高三数学基础知识与典型例题复习-函数.doc

第二章函数映射映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射例1.若，,则到的映射有 个，到的映射有 个；若，, 则到的一一映射有 个例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是 ( )（A）2 （B）3 （C）4 （D）5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)|x∈A}为值域2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素3. 函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。

函数定义域是研究函数性质的基础和前提函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象 例3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 例4. 求函数的定义域. 例5. 若函数的定义域为[-1,1]，求函数的定义域函数4.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础①函数的值域为R;②二次函数 当时值域是,当时值域是]；③反比例函数的值域为； ④指数函数的值域为；⑤对数函数的值域为R；⑥函数的值域为[-1，1]；函数,的值域为R；例6.已知 (x¹0), 求.例7. 求函数的值域.例8. 下列函数中值域为的是( ) (A) (B) (C) (D) 单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.例9.讨论函数的单调性。

单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集判断函数单调性的方法：①定义法（作差比较和作商比较）；②图象法；③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；④复合函数单调性判断法则;⑤导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等例10. 函数在定义域上的单调性为( )（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数例11.已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数奇偶性1.⑴偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.⑵偶函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.②满足，或，若时，.2.⑴奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或，若时，.注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)≠0）例12.判断下列函数的奇偶性：①,②,③反函数1.反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. 2.求反函数的步骤:①将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；②将互换，得；③写出反函数的定义域（即的值域）。

3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.[注]：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位.是先左移三个单位，在的反函数.例13.求函数 （-1≤ x < 0）的反函数例14.已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值反函数4.⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. ⑷一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上.注:1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则① f-1[f(x)]=x,(xÎA)②f[f-1(x)]=x,(xÎC)例15. 若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( )(A) (B) (C) (D)例16. 设，则________.例17. 函数与互为反函数的充要条件是___________.例18. 若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__，=___指数函数与对数函数1.指数函数：（），定义域R，值域为（）.⑴①当，指数函数：在定义域上为增函数；②当，指数函数：在定义域上为减函数.⑵当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例19.函数(，且)的图象必经过点( )(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)例20. 指数函数与对数函数2.对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.⑴对数运算：例如：中x＞0而中x∈R）.⑵（）与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例21.设 且,⑴ 求证:;⑵比较的大小.例22.已知 ， ,试比较的大小。

例23.求函数的单调减区间，并用单调定义给予证明例24. 求下列函数的定义域、值域：①; ②图象变换①y = f（x）②y =f（x）③y =f（x）④y=f(x)→y=f(|x|),把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称⑤y=f(x)→y=|f(x)|把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称注意：它是一个偶函数）⑥伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换注:一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；例25.讨论函数的图象与的图象的关系一次函数与二次函数1.一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；2.一元二次函数：一般式:；对称轴方程是；顶点为；两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；⑴一元二次函数的单调性： 当时： 为增函数； 为减函数；当时： 为增函数； 为减函数；⑵二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，(Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；(Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 一次函数与二次函数⑶二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件a·f(k)<0另外:①二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(p

③若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数特别指出,分段函数也是重要的函数模型一次函数与二次函数例26. 当0≤x≤1时，函数y=ax+a－1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）(A)a< (B)a>1 (C)a<或a>1 (D)