2011年清华金秋营数学试题及解答.pdf

第 1 页 共 6 页2011 年清华金秋营数学试题及解答1、求 sinnsinn2sinnn) 1(的值2、定义符号Ordp(n)(其中 n 为整数， p 为素数）满足：若Ordp(n)= m ，则表示pm|n,并且 p1m?n ,定义 Sp(n)表示 n 在 p 进制表示下各位数字之和. （1)求证： Ordp(n!)=1)(PnSnP（2)利用（ 1）的结论证明：)!1( !)!2(nnn为整数 . （3)利用（ 1）的结论证明：)!1()!()!1(nmnmn为整数 . 3、原有的乘法交换律为xy=yx, 现定义新的乘法交换律为yx=pxy, 而乘法结合律与分配率保持不变例如： （x+y)2=x2+xy+yx+y2=x2+(p+1)xy+y2(1)设（ x+y)n=kknnkknyxa0,，求证：akn,是以 p为变元的整系数多项式；(2)求 akn,. 4、 设neni2,试求：1011nkknt，1111nkkn，11)1)(1 (1nkknkn第 2 页 共 6 页2011 年清华金秋营数学试题解答1、求 sinnsinn2sinnn) 1(的值解：设ninsincos（i 为虚数单位）,则 1,)1(22,n为012nx的根。

kkkkiink212sin2，sinnsinn2sinnn)1(=)1(2111)1(2422) 1()1)(1(nnnnni=211)1(2421)(2)1()1)(1()1(nnnni=1)1(2422)1()1)(1(nn, 而)()()1(224222nxxx=12)2(2)1(2xxxnn, nn)1()1)(1()1(24212)1(sin2sinsinnnnnnn2、 定义符号 Ordp(n)(其中 n 为整数， p 为素数）满足：若Ordp(n)= m ，则表示 pm|n,并且 p1m?n ,定义 Sp(n)表示 n 在 p 进制表示下各位数字之和. （4)求证： Ordp(n!)=1)(PnSnP（5)利用（ 1）的结论证明：)!1( !)!2(nnn为整数 . （6)利用（ 1）的结论证明：)!1()!()!1(nmnmn为整数 . 证明： （1）设 n=akpk+11kkpa+a0,ai0,1,p-1 则 Ordp（n!)=ipni 1=akp1k+21kkpa+a2p+a1+akp2k+31kkpa+a2第 3 页 共 6 页+ak=11ppakk+1111ppakk+1122ppa+1111ppa=1)()(0110111paaaaapapapakkkkkk=1)(PnSnP(2)设 p|(n+1) (P 为 n+1 的任一素因子 ) 即 n+1=akpk+ a1kp1k+ap(0aip-1,且 1ap-1) 则 n=akpk+a1kp1k+(a-1)p+(p-1)p1+(p-1)p2+(p-1) 2n=2akpk+2a1kp1k+2(a-1)p+2(p-1)p1+2(p-1)p2+2(p-1) 显然NCnCnnnnnnn22,1)!1( !)!2(Sp(n)=ak+a1k+(a-1)+(p-1) Sp(2n)=2(ak+a1k+(a-1)-(p-1)-t(p-1) (t0) Ordp（Cnn2)=Ordp（2n!)-2Ordp（n!) =1)2()(2pnSnSpp=1)1()1(pptp=tnnCp2|, 即)!1( !)!2(nnnN. (3).由题知：若p 为 n+1 的素因子，且)1(| np,则（ p,m)=(1,(p,n)=1, 设 n+1=akpk+ a1kp1k+ap(a)1mn=bkpk+ b1kp1k+b0(b0)1则， n=akpk+ a1kp1k+(a-1)p+(p-1)p1+(p-1) 第 4 页 共 6 页mn+n=(ak+bk)pk+(a1k+b1k)p1k+(a+b-1)p+(b1+p-1)p1+(b0+p-1) Sp(n)=ak+ a1k+(a-1)+(p-1) Sp(mn)=bk+ b1k+b0,10b, Sp(mn+n)=(ak+bk)+(a1k+b1k)+(a+b-1)-)1()1(ptp(其中 ak+bk,a1k+b1k,+a+b,共有 t 次进位）显然1)!1()!()!1(nCnmnmnnnmn，)(nnmnpCOrdOrdp（ （mn+n)!)-Ordp（n!)-Ordp（(mn)!) =1)()()(pnmnSnSmnSppp=tnnmnCp |,即)!1()!()!1(nmnmnN。

3、原有的乘法交换律为xy=yx, 现定义新的乘法交换律为yx=pxy, 而乘法结合律与分配率保持不变例如： （x+y)2=x2+xy+yx+y2=x2+(p+1)xy+y2(3)设（ x+y)n=kknnkknyxa0,，求证：akn,是以 p为变元的整系数多项式；(4)求 akn,. 解： (1)易知（ x+y)1n=kknnkknyxa110, 1=kknnkknyxa0,(x+y) knknknpaaa,1, 1,且 a0,k=akk ,=1 akn,是以 p 为变元的整系数多项式. (2)knknknpaaa,1,1=C01(a2, 1 kn+pa1, 1kn)+C11(a1, 1 kn+pakn, 1)p 第 5 页 共 6 页=C02a2, 1 kn+C12pa1,1 kn+C22akn, 1p2=C0ka1 , 1kn+C1kpa2, 1kn+C2kp2a3,1kn+C1kkp1kakkn,1=C0k+(C0k+C1k)pa1 ,kn+(C1k+C2k)p2a2,kn+Ckkp1kakkn,=C0k+C11kpa1 ,kn+C21kp2a2,kn+C11kkp1kakkn,=C0k+C11kp+C22kp2+C1knnp1knakn,=1+C1kp+C21kp2+Cknn 1pkn4、设neni2,试求：1011nkknt，1111nkkn，11)1)(1 (1nkknkn解：nne2,12, 1nnnn为1nx的 n 个根 . 由根与系数的关系知011iknnikn，(ni1) )()()(1(112nnnnnxxxxx)1()1)(1(11xxxxnnnn1011nkknt=1010)1()1(nkknniijjntt=ntn11111nkknt=ntn1-t11=nnttttn1)1(12=nntttt1)1()1()1(12=122221)1()1 ()1 (1nnttttttttt第 6 页 共 6 页当 t=1 时，1111nkkn=nn) 1(321=21n，11)1)(1(1nkknkn=11)2sin2cos1)(2sin2cos1(1nknkinknkink=11222sin)2cos1(1nknknk=112cos221nknk=112sin41nknk=41n41112cotnknk又knnkink)1()sin(cos=ttnnttnnkinkC)sin()(cos0当 n=2m 时，121221122)sin()(costtmmttmnkinkC=0 0) 1()(cot221122ttmmttmnkCnmnn) 1(cot,2cot,cot222为上式的根) 12)(1(31) 1(cot2cotcot1232222mmCCnmnnmm)12)(22(31) 1(cot2cotcot222mmnnnn=) 1)(2(31nn当n=2m+1时，类似可得nnnn)1(cot2cotcot2222112312mmCC=32)12(mm=) 1)(2(31nn11)1)(1 (1nkknkn=41n41)1)(2(31nn=)1(1212n。