高中数学必修一第一章知识点总结.doc

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a,M，或者a电M，两者必居其一.（4）集合的表示法① 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.② 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合③ 描述法：｛x|x具有的性质｝，其中x为集合的代表元素.④ 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类① 含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集（„）.【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集A…B(或B二A)A中的任一元素都属于B(1)A…A⑵„…A⑶若A…B且B…C，则A…C⑷若A…B且B…A，则A—B或真子集AUB土(或B・A)A…B，且B中至少有一元素不属于A（1）„UA（A为非空子集）⑵若AUB且BUC，则AUC£少集合相等A—BA中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A(1) A…B(2) B…AGJ（7）已知集合A有n（n<1）个元素，则它有2n个子集，它有2-1个真子集，它有2-1个非空子集,它有2n—2非空真子集.（8）交集、并集、补集#【1.1.3】集合的基本运算##名称记号意义性质示意图交集并集补集{xIX€A,且X€B}(1)(2)(3)AA=AA.,=,QbuAA—二—.BuBni—{xIX€A,或X€B}(1)(2)(3)AAAAA{xIX€U,且X…A}1A(BU值A=A0=AB„AB„B=(A)»=(fA)等式与(B)g)u(UA)1不等式vUvV解集Ixl0){xI一aa(a>0)xIx<-a或x>a}Iax+bIc(c>0)把ax+b看成一个整体，化成丨xIa(a>°)型不等式来求解不(1)含绝对值的不等式的解法【补充知识】含绝对#(2)一元二次不等式的解法判别式A=b2一4acA>0A=0A<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象：1VO一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根-b±Jb2一4acx=1,22a(其中X10(a>0)的解集{XIXX}{XIx丰—}2aRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x1xax…b,x0，从而确定函数的值域或最值.④ 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤ 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥ 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦ 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧ 函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法5) 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.6) 映射的概念① 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射，记作f：AtB.② 给定一个集合A到集合B的映射，且aGA，bGB•如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性① 定义及判定方法函数的性质定义如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X、X,当X〈X时，都12•1••2有f(x)〈f(x),那么就说1-2・f(x)在这个区间上是增函数.图象函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值X、X,当乂〈X时，都12•1•・2有f(x)>f(X),那么就说1-2・f(x)在这个区间上是减函数.判定方法(1) 利用定义(2) 利用已知函数的单调性(3) 利用函数图象(在某个区间图象上升为增)(4) 利用复合函数(1) 利用定义(2) 利用已知函数的单调性(3) 利用函数图象(在某个区间图象下降为减)(4) 利用复合函数##② 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数y€f[g(x)],令u€g(x),若y€f(u)为增，u€g(x)为增，则y€f[g(x)]为增；若y€f(u)为减，u€g(x)为减，则y€f[g(x)]为增；若y€f(u)为增，U€g(X)为减，则y€f[g(X)]为减；若y€f(U)为减，U€g(x)为增，贝Uyy€f[g(x)]为减.(2) 打“丿”函数f(x)€x+(a>°)的图象与性质Xf(x)分别在(—„，-Qa]、L'，a，+„)上为增函数，分别在[7a，0)、(°,W]上为减函数.(3) 最大(小)值定义①一般地，设函数y€f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x…1，都有f(x)aM；(2)存在x0…1，使得f(x0)€M.那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作f(X)€M.max② 一般地，设函数y€f（x）的定义域为1,如果存在实数m满足：（1）对于任意的x丘1,都有f（x）,m；（2）存在x0e1，使得f（x0）€m.那么，我们称m是函数f（x）的最小值，记作##【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义如果对于函数f（x）定义域内任意一个X，都有f（—x）=—f（x）,那么函数f（x）叫做奇函数.图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象(a,f(a))KT・0ak函数的(-a.f(-fi))关于原点对称）奇偶性如果对于函数f（x）定义域内任意一个X，都有f（—x）=f（x）,那么函数f（x）叫做偶函数.（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数f（x）为奇函数，且在x€0处有定义，则f（0）€0.③ 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.④ 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数.〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③ 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换h＞…左移h个单位h„0,右移hl个单位>y€f(x+h)……下移个…单位＞y€f（x）+k②伸缩变换y€f（x）常缩申＞y€f⑹x）y，f(x)匕仔1缩„y，Af(x)③ 对称变换y，f(x)兀轴„y，-f(x)y，f(x)原点„y，-f(-x)y，f(x)丁轴„y，f(-x)y，f(x)直线y，x„y，f-1(x)##„y，f(Ixl)去掉y享轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象―保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去2) 识图对于给定函数的图象，。