画法几何及机械制图：5 直线、平面相对位置.ppt

第五章第五章 直线与平面的相对位置直线与平面的相对位置 两平面的相对位置两平面的相对位置§5-1 直线与平面平行直线与平面平行 • 两平面平行两平面平行§5-3 直线与平面垂直直线与平面垂直 • 两平面垂直两平面垂直§§5-2 直线与平面的交点直线与平面的交点 • 两平面的交线两平面的交线§5-1 直线与平面平行 • 两平 面平行一、直线与平面平行几几何何条条件件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行这是解决直线与平面平行作图问题的依据 有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行 例题1 例题2二、平面与平面平行几几何何条条件件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行这是两平面平行的作图依据 两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影 例题3 例题4 例题5一、直线与平面平行几何条件几何条件直线与平面平行，则直线平行于平面上的某一条直线。

直线平行于平面上的某一条直线ca'b'abc'f'e'feAB直线与平面平行的特殊情况 若一直线平行于投影面垂直面时，直线的投影与平面有积聚性的同面投影平行；或者，直线、平面在同一投影面上积聚Xabca b c'demnd e m n [例题例题1] 试判断直线AB是否平行于定平面 fgfg结论：直线AB不平行于定平面 如果直线平行于平面，则直线的各面投影必与平面上一直线的同面投影平行[例题例题2] 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面 baaffb二、两平面平行二、两平面平行EFDACB 几何条件：几何条件： 两平面内各有一对两平面内各有一对相交相交直线分别对应平行直线分别对应平行c f b d e a abcdef两投影面垂直面相互平行垂直面相互平行，则它们具有积聚性具有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行两平面平行的特殊情况[例题例题3 ] 试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行[例题例题4] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。

试过点K作一平面平行于已知平面 emnmnfefsrsrkk[例题例题5] 试判断两平面是否平行结论：因为PH平行SH，所以两平面平行§5-2 直线与平面的交点、两平面的交线—— 求交点——并判别可见性(即判别线面的遮挡关系）交点的性质：交点的性质：1. 是直线与平面的公是直线与平面的公有点有点;2. 是可见与不可见的是可见与不可见的分界点一、直线与平面相交二、平面与平面相交1. 交线是两平面的公有线交线是两平面的公有线凡两平面的公有点都在交（凡两平面的公有点都在交线上）线上）2. 交线的投影是直线，可由交线的投影是直线，可由其上两个（公有）点的投影其上两个（公有）点的投影确定3. 求一平面内的一直线与另求一平面内的一直线与另一平面的交点来确定公有点一平面的交点来确定公有点（转化为线、面交点问题）转化为线、面交点问题）—— 求交线并判别可见性三、特殊位置线面相交1、直线与特殊位置平面相交 判断直线的可见性2、特殊位置直线与一般位置平面相交bbaaccmmnn1、平面为特殊位置kk① 求交点 铅垂面的水平投影有积聚性，交点可直接求出 判断直线的可见性bbaaccmmnkkn ② 判别可见性 由水平投影可知，KM段在平面前，故正面投影上km为可见。

还可通过重影点判别可见性 kb●c b a ack ●2、直线为特殊位置 空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MNMN为铅垂线，其水平为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交投影积聚成一个点，故交点点K K的水平投影也积聚在该的水平投影也积聚在该点上①求交点 用面上取点法②判别可见性作作 图图[ [例题例题1] 1] 求求ABAB直线与水平面直线与水平面的交点的交点K K 从几何元素有积聚性的投影入手,先利用公有性得到交点的一个投影,再根据从属关系求出交点的另一个投影可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法可见性判断可用重影点法，简单时可用直观法aa'bb'k'k四、一般位置直线、平面相交 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图12以铅垂面为辅助平面求线面交点PH1步骤：1．过EF作铅垂平面P2．求P平面与ΔABC的交线ⅠⅡ3．求交线ⅠⅡ与EF的交点Kkk2 示意图CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图fee直线EF与 ABC相交，判别可见性。

