北师大新版中考数学题函数综合压轴题及.docx

北师大新版中考数学题函数综合压轴题及答案1．如图，直线 y=﹣x+c 与 x 轴交于点 A〔3，0〕，与 y 轴交于点 B，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过点 A，B．〔1〕求点 B 的坐标和抛物线的解析式；〔2〕M〔m， 0〕为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N．①点 M段 OA上运动，假设以 B，P，N 为顶点的三角形与△ APM相似，求点M的坐标；②点 M在 x 轴上自由运动，假设三个点 M，P， N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点〔三点重合除外〕 ，那么称 M，P，N 三点为“共谐点〞．请直接写出使得 M， P， N三点成为“共谐点〞的 m的值．【分析】〔1〕把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，那么可求得 B 点坐标，由A、 B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；〔2〕①由 M点坐标可表示 P、N 的坐标，从而可表示出 MA、 MP、PN、 PB 的长，分∠ NBP=90°和∠ BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于 m的方程，可求得 m的值；②用 m可表示出 M、P、N 的坐标，由题意可知有 P 为线段 MN的中点、 M为线段 PN的中点或 N为线段 PM的中点，可分别得到关于 m的方程，可求得 m的值．【解答】 解：〔1〕∵ y=﹣ x+c 与 x 轴交于点 A〔3，0〕，与 y 轴交于点 B，∴0=﹣ 2+c，解得 c=2，∴B〔0，2〕，∵抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A， B，∴，解得，∴抛物线解析式为 y=﹣x2+x+2；〔2〕①由〔 1〕可知直线解析式为 y=﹣x+2，∵M〔m，0〕为 x 轴上一动点，过点 M且垂直于 x 轴的直线与直线 AB及抛物线分别交于点 P， N，2∴P〔m，﹣ m+2〕，N〔m，﹣ m+m+2〕，22∴PM=﹣m+2，AM=3﹣m，PN=﹣ m+m+2﹣〔﹣ m+2〕=﹣m+4m，∵△ BPN和△ APM相似，且∠ BPN=∠APM，∴∠ BNP=∠AMP=90°或∠ NBP=∠AMP=90°，当∠ BNP=90°时，那么有 BN⊥ MN，∴N 点的纵坐标为 2，2∴﹣ m+m+2=2，解得 m=0〔舍去〕或 m=，∴M〔， 0〕；当∠ NBP=90°时，过点 N作 NC⊥y 轴于点 C，2 2那么∠ NBC+∠BNC=90°， NC=m， BC=﹣m+m+2﹣2=﹣m+m，∵∠ NBP=90°，∴∠ NBC+∠ABO=90°，∴∠ ABO=∠NBC，∴ Rt△ NCB∽ Rt△BOA，∴ =，∴ =，解得 m=0〔舍去〕或 m=，∴ M〔， 0〕；综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与△ APM相似时，点 M的坐标为〔，0〕或〔， 0〕；2②由①可知 M〔m，0〕，P〔m，﹣ m+2〕，N〔m，﹣ m+m+2〕，∵M，P，N 三点为“共谐点〞，∴有 P 为线段 MN的中点、 M为线段 PN的中点或 N 为线段 PM的中点，2当 P 为线段 MN的中点时，那么有 2〔﹣ m+2〕=﹣m+m+2，解得 m=3〔三点重合，舍去〕或 m=；2当 M为线段 PN的中点时，那么有﹣ m+2+〔﹣ m+m+2〕 =0，解得 m=3〔舍去〕或m=﹣1；2当 N为线段 PM的中点时，那么有﹣ m+2=2〔﹣ m+m+2〕，解得 m=3〔舍去〕或 m=﹣；综上可知当 M，P，N三点成为“共谐点〞时 m的值为或﹣ 1 或﹣．【点评】 此题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在〔 1〕中注意待定系数法的应用，在〔 2〕①中利用相似三角形的性质得到关于 m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在〔 2〕②中利用“共谐点〞的定义得到 m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．此题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比拟多，难度较大．2．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于A，B 两点，顶点为 D〔 0，4〕，AB=4，设点 F〔m，0〕是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C绕点 F 旋转 180°，得到新的抛物线 C′．〔1〕求抛物线 C的函数表达式；〔2〕假设抛物线 C′与抛物线 C在 y 轴的右侧有两个不同的公共点， 求 m的取值范围．〔3〕如图 2，P 是第一象限内抛物线 C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点 P 在抛物线 C′上的对应点 P′，设 M是 C上的动点， N 是 C′上的动点，试探究四边形 PMP′N能否成为正方形假设能，求出 m 的值；假设不能，请说明理由．