驻波经典知识介绍.ppt

第五节第五节第五节第五节驻波驻波驻波驻波一、驻波的产生￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿驻波驻波驻波驻波————————两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿方向传播时形成的叠加波方向传播时形成的叠加波方向传播时形成的叠加波方向传播时形成的叠加波1. 1.1.驻波的演示驻波的演示驻波的演示驻波的演示驻波的演示驻波的演示2. 2.驻波的形成驻波的形成驻波的形成驻波的形成￿ ￿驻波驻波驻波驻波------------波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形波形不传播，是媒质质元的一种集体振动形￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿态￿ ￿ " " " "驻驻驻驻" " " "字的第一层含义字的第一层含义字的第一层含义字的第一层含义。

反射波反射波反射波反射波入射波入射波入射波入射波二￿、驻波方程￿￿￿￿￿￿￿￿设两列沿同一直线相向传播的同振幅相干波设两列沿同一直线相向传播的同振幅相干波设两列沿同一直线相向传播的同振幅相干波设两列沿同一直线相向传播的同振幅相干波, , , ,y y y y1 1 1 1y y y y2 2 2 2x xx xu uu u取两波在空间某点引起振动取两波在空间某点引起振动取两波在空间某点引起振动取两波在空间某点引起振动, ,同时达到最大为起始时刻同时达到最大为起始时刻同时达到最大为起始时刻同时达到最大为起始时刻, ,该点为坐标原点该点为坐标原点该点为坐标原点该点为坐标原点. .驻波方程驻波方程驻波的振幅与位驻波的振幅与位驻波的振幅与位驻波的振幅与位置有关置有关置有关置有关 驻波表达式中驻波表达式中驻波表达式中驻波表达式中 x x 和和和和 t t      分别出现在两个因子分别出现在两个因子分别出现在两个因子分别出现在两个因子中，并不表现为中，并不表现为中，并不表现为中，并不表现为                                                                 或或或或                                                                            的形式，的形式，的形式，的形式，所以它不是一个行波表达式，而实际上是一个振动表所以它不是一个行波表达式，而实际上是一个振动表所以它不是一个行波表达式，而实际上是一个振动表所以它不是一个行波表达式，而实际上是一个振动表达式。

达式驻波方程驻波方程各质点都在作同频各质点都在作同频各质点都在作同频各质点都在作同频率的简谐运动率的简谐运动率的简谐运动率的简谐运动合成波为振幅是合成波为振幅是合成波为振幅是合成波为振幅是的同频率谐振动的同频率谐振动的同频率谐振动的同频率谐振动三、驻波的特点 ￿￿￿￿￿￿1. 1.频率特点：频率特点：频率特点：频率特点：由图及方程知，各质元以同一频率作简由图及方程知，各质元以同一频率作简由图及方程知，各质元以同一频率作简由图及方程知，各质元以同一频率作简 谐振动 2. 2.振幅特点：振幅特点：振幅特点：振幅特点： (2)(2)(2)(2)波节：波节：波节：波节：有些点始终静止，这些点称作波节有些点始终静止，这些点称作波节有些点始终静止，这些点称作波节有些点始终静止，这些点称作波节波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，波节处，由两列波引起的两振动恰好反相，相互抵消，故波节处静止不动。

由故波节处静止不动由故波节处静止不动由故波节处静止不动由 得波节位置得波节位置得波节位置得波节位置  波节波节波节波节(1)(1)(1)(1)各点的振幅各点的振幅各点的振幅各点的振幅 和位置和位置和位置和位置 x x x x 有关，振幅有关，振幅有关，振幅有关，振幅 大小按余弦规律随大小按余弦规律随大小按余弦规律随大小按余弦规律随 x x x x 变化变化变化变化 波节位置：波节位置：波节位置：波节位置：波腹位置：波腹位置：波腹位置：波腹位置：(3)(3)(3)(3)波腹：波腹：波腹：波腹：有些点振幅最大，这些点称作波腹有些点振幅最大，这些点称作波腹有些点振幅最大，这些点称作波腹有些点振幅最大，这些点称作波腹    波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，波腹处，由两列波引起的两振动恰好同相，相互加强，故波腹处振幅最大。

