2015年考研数一真题及答案解析.docx

Li •2015年考研数学（一）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分，共32分•下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⑴设函数f （x）在（―叫+8）内连续，其中二阶导数f〃（x）的图形如图所示，则曲线(A) 0 (B) 1 (C) 2(D) 3y0y二f （x）的拐点的个数为（）【答案】（C）【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点， 并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由f "（x）的图形可得, 曲线y = f（x）存在两个拐点.故选（C）.⑵设y二2e2x + （X — 'ex是二阶常系数非齐次线性微分方程y" + ay' + by二cex个特解，贝y（）(A) a — —3, b = 2, c = —1(B) a — 3,b — 2, c — —1(C) a — —3,b — 2, c — 1(D) a — 3,b — 2, c — 1【答案】（A）【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题一一已知解来确定微分方程 的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估 系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法【解析】由题意可知，2e2x、— 3ex为二阶常系数齐次微分方程y'' + ay'+by = 0的解，所以2,1为特征方程r2 + ar + b — 0的根，从而a = —（1+ 2） = -3，b — 1 x 2 — 2，从而原方程变为y'' — 3y' + 2y — cex，再将特解y — xex代入得c = —1.故选（A）⑶ 若级数艺a条件收敛，则x =打与x = 3依次为幕级数区na （x - 1）n的（）n n(A) 收敛点，收敛点(B) 收敛点，发散点(C) 发散点，收敛点(D) 发散点，发散点【答案】(B)【分析】此题考查幕级数收敛半径、收敛区间，幕级数的性质.【解析】因为艺a条件收敛，即x = 2为幕级数区a (x-1)”的条件收敛点，所以n nn=1 n =1艺a (x- 1)n的收敛半径为1,收敛区间为(0,2).而幕级数逐项求导不改变收敛区间，故nn =1区na (x- 1)n的收敛区间还是(0,2).因而x = J3与x = 3依次为幕级数区na (x- 1)n的n nn=1 n=1收敛点，发散点•故选(B).⑷ 设D是第一象限由曲线2xy = 1，4xy = 1与直线y = x，y = J3x围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则D f (x,y)dxdy =()D(A) J 3 d^\ sin2o f (rcos0, r sin0)rdr X ——1 4 2sin2 0(B)J3d0J、砒o f (rcosO,rsin0»dr(C)(D)X 14 2sin2 0J: dO Jsn*20 f (rcosO, r sin O)drX 1—4 2sin 20J 3 doJ -sin2o f (r cosO, r sin O)drX 1=4 x 2sin2 O【答案】(B)【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分【解析】先画出D的图形，所以JJ f (x, y )dxdyD=J3 dO〕、sin2O f (rcosO,rsinO)rdr ,X 14 2sin2 O故选(B)卩11 1r 1 1(5)设矩阵A =1 2 a，b 二d、1 4 a 2[d 2丿无穷多解的充分必要条件为若集合0 = {l,2 }，则线性方程组Ax二b有(D) a G0,d G0【答案】(D)r 1 111 1r 11 11 1【解析】(A,b)=1 2adT01 a -1d -1<1 4a 2d 2丿[00 (a - 1)(a - 2)(d - 1)(d - 2)丿由 r(A)二 r(A,b) < 3，故a 二 1 或a = 2，同时d 二 1 或d 二 2 .故选(D)(6)设二次型f (x, x , x )在正交变换为x = Py下的标准形为2 y2 + y2 - y2，其中1 2 3 1 2 3P = (e ,e ,e )，若Q = (e ,-e ,e )，则f (x,x ,x )在正交变换x二Qy下的标准形为1 2 3 1 3 2 1 2 3()(A) 2 y2 - y2 + y21 2 3(B) 2y2 + y2 - y21 2 3(C) 2y2 - y2 - y2(D) 2 y2 + y2 + y21 2 3【答案】(A)【解析】由 x 二 Py，故f = xtAx = yT(PtAP)y = 2y2 + y2 -y2.1 2 3’2 0 0 '且 PtAP = 0 10.<0 0 -丿'1 0 0、由已知可得:Q = P 0 0 1 = PC[o -1 0丿故有 QT AQ = Ct ( PtAP)C =0-10所以 f = xtAx = yT(QtAQ)y = 2y2 一 y2 + y2 .