【分析】〔1〕由题意抛物线的顶点 D〔0，4〕，A〔﹣ 2，0〕，设抛物线的解析式为 y=ax2+4，把 A〔 2， 0〕代入可得 a=﹣，由此即可解决问题；〔2〕由题意抛物线 C′的顶点坐标为〔 2m，﹣ 4〕，设抛物线 C′的解析式为2y=〔x﹣2m〕﹣4，由，消去y 得到2 2x ﹣2mx+2m﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线 C在 y 轴的右侧有两个不同的公共点，那么有，解不等式组即可解决问题；〔3〕情形 1，四边形 PMP′N能成为正方形． 作 PE⊥x 轴于 E，MH⊥x 轴于 H．由题意易知 P〔2，2〕，当△ PFM是等腰直角三角形时，四边形 PMP′N 是正方形，推出 PF=FM，∠ PFM=90°，易证△ PFE≌△ FMH，可得 PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得 M〔m+2，m﹣2〕，理由待定系数法即可解决问题；情形 2，如图，四边形 PMP′N是正方形，同法可得 M〔 m﹣2，2﹣m〕，利用待定系数法即可解决问题．【解答】 解：〔1〕由题意抛物线的顶点 D〔0，4〕， A〔﹣ 2，0〕，设抛物线的解析式为 y=ax2+4，把 A〔﹣ 2， 0〕代入可得 a=﹣，∴抛物线 C的函数表达式为 y=﹣x2+4．〔2〕由题意抛物线 C′的顶点坐标为〔 2m，﹣ 4〕，设抛物线 C′的解析式为y=〔x﹣2m〕 2﹣4，2 2由，消去 y 得到 x ﹣2mx+2m﹣8=0，由题意，抛物线 C′与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点，那么有，解得 2＜m＜2，∴满足条件的 m的取值范围为 2＜m＜2．〔3〕结论：四边形 PMP′N能成为正方形．理由： 1 情形 1，如图，作 PE⊥ x 轴于 E， MH⊥x 轴于 H．由题意易知 P〔 2， 2〕，当△ PFM是等腰直角三角形时，四边形 PMP′N是正方形，∴PF=FM，∠ PFM=90°，易证△ PFE≌△ FMH，可得 PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M〔m+2，m﹣2〕，∵点 M在 y=﹣x2+4 上，2∴m﹣2=﹣〔 m+2〕 +4，解得 m=﹣ 3 或﹣﹣ 3〔舍弃〕，情形 2，如图，四边形 PMP′N是正方形，同法可得 M〔m﹣2，2﹣m〕，把 M〔m﹣2，2﹣m〕代入 y=﹣x2 +4 中， 2﹣m=﹣〔 m﹣2〕2+4，解得 m=6或 0〔舍弃〕，∴m=6时，四边形 PMP′N是正方形．综上，四边形 PMP′N能成为正方形， m=﹣3 或 6．【点评】 此题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．3．在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M，给出如下的定义：假设在图形 M 上存在一点 Q，使得 P、Q两点间的距离小于或等于 1，那么称 P 为图形 M的关联点．〔1〕当⊙ O 的半径为 2 时，①在点 P1〔， 0〕，P2〔，〕，P3〔， 0〕中，⊙ O 的关联点是 P2， P3 ．②点 P 在直线 y=﹣x 上，假设 P 为⊙ O的关联点，求点 P 的横坐标的取值范围．〔2〕⊙ C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，直线 y=﹣x+1 与 x 轴、 y 轴交于点 A、B．假设线段 AB上的所有点都是⊙ C 的关联点，直接写出圆心 C 的横坐标的取值范围．【分析】〔1〕①根据点 P1〔，0〕，P2〔，〕，P3〔，0〕，求得 OP1=，OP2=1，OP3=，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小 y=﹣ x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合题意，设 P〔 x，﹣ x〕，根据两点间的距离公式即可得到结论；〔2 根据条件得到 A〔 1， 0〕，B〔0，1〕，如图 1，当圆过点 A 时，得到C〔﹣ 2，0〕，如图 2，当直线 AB与小圆相切时，切点为 D，得到 C〔 1﹣，0〕，于是得到结论；如图 3，当圆过点 A，那么 AC=1，得到 C〔2，0〕，如图 4，当圆过点 B，连接 BC，根据勾股定理得到 C〔2，0〕，于是得到结论．【解答】 解：〔1〕①∵点 P1〔， 0〕， P2 〔，〕， P3〔， 0〕，∴OP1=， OP2=1， OP3=，∴P1 与⊙ O的最小距离为， P2 与⊙ O的最小距离为 1，OP3 与⊙ O的最小距离为，∴⊙ O，⊙ O 的关联点是 P2， P3；故答案为： P2，P3；②根据定义分析，可得当最小 y=﹣ x 上的点 P 到原点的距离在 1 到 3 之间时符合题意，∴设 P〔 x，﹣ x〕，当 OP=1时，由距离公式得， OP==1，∴ x=，当 OP=3时， OP==3，解得： x=±；∴点 P 的横坐标的取值范围为：﹣≤ x≤﹣，或≤ x≤；〔2〕∵直线 y=﹣ x+1 与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B，∴A〔1，0〕，B〔0，1〕，如图 1，当圆过点 A 时，此时， CA=3，∴C〔﹣ 2，0〕，如图 2，当直线 AB与小圆相切时，切点为 D，∴CD=1，∵直线 AB的解析式为 y=﹣x+1，∴直线 AB与 x 轴的夹角 =45°，∴AC=，∴C〔1﹣， 0〕，∴圆心 C的横坐标的取值范围为：﹣ 2≤ xC≤1﹣；如图 3，当圆过点 A，那么 AC=1，∴ C〔2，0〕，如图 4，当圆过点 B，连接 BC，此时， BC=3，∴OC==2，∴C〔2，0〕．∴圆心 C的横坐标的取值范围为： 2≤xC≤ 2；综上所述；圆心 C的横坐标的取值范围为：﹣ 2≤ xC≤1﹣或 2≤ xC≤2．【点评】 此题考。