利用重影点判别可见性1243（ ）kk34示意图( )2112以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1．过EF作正垂平面Q2．求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ3．求交线ⅠⅡ与EF的交点K示意图五、两平面相交（特殊）nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出判断平面的可见性由特殊位置平面有积聚性的投影可以直观看出可通过正面投影直可通过正面投影直观地进行判别观地进行判别abcdefc f d b e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABCABC与与DEFDEF都为都为正垂面正垂面，，它们的正面投影都积聚成直线它们的正面投影都积聚成直线交线必为一条正垂线交线必为一条正垂线，，只要求只要求得交线上的一个点便可作出交得交线上的一个点便可作出交线的投影线的投影① ① 求交线求交线 ② ② 判别可见性判别可见性作作 图图 从正面投影上可看出，从正面投影上可看出，在交线左侧，平面在交线左侧，平面ABCABC在上，在上，其水平投影可见。

其水平投影可见n●m●[ [例题例题2]2]求两平面的交线求两平面的交线MNMN并判别可见性并判别可见性⑴⑴Xabca b c d e f g d(g)e(f)k1k1 k2k2  1  2 12( )[ [例题例题3]3]求求 ABCABC和和 DEFGDEFG两平面的交线两平面的交线①① 求交线求交线②② 判别可见性判别可见性利用重影点判别可见性：点利用重影点判别可见性：点Ⅰ在在BC上，点上，点Ⅱ在在EF上，上，点点Ⅰ在在后，点后，点Ⅱ在前，故在前，故e’f’可见作作 图图空间及投影分析空间及投影分析 DEFG DEFG平面为平面为铅铅垂面垂面，，它的水平投影积聚成直线它的水平投影积聚成直线交线的水平投影必在其积交线的水平投影必在其积聚的这一条直线上聚的这一条直线上. .a 六、两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线两一般位置平面相交求交线 示意图判别可见性例题6  两一般位置平面相交，求交线步骤：1．用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点K、E。

求两平面的交线llnmmnPVQV1221kkee2．连接两个共有点，画出交线KE示意图两一般位置平面相交求交线的方法 示意图 利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线MBCAFKNL利用重影点判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ( )3 4 21( )1 2[例题例题4] 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交 分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求FPEKH作图mnhhnmPV11221．过点K作平面KMN// ABC平面2．求直线EF与平面KMN的交点H 3．连接KH，KH即为所求 两一般位置平面相交：三面共点法pv1234k1k2k23412k1Qv§5-3 直线与平面垂直、两平面垂直直线与平面垂直、两平面垂直一、直线与平面垂直 1、几何条件 定理1 定理2 例题1 例题2 例题3 例题4 2、特殊情况二、两平面垂直 1、几何条件 例题5 例题6 例题7 2、特殊情况1 1、直线与平面垂直的几何条件、直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。

定理1 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影knkn定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面[例题例题1] 平面由 BDF给定，试过定点K作平面的法线acacnnkk2 2、直线与特殊位置平面垂直、直线与特殊位置平面垂直Xp pa b abVHXOPABabab p pAB P 当直线垂直于特殊位置平面时，直线也是特殊位置直线，平面的积聚性投影垂直于直线的同面投影h 若平面为投影面垂直面，则垂直于该平面的直线必为该投影面的平行线hhhhh即垂直于正垂面的必为正平线即垂直于正垂面的必为正平线 垂直于铅垂面的必为水平线垂直于铅垂面的必为水平线Xg a b c gabcf f(1)作垂线；(2)求垂足；(3)求实长L作图步骤作图步骤[例题例题2 2]求点G到ABC平面的距离[例题例题3] 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于该平面。

efef1、两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面AD二、两平面垂直二、两平面垂直 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面两平面垂直两平面不垂直XVHOPQp’q’pqXp’q’pq2、两特殊位置平面垂直回两投影面垂直面垂直，其积聚性投影互相垂直g[例题例题4] 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面hacachg[例题例题5] 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直ffdd结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直[例题例题6] 试过定点A作直线与已知直线EF正交EQ分析 过已知点A作平面垂直于已知直线EF，并交于点K，连接AK，AK即为所求FAK作图21aefafe1221PV12kk作业:P19-P27。