相互加强，故波腹处振幅最大相互加强，故波腹处振幅最大相互加强，故波腹处振幅最大 相邻两波节距离相邻两波节距离相邻两波节距离相邻两波节距离波腹波腹波节波节相邻两波腹距离相邻两波腹距离相邻两波腹距离相邻两波腹距离各质点作振幅为各质点作振幅为各质点作振幅为各质点作振幅为 ，频率为，频率为，频率为，频率为νννν的简谐运动的简谐运动的简谐运动的简谐运动1) (1) (1) (1) 两相邻波节间的点（同一段的点）两相邻波节间的点（同一段的点）两相邻波节间的点（同一段的点）两相邻波节间的点（同一段的点）符号相同，相位相同符号相同，相位相同符号相同，相位相同符号相同，相位相同2) (2) (2) (2) 波节两边的点（相邻段的点）波节两边的点（相邻段的点）波节两边的点（相邻段的点）波节两边的点（相邻段的点）符号相反，相位相反符号相反，相位相反符号相反，相位相反符号相反，相位相反驻波相位不传播驻波相位不传播驻波相位不传播驻波相位不传播 　3. 3.相位特点相位特点相位特点相位特点 ---"---"---"---"驻驻驻驻" " " "字的第二层含义。

字的第二层含义字的第二层含义字的第二层含义 驻波波形曲线驻波波形曲线驻波波形曲线驻波波形曲线分为很多分为很多分为很多分为很多““““分段分段分段分段””””( ( ( (每段长每段长每段长每段长 /2 /2 /2 /2 ););););　4. 4.能量特点能量特点能量特点能量特点 当各质点同时到达平衡位置时：介质无形变，当各质点同时到达平衡位置时：介质无形变，当各质点同时到达平衡位置时：介质无形变，当各质点同时到达平衡位置时：介质无形变，势能势能势能势能为零为零为零为零，此时，此时，此时，此时驻波能量为动能驻波能量为动能驻波能量为动能驻波能量为动能波腹处动能最大，波腹处动能最大，波腹处动能最大，波腹处动能最大，驻波能驻波能驻波能驻波能量集中在量集中在量集中在量集中在波腹附近波腹附近波腹附近波腹附近1)(1)(1)(1)动能：动能：动能：动能：(2)(2)(2)(2)势能：势能：势能：势能： 当各质点同时到达最大位移时：当各质点同时到达最大位移时：当各质点同时到达最大位移时：当各质点同时到达最大位移时：动能为零，动能为零，动能为零，动能为零，此时此时此时此时驻驻驻驻波能量为势能波能量为势能波能量为势能波能量为势能。

波节处形变最大，势能最大，波节处形变最大，势能最大，波节处形变最大，势能最大，波节处形变最大，势能最大，能量集能量集能量集能量集中在中在中在中在波节附近波节附近波节附近波节附近3)(3)(3)(3)结论：结论：结论：结论： 动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转动能、势能不断在波腹附近和波节附近间相互转换，能量交替传递，换，能量交替传递，换，能量交替传递，换，能量交替传递，         驻波的能量被驻波的能量被驻波的能量被驻波的能量被““““封闭封闭封闭封闭””””在相邻波节和波腹间的在相邻波节和波腹间的在相邻波节和波腹间的在相邻波节和波腹间的 /4/4/4/4 的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能的范围内，在此范围内有能量的反复流动，但能量不能越过波腹和波节传播量不能越过波腹和波节传播量不能越过波腹和波节传播量不能越过波腹和波节传播, , , ,驻波没有单向的能量传驻波没有单向的能量传驻波没有单向的能量传驻波没有单向的能量传输。

