数学归纳法的历史（可编辑）.docx

数学归纳法的历史第一篇：数学归纳法的历史 1 数学归纳法的历史 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 用于证明与 自然数有关的命题一旦涉及无穷,总会花费人们大量的时间 与精力,去研究它的真正意义数学归纳法这个涉及“无穷”而 无法直观感觉的概念,自然也需要一个漫长的认识过程 一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥 拉斯时代毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的他由 有限个特殊情况而作出一般结论, 具有明显的推理过程,但 这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完 全的归纳推理完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证 是公元前 3 世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证 明其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理 16 世纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对 与自然数有关命题的证明进行了深入的研究莫罗利科认 识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否, 若采取逐一代入数进行检验的方法,那不是严格意义上的数 学证明, 要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的, 因为自然数有无穷多个。

那么对于这类问题该如何解决呢? 1575 年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归 推理”这个思想方法 法国数学家 B·帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推 理思想进行了提炼和发扬在他的《论算术三角形》中首次使 用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表,中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题 “数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家 A.德·摩 根 1838 年所著的《小百科全书》的引言中德·摩根指出“这 和通常的归纳程序有极其相似之处”, 故赋予它“逐次归纳 法”的名称由于这种方法主要应用于数学命题的证明,德· 摩根又提出了“数学归纳法”这个名称 虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了,一直以来它 的逻辑基础都是不明确的1889 年意大利数学家皮亚诺(G Peano)建立了自然数的序数理论,将“后继”作为一种不加定 义的基本关系, 列举了自然数不加证明的五条基本性质,其 中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础 至此,数学归纳法有了严格的逻辑基础,并逐渐演变为 一种常用的数学方法。

第二篇：数学归纳法产生的历史背景 数学归纳法产生的历史背景 悬赏分：0 | 解决时间：2022-5-10 11:12 | 提问者：ZLXM1026 最佳答案 数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立 [编辑本段]基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值时命题成立； （2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数 有关的命题 ， （1）验证 n=n0时 P(n)成立； （2）假设 non0)，命题P(n)都成立； （三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）对于无穷多个自然数命题 P（n）成立； （2）假设P(k+1)成立，并在此基础上推出P(k)成立， 综合（1）（2），对一切自然数 n(>n0),命题P(n)都成立； （四）螺旋式归纳法 P（n），Q（n）为两个与自然数 有关的命题，假如 （1）P(n0)成立； （2）假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n（>n0），P(n),Q(n)都成立； [编辑本段]应用 1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

2.数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式 3.证明数列前n项和与通项公式的成立 [编辑本段]历史 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜 最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成: 递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立 递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立 这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中 或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定： 第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下： （1）第一块骨牌倒下 （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下 这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下 历史： 已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年)Maurolico 利用递推关系巧妙的证明出证明了前 n 个奇数的总和是 n^2，由此揭开了数学归纳法之谜 无论是毛罗利科还是帕斯卡．也无论是伯努利还是其后的效学家们，虽然都在不断地使用效学归纳法．但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称．只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作．才引进了 归纳法 这一名称．并在两种截然不同的意义上应用于效学：(1)以特恻获得一般结论的沃利斯方式I(2)指定从到 +l的论证．并且影响了其后的效学家们．使这种混用状态大约持续了140年．倒如，l9世纪上半叶，英国的效学家皮科克(G．Peacc~k，1791—1858)在他的《代效学)(Treatise∞ Algebra．剑桥．1830)的排列与组合部分．谈到。

梅成的规律用归纳法延伸到任意效 ．是从预攫f 意义上以沃利斯方式使用 归纳法 的．后来，他又将从“到R+1的论证称之为证明归纳法 (demonstrativeinduction)．在名称上迈出重要一步的是英国效学家德摩根(A．de Morgan，1806—1871)．1838年在伦敦出版的„小百科全书》(Penny Cydopedia)中．越摩根在他的条目“归纳法(效学) 里建议使用“逐收归纳法 (Succesiveinduction)．但在该条目的最后他偶然地使用了术语 效学归纳法 ，这是我们所能看到这一术语的最早一孜使用． 皮科克和德摩根的名称后来为英国效学家托德亨特(I．Todhunter．1B2O一1884)的„代效)(1866年第4敝)所采用并因而得到广泛传播．他在该书中介绍这种证明方法时．使用了两个名称 “效学归纳法”和证明归纳法 ，但该章的题目却用的是前者．这两十名称后来又为英国逻辑学家杰文斯(w．S．Jevons，1835—1882)的„逻辑初等教程)(ElementaryLessons in Lo ，1882)以及菲科林(J．Ficklin)的„完全代效)(CompteteAlgebra．1874)所使用，后者宣称是受惠于托德亨特．随着时间的推移，后来的通用教科书的们，倒如英国教育家、效学家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的„代效)第2卷以及霍尔(H．S．Hal1)和纳特(s．R．KmgM)台著的„代效》(1898)、奥尔迪斯(w．S．Aktis)的„代效教科书~(Textbook 0f Algebra．1887)等都只用。

效学归纳法 而不再使用“证明归纳法” 生命起源与数学归纳法 默认分类 2022-03-07 23:17:36 阅读40 评论0字号：大中小 订阅 一、两个实验 1、米勒实验 米勒在他的实验中假设在生命起源之初大气层中只有氰气，氨气和水蒸气等物，其中并没有氧气等，当他把这些气体放入模拟的大气层中并通电引爆后，发现其中产生了些蛋白质，而蛋白质是生命存在的形式，因此他认为生命是从无到有的理论将可确立了 2、巴斯德实验 巴斯德设计了一个鹅颈瓶（曲颈瓶），现称巴斯德烧瓶烧瓶有一个弯曲的长管与外界空气相通瓶内的溶液加热至沸点，冷却后，空气可以重新进入，但因为有向下弯曲的长管，空气中的尘埃和微生物不能与溶液接触，使溶液保持无菌状态，溶液可以较长时间不腐败 二、数学归纳法： 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值时命题成立； （2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 三、提出一个假设：将巴斯德实验放到米勒实验中去，如果溶液腐败，再加上米勒实验，是否能从数学归纳法角度证明生命起源产生于地球？ 第三篇：数列、极限、数学归纳法·数学归纳法 数列、极限、数学归纳法·数学归纳法·教案 教学目标 1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力． 2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤． 3．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 教学重点与难点 重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析． 难点：数学归纳法中递推思想的理解． 教学过程设计 （一）引入 师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始． （板书课题：数学归纳法） （二）什么是归纳法（板书） 师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点． 问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？ （可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好） 生：把它倒出来看一看就可以了． 师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做？ 生：一个一个拿，拿一个看一个． 师：对．问题的结果是什么呢？ （演示操作过程） 第一个白球，第二个白球，第三个白球，„„，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球． 特点吗？ 生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法． 特点是由特殊→一般（板书）． 师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用． 在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工、水文工依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法． 还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得到了结论．这种把研究对。