17.2一元二次方程的解法(第2课时)讲解与例题.doc

一元二次方程的解法第一元二次方程的解法第 2 2 课时课时1．一元二次方程的求根公式及推导(1)求根公式的定义 一般地，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时，它的根是 x＝.这个式子称为一元二次方程的求根公式．－b ± b2－4ac2a (2)求根公式的推导 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 过程．具体推导过程如下：由于 a≠0，在方程两边同除以 a，得 x2＋ x＋ ＝0.baca移项，得 x2＋ x＝－ .baca方程两边同加上()2，得 x2＋ x＋()2＝－ ＋()2，即(x＋)2＝.b2abab2acab2ab2ab2－4ac4a2 由于 4a2＞0，所以当 b2－4ac≥0 时，可得 x＋＝±.b2ab2－4ac2a所以 x＝.－b ± b2－4ac2a(1)配方法是推导求根公式的基础．(2)由于 4a2＞0，所以只有当 b2－4ac≥0 时，式子才是非负常数，方程才能开b2－4ac4a2方．(3)由此可见，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数 a，b，c 确定的，只要确定了系数 a，b，c 的值，代入公式就可求得方程的根．【例 1】方程 3x2－8＝7x 化为一般形式是________，其中 a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为________． 解析：解析：将方程移项可化为 3x2－7x－8＝0.其中 a＝3，b＝－7，c＝－8.因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得 x＝.7 ± 1456答案：答案：3x2－7x－8＝0 3 －7 －8 7 ± 1456 2．公式法解一元二次方程 (1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法． (2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定 能用求根公式解出来． (3)用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，确定 a，b，c 的值． ②计算 b2－4ac 的值，从而确定原方程是否有实数根． ③若 b2－4ac≥0，则把 a，b，c 及 b2－4ac 的值代入求根公式，求出 x1，x2；若 b2－4ac＜0，则方程没有实数根． (1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b2－4ac≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当 b2－4ac＜0 时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定 a，b，c 的值，并注意它们的符号．(4)当b2－4ac＝0 时，应把方程的根写成 x1＝x2＝－，从而说明一元二次方程有两个b2a相等的实数根，而不是一个根．【例 2】用公式法解下列方程： (1)2x(x＋)＋1＝0；2(2)x2＋4x－1＝10＋8x. 分析：分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式，然后判断 b2－4ac 的值是大于等于 0，还是小于 0.若 b2－4ac≥0，把 a，b，c 的值代入求根公式求解；若 b2－4ac＜0，则原方程没有实数根．解：解：(1)原方程可化为 2x2＋2x＋1＝0.2因为 a＝2，b＝2，c＝1，2所以 b2－4ac＝(2)2－4×2×1＝0.2所以 x＝＝－.－2 2 ± 02 × 222所以 x1＝x2＝－.22(2)将原方程化为一般形式，得 x2－4x－11＝0.因为 a＝1，b＝－4，c＝－11，所以 b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60.所以 x＝＝.4 ± 602 × 14 ± 2 152所以 x1＝2＋，x2＝2－.1515点拨：点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足 b2－4ac≥0，才能将 a，b 及 b2－4ac 的值代入求根公式求解．当 b2－4ac＜0 时，原方程没有实数根．3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法 叫做因式分解法． (2)因式分解法的理论依据：若 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0. (3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为 0；②将方程的左 边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这 两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为 0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积．【例 3】解下列方程： (1)x－3＝x(x－3)； (2)(x－2)2＝(2x＋3)2； (3)x2－2x＝－3.3分析：分析：⑴移项左边能提取公因式(x－3) ⑵移项左边能用平方差公式进行分解⑶移项右 边 为 0左边正好是一个完全平方式解：解：(1)原方程可化为(x－3)－x(x－3)＝0.∴(x－3)(1－x)＝0.∴x－3＝0，或 1－x＝0.∴x1＝3，x2＝1.(2)原方程可化为(x－2)2－(2x＋3)2＝0.∴[(x－2)＋(2x＋3)][(x－2)－(2x＋3)]＝0，即(3x＋1)(－x－5)＝0.∴3x＋1＝0，或－x－5＝0.∴x1＝－ ，x2＝－5.13(3)原方程可化为 x2－2x＋3＝0，即3x2－2x＋()2＝0.33∴(x－)2＝0.∴x1＝x2＝.334．因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为 0 后，左边在因式分解时，可分为两种类型： (1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． 