福建师范大学21秋《近世代数》期末考核试题及答案参考65.docx
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福建师范大学21秋《近世代数》期末考核试题及答案参考1. 求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y－100＝0的主轴．求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y－100＝0的主轴．正确答案：主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－y－2＝0．主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－y－2＝0．2. 设 证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积．设 证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积．证 由于 若c≠0，将A的第2行乘以加到第1行，得 再将第1行乘以-c加到第2行，得 再将第1列乘以加到第2列，得 即 所以 若c=0，a≠0，那么将第1行加到第2行即化为前一种情况，同样可证明要证的结论． 3. 函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A．先单调下降再单调上升 B．单调下降 C．先单调上升再单调下降 D．函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A．先单调下降再单调上升 B．单调下降 C．先单调上升再单调下降 D．单调上升A4. 设ξ服从泊松分布，且已知P{ξ=1}=P{ξ=2}，求P{ξ=4}．设ξ服从泊松分布，且已知P{ξ=1}=P{ξ=2}，求P{ξ=4}．由P{ξ=1}=P{ξ=2}，得，所以λ=2． 因此 5. 已知向量组α1＝(1，2，＝1，1)，α2＝(2，0，t，0)，α3＝(0，－4，5，－2)的秩为2，则t＝________．已知向量组α1＝(1，2，＝1，1)，α2＝(2，0，t，0)，α3＝(0，－4，5，－2)的秩为2，则t＝________．正确答案：应填3．[分析]向量组的秩小于向量的个数时，可用行列式为0或初等行变换来讨论．[详解1]由于r(α1，α2，α3)＝2，则矩阵的任一个三阶子阵的行列式的值为零，即解得t＝3．[详解2]r(α1，α2，α3)＝2→t＋2＝5，即t＝3．[评注]反求参数，一般均可联想到某行列式为零，但初等行变换对于具体的向量组始终是一个有力的工具．6. ∫(2x+3x)2dx；∫(2x+3x)2dx；7. 验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．验证极限存在，但不能用洛必达法则求出．若用洛必达法则，则因 不存在故题设极限不能用洛必达法则求出． 8. 某厂生产某种产品的生产函数z＝20－x2＋10x－2y2＋5y，其中x和y为两种投入量，z为产出量．若两种投入量的某厂生产某种产品的生产函数z＝20－x2＋10x－2y2＋5y，其中x和y为两种投入量，z为产出量．若两种投入量的价格分别为2和1，产品的售价为5，试求最大利润．正确答案：×收入函数R(x,y)＝5z＝100－5x2＋50x－10y2＋25y,总成本函数C(x,y)＝2x＋y,从而利润函数为L(x,y)＝R(x,y)－C(x,y)＝100－5x2＋48x－10y2＋24y,L〞xx＝－10,L〞xy＝0,L〞yy＝－20所以A＝－10,B＝0,C＝－20,B2－AC＝－200＜0,有极值．而A＜0,故有极大值,而点(4．8,1．2)为唯一驻点,从而点(4．8,1．2)为最大值点．所以Lmax(4．8,1．2)＝100－5×4．82＋48×4．8－10×1．22＋24×1．2＝100－115．2＋230．4－14．4＋28．8＝359．2－129．6＝229．6．9. 试证明： 设{fn(x)}是定义在R1上的实值函数列，则 (i); (ii)．试证明： 设{fn(x)}是定义在R1上的实值函数列，则 (i); (ii)．[证明] (i)记En,β={x∈R1：fn(x)≥β}．若x0属于左端，即，则存在β：β＞α，以及n0，使得fn(x0)≥β(n≥n0)，即，x0属于右端；若x0属于右端，即存在β：β＞α，使得.这说明存在n0，x0∈En,β(n≥n0)，即fn(x0)≥β(n≥n0)．从而有，x0属于左端． (ii)若x0属于右端，则存在k0∈N，使得x0属于{En,k0}中的无穷多个(En,k0={x∈R1：fn(x)＞1/k0})，即存在{nj}，使得fnj(x0)＞1/k0，故.反向证略． 10. 设f(χ)＝χ4，χ∈[0，1]，取h＝0．2，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(0．44)的估计值。
设f(χ)＝χ4，χ∈[0，1]，取h＝0．2，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(0．44)的估计值正确答案：取χj-1＝0．4χj＝0．6则f(χj-1)＝0．44＝0．0256f(χj)＝0．64＝0．1296则由线性插值得\r\n\r\n 由两点三次Hermite插值公式计算得\r\n\r\n 真值f(0．44)＝0．03748096显然Hermite插值比线性插值的精度高取χj-1＝0．4,χj＝0．6,则f(χj-1)＝0．44＝0．0256,f(χj)＝0．64＝0．1296,则由线性插值得由两点三次Hermite插值公式计算得真值f(0．44)＝0．03748096,显然Hermite插值比线性插值的精度高11. 求微分方程y"+2y&39;-3y=2ex-1的通解．求微分方程y"+2y'-3y=2ex-1的通解．12. 求两条相交直线，的交角的平分线方程求两条相交直线，的交角的平分线方程与13. 设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。
