安徽省阜阳市临泉县第一中学2025届第二学期高三第一次模拟考试数学试题.doc

安徽省阜阳市临泉县第一中学2025届第二学期高三第一次模拟考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内2．答题时请按要求用笔3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A．2 B． C． D．2．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ）A． B． C． D．3．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，这个数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫阶幻方．定义为阶幻方对角线上所有数的和，如，则（ ）A．55 B．500 C．505 D．50504．设，满足约束条件，若的最大值为，则的展开式中项的系数为( )A．60 B．80 C．90 D．1205．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）A． B．C． D．6．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．7．集合，，则（ ）A． B． C． D．8．已知函数（），若函数在上有唯一零点，则的值为（ ）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或09．设，，则（ ）A． B． C． D．10．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ）A． B． C． D．11．是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知复数满足，则的最大值为（ ）A． B． C． D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设全集，，，则______.14．曲线在点处的切线方程为______.15．已知等差数列的前n项和为，，，则＝_______．16．已知三棱锥，，是边长为4的正三角形，，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），，若异面直线与所成的角为，且，则______.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知函数，函数（）.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（3）证明：当时，.18．（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据.六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类.经过数据整理，得到下表：卫生习惯状况类垃圾处理状况类体育锻炼状况类心理健康状况类膳食合理状况类作息规律状况类有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，各类调查是否达到良好标准相互独立.（1）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（2）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备两类良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，用“”表示任选一位第k类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第k类受访者不是习惯良好者（）.写出方差，，，，，的大小关系.19．（12分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的值域为A，且，求a的取值范围.20．（12分）已知，求的最小值.21．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.22．（10分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、B【解析】由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解【详解】双曲线的一条渐近线与直线垂直．∴双曲线的渐近线方程为．，得．则离心率．故选：B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.2、B【解析】解：当直线过点时，最大，故选B3、C【解析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得，即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和，又阶幻方有行（或列），因此，，于是．故选：C【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.4、B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，，即，故表示直线与截距的倍，根据图像知：当时，的最大值为，故.展开式的通项为：，取得到项的系数为：.故选：.【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5、D【解析】设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【详解】设，在中，由余弦定理得，则，从而，由正弦定理得，即，从而，在中，由余弦定理得：，则.故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6、B【解析】根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数的零点，即.由图像可知，，所以是的一个零点，当时，，若，则，即，所以，解得；当时，，则，且若在时有一个零点，则，综上可得，故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.7、A【解析】计算，再计算交集得到答案.【详解】，，故.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.8、C【解析】求出函数的导函数，当时，只需，即，令，利用导数求其单调区间，即可求出参数的值，当时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断；【详解】解：∵（），∴，∴当时，由得，则在上单调递减，在上单调递增，所以是极小值，∴只需，即.令，则，∴函数在上单调递增.∵，∴；当时，，函数在上单调递减，∵，，函数在上有且只有一个零点，∴的值是1或0.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.9、D【解析】集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可【详解】，，则故选【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．10、C【解析】由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.【详解】，，或（舍）.，，.当，时；当，时；当，时，，所以最小值为.故选:C.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.11、D【解析】求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.12、B【解析】设，，利用复数几何意义计算.【详解】设，由已知，，所以点在单位圆上，而，表示点到的距离，故.故选：B.【点睛】本题考查求复数模的最大值，其实本题可以利用不等式来解决.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、【解析】先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．【详解】解：，或；∴；∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．14、【解析】对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令，，所以，又，所求切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.15、【解析】利用求出公差，结合等差数列的通项公式可求.【详解】设公差为，因为，所以，即.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求解，利用等差数列的基本量是求解这类问题的通性通法，侧重考查数学运算的核心素养.16、【解析】取的中点，连接，，取的中点，连接，，，直线与所成的角为，计算，，根据余弦定理计算得到答案详解】取的中点，连接，，依题意可得，，所以平面，所以，因为，分别、的中点，所以，因为，所以，所以平面，故，故，故两两垂直取的中点，连接，，，因为，所以直线与所成的角为，设，则，，所以，化简得，解得，即.故答案为：.【点睛】本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.【详解】（1）解：的定义域为，，当，时，，则在上单调递增；当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；当，时，，则在上单调递减；当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；（2）证明：设函数，则.因为，所以，，则，从而在上单调递减，所以，即.（3）证明：当时，.由（1）知，，所以，即.当时，。