[高考]高中立体几何典型500题附加题题库及解析九十401550题.doc

高中立体几何典型500题及解析(九)(401~450题)401. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥.∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.已知：从二面角α—AB—β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，∵PC⊥α，PD⊥β∴PC⊥AB，PD⊥AB∴CE⊥AB，DE⊥AB又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互补.403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.已知：二面角α—ED—β，平面过ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.求证：AB∶AC＝k(k为常数)证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.∠BFA，∠AFC分别为二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它们为定值.在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：＝＝定值.404. 如果直线l、m与平面α、β、满足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有( )A.α⊥且l⊥m B.α⊥且m∥βC.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥解析：∵mα,m⊥. ∴α⊥.又∵m⊥,β∩＝l. ∴m⊥l.∴应选A.说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.405. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，∴sin∠CDD′＝＝∴CD＝a ∴D′D＝2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC又在RtΔABC中，AC＝＝a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.在RtΔPAB中，可得PB＝a.在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.在RtΔPAD中，PD＝＝a.∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P—CD—A的平面角.在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.∴∠AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小为arctan.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.AH为点A到平面PBC的距离.在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.即A到平面PBC的距离为a.说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.406. 如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.(1)求二面角α—l—β的大小；(2)求证：MN⊥AB；(3)求异面直线PA与MN所成角的大小.解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l.∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α—l—β的平面角.∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α—l—β的大小为45°.(2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB(3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角.407. 如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，四边形A′ABB′是菱形，四边形BCC′B′是矩形，C′B′⊥AB.(1)求证：平面CA′B⊥平面A′AB；(2)若C′B′＝2，AB＝4，∠ABB′＝60°，求AC′与平面BCC′B′所成角的大小.(用反三角函数表示)解析：(1)∵在三棱柱ABC—A′B′C中，C′B′∥CB，∴CB⊥AB.∵CB⊥BB′，AB∩BB′＝B，∴CB⊥平面A′AB.∵CB平面CA′B，∴平面CA′B⊥平面A′AB(2)由四边形A′ABB′是菱形，∠ABB′＝60°，连AB′，可知ΔABB′是正三角形.取 B B′中点H，连结AH，则AH⊥BB′.又由C′B′⊥平面A′AB，得平面A′ABB′⊥平面 C′B′BC，而AH垂直于两平面交线BB′，∴AH⊥平面C′B′BC.连结C′H，则∠AC′H为 AC′与平面BCC′B′所成的角，AB′＝4，AH＝2，于是直角三角形C′B′A中，A′C＝5，在RtΔAHC′中，sin∠AC′H＝∴∠AC′H＝arcsin,∴直线AC′与平面BCC′B′所成的角是arcsin.408. 已知四棱锥P—ABCD，它的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，又PC＝a，E为PA的中点.(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离；(3)求二面角A—BE—D的大小.(1)证明: 在四棱锥P—ABCD中，底面是菱形，连结AC、BD，交于F，则F为AC的中点.又E为AD的中点，∴EF∥PC又∵PC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.EF平面EBD.∴平面EBD⊥平面ABCD.(2)∵EF∥PC，∴EF∥平面PBC∴E到平面PBC的距离即是EF到平面PBC的距离过F作FH⊥BC交BC于H，∵PC⊥平面ABCD，FH平面ABCD∴PC⊥FH.又BC⊥FH，∴FH⊥平面PBC，则FH是F到平面PBC的距离，也是E到平面PBC的距离.∵∠FCH＝30°，CF＝a.∴FH＝CF＝a.(3)取BE的中点G，连接FG、AG由(1)的结论，平面BDE⊥平面ABCD，AF⊥BD，∴AF⊥平面BDC.∵BF＝EF＝，∴FG⊥BE，由三垂线定理得，AG⊥BE，∴∠FGA为二面角D—BE—A的平面角.FG＝×＝a,AF＝a.∴tg∠FGA＝＝,∠FAG＝arctg即二面角A—BE—D的大小为arctg409. 若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).(1)证明：∵AA1∩BB1＝O,∴AA1、BB1确定平面BAO，∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，∴AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.证明：如图，设AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴ 面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵ BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR,即 P、R、Q在同一直线上.410. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.证明 ∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α.∵ X∈PQ，PQα，∴X∈α，又X∈BC，BC面BCD，∴X∈平面BCD.∴ 点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上.411. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.∵A∈a,aα，∴A∈α,同理B∈a.又∵A∈m，B∈m,∴mα.同理可证nα.∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证mβ.∵平面α、β都经过相交直线b、m,∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.证明：图①中，l1∩l2＝P，∴ l1,l2确定平面α.又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α.故 l3α.同理 l4α.∴ l1,l2,l3,l4共面.图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.413. 证明推论3成立.（如图）已知：a∥b，求证：经过a,b的平面有且只有一个.证明：(存在性)∵a∥b，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个.(唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.∵a∥b,∴A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内.解答：已知：Aa，如图，B、C、D∈a，证明：AB、AC、AD共面.证明：∵Aa，∴A，a确定平面α，∵B、C、D∈a，aα.。