例如，解方程 x－3－x(x－3)＝0，可通过提公因式(x－3)，原方程变形为(x－3)(1－x) ＝0. (2)能运用公式 ①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)； ②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程 x2－4＝0，利用平方差公式变形为(x＋2)(x－2)＝0； 解方程 x2－4x＋4＝0，利用完全平方公式变形为(x－2)2＝0. 在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理．【例 4】解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (2)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0； (3)(x＋3)(x－1)＝4x－4. 分析：分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．(1)右边为 0左边可整体利用平方差公式分解因式(2)右边为 0将 2x＋1 作为一个整体，左边可利用完全 平方公式进行因式分解(3)移项后把 右边化为 0变形后能提公因式(x－1)解：解：(1)原方程可变形为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，即(2x－6)2－(5x－10)2＝0.∴(2x－6＋5x－10)(2x－6－5x＋10)＝0，即(7x－16)(－3x＋4)＝0.∴7x－16＝0，或－3x＋4＝0.∴x1＝，x2＝ .16743(2)原方程可变形为(2x＋1＋2)2＝0，即(2x＋3)2＝0.∴2x＋3＝0.∴x1＝x2＝－ .32(3)原方程可变形为(x＋3)(x－1)－4(x－1)＝0.∴(x－1)2＝0.∴x1＝x2＝1.5．利用因式分解法解一元二次方程的误区应用因式分解法解方程时，常有以下误区： (1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为 a·b＝0 的形式就急于求解．对此 要认真审题，看方程的一边是否是 0，若不是 0，应先化为 0. (2)产生丢根现象．对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于 同解变形的步骤．避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项． 【例 5】解方程：(1)(x－2)(x－3)＝6. (2)2x(x＋1)＝3(x＋1)． 解：解： 解答顾问点评错解x－2＝0，或 x－3＝0，得x1＝2，x2＝3.用因式分解法时，右边必须是 0，而本题中右边不是 0 (1)正解整理，得 x2－5x＝0，∴x(x－5)＝0.∴x＝0，或x－5＝0.∴x1＝0，x2＝5.先整理成一般形式，再选择适当的方法错解方程两边同时除以(x＋1)，得 2x＝3，解得 x＝ .32出现两边同除以(x＋1)的错误(2)正解移项，得 2x(x＋1)－3(x＋1)＝0，∴(x＋1)(2x－3)＝0.∴x＋1＝0，或 2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝ .32移项后可提公因式(x＋1)6．选择适当的方法解一元二次方程 (1)一元二次方程一般有四种解法，四种解法对照如下： 解法适合类型注意事项 直接开 平方法(x±m)2＝nn≥0 时，有解；n＜0 时，无解配方法x2＋px＋q＝0二次项系数若不为 1，必须先把 系数化为 1，再进行配方公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0)先化为一般形式再用公 式．b2－4ac≥0 时，方程有解； b2－4ac＜0 时，方程无解因式 分解法方程的一边为 0，另一边能 够分解成两个一次因式的乘 积方程的一边必须是 0，另一边可 用任何方法分解因式(2)选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最 后考虑公式法． ①因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；②配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦；③公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解．因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题．__________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ _ ___________________________________________________________________________ _ ___________________________________________________________________________ _ ___________________________________________________________________________ _【例 6－1】选择适当的方法解下列方程： (1)3x(x－1)＝1－x；(2)x2－2x－11＝0； (3)2x2－5x－1＝0. 分析：分析：(1)将方程右边的“1－x”移到方程左边， 则变为“x－1” ，此时有公因式 “x－1”可提.因式分解法(2)仔细观察不难发现二次项系数与一次 项系数的特点， “x2－2x”易于配方， 可选用配方法求解.配方法(3)公式法适用于任何一元二次方程，此 题是一元二次方程的一般形式，确定 a，b，c 的值，就可以直接代入公式 求解.公式法解：解：(1)原方程可化为 3x(x－1)＋(x－1)＝0，∴(x－1)(3x＋1)＝0.∴x－1＝0，或 3x＋1＝0.∴x1＝1，x2＝－ .13(2)移项，得 x2－2x＝11，配方，得 x2－2x＋1＝11＋1，即(x－1)2＝12.∴x－1＝±2，即 x＝±2＋1.33∴x1＝2＋1，x2＝－2＋1.33(3)∵a＝2，b＝－5，c＝－1，b2－4ac＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0，∴x＝＝.－(－5) ± (－5)2－4 × 2 × (－1)2 × 25 ± 334∴x1＝，x2＝.5＋ 3345－ 334 【例 6－2】用适当的方法解下列方程： (1)9(x＋2)2＝16；(2)。