输 驻波不传播能量驻波不传播能量驻波不传播能量驻波不传播能量 ---“---“驻驻驻驻” ”字的第三层含义字的第三层含义字的第三层含义字的第三层含义 形成驻波的两个行波的能流密度数值相等，方形成驻波的两个行波的能流密度数值相等，方形成驻波的两个行波的能流密度数值相等，方形成驻波的两个行波的能流密度数值相等，方向相反，因此它们叠加而成的驻波能流密度为零，向相反，因此它们叠加而成的驻波能流密度为零，向相反，因此它们叠加而成的驻波能流密度为零，向相反，因此它们叠加而成的驻波能流密度为零，实际中驻波的形成实际中驻波的形成实际中驻波的形成实际中驻波的形成 实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它实际的驻波可由入射到媒质界面上的行波和它的反射波叠加而成的反射波叠加而成的反射波叠加而成的反射波叠加而成 1. 1.波在固定端的反射波在固定端的反射波在固定端的反射波在固定端的反射 ( ( ( (如一端固定的弹性绳如一端固定的弹性绳如一端固定的弹性绳如一端固定的弹性绳) ) ) ) 反射点是波节反射点是波节反射点是波节反射点是波节( ( ( (和固定点情况吻合和固定点情况吻合和固定点情况吻合和固定点情况吻合) ) ) )。

2. 2.波在自由端的反射波在自由端的反射波在自由端的反射波在自由端的反射 反射点是波腹反射点是波腹反射点是波腹反射点是波腹 在两个介质分界面上将如何在两个介质分界面上将如何在两个介质分界面上将如何在两个介质分界面上将如何 ? ? 问题问题问题问题四、相位跃变（半波损失） 介质密度介质密度介质密度介质密度ρρρρ，，，，波速波速波速波速u u u u , , , , 则波阻为则波阻为则波阻为则波阻为ρuρuρuρu，，，，当机械波当机械波当机械波当机械波传播时：传播时：传播时：传播时：波阻波阻波阻波阻ρuρuρuρu 较小的介质，称为较小的介质，称为较小的介质，称为较小的介质，称为波疏介质；波疏介质；波疏介质；波疏介质；波阻波阻波阻波阻ρu ρu ρu ρu 较大的介质，称为较大的介质，称为较大的介质，称为较大的介质，称为波密介质波密介质波密介质波密介质1 1、波疏介质和波密介质：、波疏介质和波密介质：、波疏介质和波密介质：、波疏介质和波密介质：2 2、半波损失：、半波损失：、半波损失：、半波损失： 当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质，当波从波疏介质垂直入射到波密介质， 被反射被反射被反射被反射到波疏介质时到波疏介质时到波疏介质时到波疏介质时, , , ,在反射处形成在反射处形成在反射处形成在反射处形成波节波节波节波节. . . . 入射波与反射波入射波与反射波入射波与反射波入射波与反射波在此处的相位时时在此处的相位时时在此处的相位时时在此处的相位时时相反相反相反相反, , , , 即反射波在即反射波在即反射波在即反射波在分界处分界处分界处分界处产生产生产生产生 的的的的相位相位相位相位跃变跃变跃变跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称，相当于出现了半个波长的波程差，称，相当于出现了半个波长的波程差，称，相当于出现了半个波长的波程差，称半半半半波损失波损失波损失波损失. . . .波波密密介介质质较较大大波波疏疏介介质质较较小小 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射被反射被反射被反射到波密介质时形成到波密介质时形成到波密介质时形成到波密介质时形成波腹波腹波腹波腹. . . . 入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相入射波与反射波在此处的相位时时位时时位时时位时时相同相同相同相同，，，，即反射波在分界处即反射波在分界处即反射波在分界处即反射波在分界处不不不不产生相位产生相位产生相位产生相位跃变跃变跃变跃变. . . .波波密密介介质质较较大大五、振动的简正模式：￿￿ 对于具有一定长度且两端固定的弦线来说，形成对于具有一定长度且两端固定的弦线来说，形成对于具有一定长度且两端固定的弦线来说，形成对于具有一定长度且两端固定的弦线来说，形成驻波时，弦线两端为驻波时，弦线两端为驻波时，弦线两端为驻波时，弦线两端为波节波节波节波节，由上图，由上图，由上图，由上图可见，此时波长和可见，此时波长和可见，此时波长和可见，此时波长和弦线长度之间应满足下述关系弦线长度之间应满足下述关系弦线长度之间应满足下述关系弦线长度之间应满足下述关系      就是说，只有当弦线长度等于半波长的整数倍时，就是说，只有当弦线长度等于半波长的整数倍时，就是说，只有当弦线长度等于半波长的整数倍时，就是说，只有当弦线长度等于半波长的整数倍时，才能在两端固定的弦线上形成驻波，才能在两端固定的弦线上形成驻波，才能在两端固定的弦线上形成驻波，才能在两端固定的弦线上形成驻波， ⒈⒈⒈⒈两端固定的弦：两端固定的弦：两端固定的弦：两端固定的弦：频率频率频率频率本征频率本征频率称为基频、二次谐频、称为基频、二次谐频、称为基频、二次谐频、称为基频、二次谐频、…一端为波节，一端为波腹（开口）。

