2013高中数学联赛模拟试题(02)s.doc

2013年全国高中数学联赛模拟试题（02）第一试一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．1、设是连续的偶函数，且当时，是单调增函数，则满足的所有之和为 .2、过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于两点， 若，则 ．3、已知数列，那么 （mod25）.4、在面积为1的正方形ABCD内任取一点P，那么△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积均大于的概率是 .5、适合方程的最小正整数x= ．6、已知半球O的半径为R，它的内接长方体ABCD—A1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面上. 这个长方体所有棱长之和的最大值是 ．7、已知正实数x、y、z满足x+y+z=1，若x、y、z中没有一个数大于另一个数的2倍，则乘积xyz的最小值是 ．8、已知直线x+y-2a+1=0与圆x2+y2=a2+2a-3的交点为（x0，y0），当x0y0取最小值时，a = ．二、解答题：本大题共３小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．9、（本小题满分16分）已知函数f(x)= (2-a)(x-1)-2lnx．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在(0，)上恒大于零，求实数a的最小值．10、（本小题满分20分）过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F，作与轴不垂直的直线交抛物线于M、N两点，线段MN的垂直平分线交MN于点P，交轴于点Q.(1)求PQ中点R的轨迹C的方程;(2)证明：曲线C上有无穷多个整点，但C上任意整点到原点的距离均不是整数.11、（本小题满分20分）设函数f(x) = （a ＞ 1）（1）已知数列：-1，f(a1)，f(a2)，…，f(an)，n，( n = 1, 2, 3, … )是等差数列，试求数列{ an }的通项公式an .（2）设数列{ an }的前n项和为S n，规定S0 = 0，函数g(x)满足下列条件：① g(S0) = 0；② g(Sn) = an , ( n = 1, 2, 3, … )；③ 当x ∈( Si , Si+1 ) 时 ( i = 1, 2, 3, … ) ，函数g(x)的图象是联结两点Pi（ Si , g(Si)）与Pi+1（Si+1 , g(Si+1)）的线段，求函数g(x)的定义域.（3）设（2）中函数g(x)的图象与x轴及直线x = Si ( n = 1, 2, 3, … )所围成的图形的面积为An，求An及 .第二试一、（本小题满分40分）已知△ABC的内切圆⊙I把中线AM三等分，求证：△ABC的三边之比为5:10:13.二、（本小题满分40分）求所有的正整数x、y、z，使得是整数.三、（本小题满分50分）已知集合，(n是正偶数)，且集合F满足：对任何，都有；设，试证明：当M是4的倍数时，集合F中奇数的个数也是4的倍数，且集合F中所有数的平方和为定值.四、（本小题满分50分）在13 ×13 的正方形方格表中，选择k个小方格的中心，使其中任意4点不是一个矩形（其边与原正方形的边平行）的顶点.求满足上述要求的k的最大值.参考答案：第二试一、证明：如图，设△ABC的内切圆⊙I切三边于D、E、F，AM交⊙I于P、Q，连IA、IM、IC、IE、IP.作IN⊥PQ于N，则PN=QN，又AP=MQ，则AN=NM，有IA=IM，∠ACI=∠MCI，在△ACI与△MCI中，；则 ；又 ∠CAI+∠CMI≠180°，所以∠CAI=∠CMI，△ACI≌△MCI，CA=CM，且C、I、N共线；不妨设CA=CM=1，AB=x，IE=IP= r，则BC=2，CE=，；由△CAN∽△CIE 得，即，所以 ；而CI+IN=CN，即 ；把r2的值代入并化简得，即 ，整理，解得 x1=-3（舍），x2=1（舍），x3=；故AC:CB:AB=1:2:= 5:10:13.二、解：先证一个引理，引理：若p、q、r是有理数，且也是有理数，则、、都是有理数.引理的证明：注意到，得，设，则，两边平方得，所以是有理数，同理，、也是有理数.下面证明原题，假设x、y、z是满足条件的正整数，又是整数，由引理知、、是有理数，设，且(a，)=1，，，则 ， 因此 ，所以 a =1，从而x + y =11b2 ①同理y + z =11c2 ②z + x=11d2 ③①，②，③式联立，可解得 由于 是不大于3的正整数，可分一下三种情况讨论：（1）若，则b=c=d=1，代入④式，x、y、z没有正整数解；（2）若，则b、c、d中必有一个等于1，另外两个等于2，此时亦不存在满足条件的x、y、z；（3）若，不妨设，则，所以d =2或d =3；(i)当d =3时，b=c=3，此时不存在满足条件的x、y、z；(ii)当d =2时， c>2，且，所以c =3或c =4；a) 若c =3，则b =6，此时不存在满足条件的x、y、z；b) 若c =4，则b =4，代入④式可得所以， x、y、z中一个是154，另外两个都是22满足条件.三、证明：注意到 ，而，所以可将集合E划分为n个子集：，那么，集合F的元素只能在这n个子集中各取1个；为了方便确定F中奇数的个数，再将这n个子集分成两类：一类是：每个子集中，偶数是4k型，奇数是4k+1型的；另一类是：每个子集中，偶数是4k+2型，奇数是4k+3型的；设集合F的n个元素中4k+1型的奇数有x个，4k+3型的奇数有y个，则集合F中4k型的偶数有n-x个，4k+2型的偶数有n-y个，于是F奇数个数共有个，由 知，4｜.再证明集合F中所有数的平方和为定值.设有两个符合条件的不同的集合：和，若中有n-k个元素，其和为m，则关于F1的补集有k个元素，从小到大排成；关于F2的补集也有k个元素，从大到小排成；于是应有，所以 即，所以，集合F中所有数的平方和为定值.四、解：设第i列中有xi个点( i = 1 ,2 , …,13) ，则，第i列的xi个点构成个不同点对(若xi < 2 ，则规定)；若在13 ×13 的正方形边再加一列，将每个点对投影到这一列上，由于任4个不同点不是矩形的顶点，故不同点对在新画出的一列上的投影点对是不同的，而新画出的一列上共有个不同点对，从而得到，即，亦即，∵ ，∴ ，解得，当k = 52 时，可以构造出一个符合条件的图（如图），所以k的最大值为52.8。