”　　【平行四边形的性质】　　（1）平行四边形的对边相等　　（2）平行四边形的对角相等　　（3）平行四边形邻角的和是180°如图1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°　　（4）平行四边形的对角线互相平分如图1.2，AO=CO，BO=DO　　平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心　　【长方形的性质】　　长方形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：　　（1）长方形四个角都是直角　　（2）长方形对角线相等　　长方形是中心对称图形，也是轴对称图形它每一组对边中点的连线，都是它的对称轴　　【菱形的性质】菱形除具有平行四边形的性质以外，还具有下列性质：　　（1）菱形的四条边都相等　　（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角例如图1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D　　菱形是中心对称图　　形，也是轴对称图形，它每一条对角线都是它的对称轴　　【正方形的性质】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

　　【多边形内角和定理】n边形的内角的和，等于（n-2）·180°又称“求多边形内角和”的公式　　例如三角形（三边形）的内角和是　　（3-2）×180°=180°；　　四边形的内角和是　　（4-2）×180°=360°　　【多边形内角和定理的推论】　　（1）任意多边形的外角和等于360°　　这是因为多边形每一个内角与它的一个邻补角（多边形外角）的和为180°，所以，n边形n个外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°　　（2）如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补　　例如图1.4，∠1的两边分别垂直于∠A的两边，则∠1+∠A=180°，即∠1与∠A互补　　又∠2、∠3、∠4的两边也分别垂直于∠A的两边，则∠3和∠A也互补，而∠2=∠A，∠4=∠A　　【圆的一些性质或定理】　　（1）半径相等的两个圆是等圆；同圆或等圆的半径相等　　（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆　　（3）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧　　（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等　　（5）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

　　【轴对称图形的性质】轴对称图形具有下面的性质：　　（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连结线段被对称轴垂直平分　　例如图1.5，图中的AA′对称点连结线段，被对称轴L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′　　（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么，交点在对称轴上　　例如图1.5中，BA与B′A′的延长线相交，交点M在对称轴L上　　（3）两个关于某直线对称的图形，一定是全等形　　例如，图1.5中△ABC与△A′B′C′全等 　　【中心对称图形的性质】如果把一个图形绕着一个点旋转180°后，它和另一个图形重合，那么，这两个图形就是关于这个点的“中心对称图形”　　中心对称图形具有以下性质：　　（1）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分　　例如，图1.6中对称点A与A′，B与B′，C与C′，它们的连线都经过O（对称中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′　　（2）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。