一端为波节，一端为波腹（开口）一端为波节，一端为波腹（开口）一端为波节，一端为波腹（开口）凡只能以某一频率的整数倍振动的振动形式凡只能以某一频率的整数倍振动的振动形式凡只能以某一频率的整数倍振动的振动形式凡只能以某一频率的整数倍振动的振动形式称为称为称为称为简正模式简正模式简正模式简正模式n=1,2,… ，，⒉⒉⒉⒉空气柱：空气柱：空气柱：空气柱：3. 3.边界条件的作用边界条件的作用边界条件的作用边界条件的作用 (3). (3). (3). (3). 凡是有边界的振动物体，其上都存在驻波凡是有边界的振动物体，其上都存在驻波凡是有边界的振动物体，其上都存在驻波凡是有边界的振动物体，其上都存在驻波( ( ( (如如如如 振动的鼓皮，被敲响的大钟，及各种正在发振动的鼓皮，被敲响的大钟，及各种正在发振动的鼓皮，被敲响的大钟，及各种正在发振动的鼓皮，被敲响的大钟，及各种正在发 声的乐器等声的乐器等声的乐器等声的乐器等) ) ) ) (1)(1). . . . 弦上实际存在的波既要满足波动方程又要满足弦上实际存在的波既要满足波动方程又要满足弦上实际存在的波既要满足波动方程又要满足弦上实际存在的波既要满足波动方程又要满足(2)(2) 边界条件。

边界条件边界条件边界条件2). (2). (2). (2). 在有界弦上之所以只存在一些特定的振动模式，在有界弦上之所以只存在一些特定的振动模式，在有界弦上之所以只存在一些特定的振动模式，在有界弦上之所以只存在一些特定的振动模式， 是边界条件要求的结果是边界条件要求的结果是边界条件要求的结果是边界条件要求的结果 外界策动源频率与系统某本征频率相同时，外界策动源频率与系统某本征频率相同时，外界策动源频率与系统某本征频率相同时，外界策动源频率与系统某本征频率相同时，激起高强度的驻波，也叫共振或谐振激起高强度的驻波，也叫共振或谐振激起高强度的驻波，也叫共振或谐振激起高强度的驻波，也叫共振或谐振六、应用：￿￿各种乐器、各种乐器、各种乐器、各种乐器、“ “鱼洗鱼洗鱼洗鱼洗” ” 例例 如图如图, 一列沿一列沿x轴正向传播的简谐波轴正向传播的简谐波方程为方程为 (m)（（1））在在1，，2两种介质分界面上点两种介质分界面上点A与坐标原点与坐标原点O相距相距L=2.25 m.已知介质已知介质2的波阻大于介质的波阻大于介质1的波阻的波阻,假设反射波与入射波的振幅相等假设反射波与入射波的振幅相等, 求：求： （（a））反射波方程反射波方程;（（b））驻波方程驻波方程;（（c））在在OA之间波节和波腹的位置坐标之间波节和波腹的位置坐标.yLOAx12解解 （（a））设反射波方程为设反射波方程为（（2））由式由式（（1））得得A点的反射振动方程点的反射振动方程（（3））(m)(m)（（1）） 由式由式（（2））得得A点的反射振动方程点的反射振动方程（（4））(m)舍去舍去所以反射波方程为：所以反射波方程为：(m)（（b））（（c）） 令令令令得波节坐标得波节坐标≤得波腹坐标得波腹坐标≤。