14. 设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=______．设函数f(x)在点x0处连续，且=2，则f(x0)=______．215. 设某商品的需求函数为Q=f(Q)=12-．求：设某商品的需求函数为Q=f(Q)=12-．求：$η(16)=$E(6)≈0.6716. 求解下列有界变量线性规划问题： (1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7, s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13, x2-x4求解下列有界变量线性规划问题： (1)min x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7, s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13, x2-x4+x5+x6+2x7=9， x3+2x4+2x5+2x6-x7=5, 0≤xj≤5(j=1，2，…，7)； (2)min f=x1+2x2+x3-x4+2x5+x6-x7, s.t.x1+2x4-2x5+x6-8x7=0, x2+x4+x5-x6+x7=11, x3+3x4-x5-2x6+2x7=6, 0≤xj≤4(j=1，2，…，7)．(1)x*=(1,0,0,3,2,0,5)T,x0*=-11. (2) 17. 求方程(x2y2－y)dx＋(2x3y＋x)dy=0的通解．求方程(x2y2-y)dx+(2x3y+x)dy=0的通解． 故得解 x2y2+y=cx 18. 对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较： (1)max s.t．(i=1,2，…，m), xj≥0(j=1，2，…，n)；对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较： (1)max s.t．(i=1,2，…，m), xj≥0(j=1，2，…，n)； (2)max s．t．(i=1，2，…，m)， xj≥0(j=1,2，…n)，xsi≥0(j=1,2，…，m)； (3) s．t．(i=1，2，…，m)， xj≥0(j=1,2，…，n)，xsi,xai≥0(i=1,2，…，m)，其中M表示充分大的正数．它们的对偶问题都是 min s.t．(j=1,2，…，n), u1≥0(i=1，2，…，m)． 注意到(1)，(2)，(3)三个问题是等价的．由此看出：对任何线性规划问题，不管其形式如何变化，其对偶问题是惟一的． 19. 设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D。
并设对于t＝0，1，2，…，有 (1)St＝2Pt＋1 (2)设某产品在时期t的价格、总供给与总需求分别为Pt，St与D并设对于t＝0，1，2，…，有 (1)St＝2Pt＋1 (2)Dt＝－4Pt－1＋5 (3)St＝Dt (Ⅰ)求证：由(1)、(2)、(3)可推出差分方程Pt＋1＋2Pt＝2； (Ⅱ)已知P时，求上述方程的解．正确答案：20. 求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x^2 (3) (4) (5) (6)求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1) (2)x^2 (3) (4) (5) (6)令 F(x，y)＝x2y+3x4y3-4， 因为 所以 (2)令 因为 所以 (3)令 因为 所以 (4)在等式两边分别微分： 所以 解出 化简有 故 (5)令 因为 所以 (6)令 因为 所以 21. 集合A={1，2，3，4}，下列*运算，哪些代数系统(A，*)是群?集合A={1，2，3，4}，下列*运算，哪些代数系统(A，*)是群?不是群。
因为普通加法对于A是不封闭的因为A=N5-{0}，5是素数所以(A，)是群因为*不是封闭运算，也不是可结合运算22. 求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程： (1)经过坐标原点； (2)与x轴平行； (3)与平面2x-y+5z+2=0垂直求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程： (1)经过坐标原点； (2)与x轴平行； (3)与平面2x-y+5z+2=0垂直．经过给定直线的平面束方程为 4x-y+3z-1+λ(x+5y-z+2)=0， 即 (4+λ)x+(-1+5λ)y+(3-λ)z+(2λ-1)=0． (1)如果有平面经过原点，则2λ-1=0，得到，故所求的平面方程为 9x+3y+5z=0． (2)如果平面束中某平面与x轴平行，则它的法线向量{4+λ，-1+5λ，3-λ)与向量l={1，0，0}垂直，从而有 {4+λ，-1+5λ，3-λ}·{1，0．0}=4+λ=0， 因此λ=-4，所求的平面方程为 -21y+7x-9=0． (3)如果平面束中某平面与所给的平面垂直，则有 {4+λ，-1+5λ，3-λ}·{2，-1，5)=24-8λ=0， 因此λ=3，所求的平面方程为 7x+14y+5=0 23. 求曲面M：z。