选(A)- 2 3(7)若A,B为任意两个随机事件，则(A) P(AB)< P(A)P(B)(B) P(AB)> P(A)P(B)(C) P(AB)< P(A)P(B)(D) P(AB)> P(A)P(B)【答案】(C)【解析】由于AB u A, AB u B，按概率的基本性质，我们有P(AB) < P(A)且P(AB) < P(B)，从而 P(AB) ^.'P(A) • P(B) < PA)严，选(C).⑻设随机变量X, Y不相关，且EX二2,EY二1,DX二3，则E[X (X + Y -2)]=()(A) -3【答案】(B) 3(C) 一5(D) 5(D)【解析】E[X(X + Y -2)]二 E(X2 + XY - 2X)二 E(X2) + E(XY) - 2E(X)二 D( X) + E 2( X) + E (X) • E (Y) - 2 E (X)=3 + 22 + 2 x 1 — 2 x 2 = 5，选(D).二、填空题：9 14小题,每小题4分，共24分•请将答案写在答题纸指定位置上. ,.ln cos xx 2【答案】-2(9) lim =x T 0【分析】此题考查0型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换【解析】方法一：limln(C0Sx)二lim 詈x 二lim —x 1x tO x 2 x tO 2 x x tO 2 x—sin x2-1, “ ln(cos x) “ ln(1+ cos x — 1) “ cos x — 1 2x2 1万法二：lim 二lim 二lim 二lim =—一xT0 x 2 x T0 x 2 xT0 x 2 x T0 x 2 2“ / sm x 1“(10) J 2 ( + x )dx 二 严 1+cosx2【答案】手4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简【解析】J::-2'sin xJ1+cosxJ：0+ |x| dx 二 2J 2 xdx = 丿(11)若函数z二z(x, y)由方程ex + xyz + x + cosx二2确定，则dz(冲亍 【答案】-dx【分析】此题考查隐函数求导.【解析】令F(x,y,z) = ez + xyz + x + cosx-2，则F'(x, y, z) = yz +1 一 sin x, F' = xz, F'(x, y, z) = ez + xy x y z又当x = 0, y = 1 时ez = 1，即 z = 0.所以納dx(0,i)F'(0,1,0) = . dzx —] F'(0,1,0) ，cy (0,1)zF'(0丄0) ny = 0，F'(0,1,0)z因而 dz| (0 1= - dx.(12)设□是由平面x + y + z = 1与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则JJJ (x + 2y + 3z)dxdydz = .Q 【答案】14【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算.【解析】由轮换对称性，得JJJ (x + 2 y + 3z )dxdydz = 6 JJJ zdxdydz = 6J1 zdz JJ dxdy,0Q Q Dz其中D为平面z = z截空间区域Q所得的截面，其面积为］(1-z)2.所以z 2JJJ (x + 2 y + 3 z )dxdydz = 6 JJJ zdxdydz = 丄.0 2 0 420…02-12…0200…2200…-12(13) n阶行列式【答案】2n+1- 220…02-12…0200…2200…-12【解析】按第一行展开得+ 2) + 2 = 22 D=2 Dn-1D =nn-2+ (—1)n+1 2(—1)n-1 = 2 D + 2n-1=2(2 D) + 22 + 2 = 2n + 2n-1 + + 2 = 2 n+1 - 2n - 2 =(14)设二维随机变量(x, y)服从正态分布N (1,01,1,0)，则P{XY - Y < 0}二【答案】1【解析】由题设知，X〜N(1,1),Y〜N(0,1)，而且X、Y相互独立，从而P{XY - Y < 0}二 P{(X - 1)Y < 0}二 P{X -1 > 0, Y < 0} + P{X -1 < 0, Y > 0}1111—X — +— X— =2 2 2 2三、解答题：15〜23小题，共94分•请将解答写在答题纸指定位置上•解答应写出文字说二 P{ X > 1} P {Y < 0> P {X < 1P Y>明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数f (x)= x + aln(1+ x) + bxsinx , g(x) = kx3,若 f (x)与g C)在x T 0是等价无穷小，求a,b, k的值.… 1 , 1【答案］a = -1,b = -2,k = -3.x + a ln (1 + x)+ bx sin x【解析】法一：原式lim = 1x T0kx3x + a=lim xtO' x 2 x3 (丫x — — + — + o \x3 丿+ bx'x —兰 + o C)I 2 3 JL 6 丿kx3JT1 —•(1 + a ) x=limxt0kx3。