高中数学【配套文档】专题一集合与常用逻辑用语的综合应用.doc

专题一　集合与常用逻辑用语的综合应用1． 在解题过程中，加深对集合之间的关系与集合运算等概念的理解．2． 正确理解命题及其关系、逻辑联结词与量词等概念，进一步认识集合语言与逻辑语言之间的关系．3． 在集合运算过程中，要借助数轴、直角坐标系、Venn图等将有关集合直观地表示出来，注意集合与方程、函数、不等式、三角函数、几何等知识的密切联系与综合运用．[难点正本　疑点清源]1． 集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有共同之处，在解题时，可以进行相互转化．2． 集合运算可以考虑数形结合、借助数轴、Venn图．1． 已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.答案　3解析　∵A∩B＝{2,3}，∴m＝3.2． 设集合A＝{3,2a＋1}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＝________，b＝________.答案　0　2解析　由A∩B＝{2}知2∈A且2∈B，∴2a＋1＝2，得a＝0，故有b＝2.3． “α＝”是“sin α＝”的______________条件．答案　充分不必要解析　当α＝时，sin α＝sin ＝，但是sin α＝时，角α不一定是，如α可以是π等，故是充分不必要条件．4． 命题“对于任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_________________．答案　存在x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3解析　全称命题的否定是存在性命题，已知命题是全称命题．5． 设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X⊆Sn，则把X中所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为Sn的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为________．答案　7解析　∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.题型一　集合问题例1　已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∪B＝A，求实数m的值；(2)若A∩B＝{x|0≤x≤3}，求实数m的值；(3)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．思维启迪：(1)由A∪B＝A得B⊆A，借助数轴求解；(2)结合已知条件，比较集合端点求解；(3)先求出∁RB，利用子集关系，借助数轴求解．解　由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)∵A∪B＝A，∴B⊆A，如图：有，∴，∴m＝1.(2)∵A∩B＝{x|0≤x≤3}，∴，∴m＝2.(3)∁RB＝{x|xm＋2}．∵A⊆∁RB，∴m－2>3或m＋2<－1，∴m>5或m<－3.探究提高　(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合的关系，二是用列举法表示集合，从元素中寻找关系；(2)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数之间的关系(要注意集合本身两个端点的比较)；(3)两个数集之间的关系，常借助数轴判断． 已知集合A＝{x|y＝ }，B＝{x|[x－(a＋1)][x－(a＋4)]<0}，分别根据下列条件，求实数a的取值范围．(1)A∩B＝A；　(2)A∩B≠∅.解　由1－≥0，得≥0，即≤0，解得－10)．若“非p”是“非q成立”的必要但不充分条件，求m的取值范围．思维启迪：先对条件进行化简，非命题可以利用等价命题来求两者间的联系．解　p：－4≤x≤8，从而p为真时x的取值范围是集合P＝[－4,8]．同理可得，q为真时x的取值范围是集合Q＝[1－m,1＋m]．因为“非p”是“非q成立”的必要但不充分条件，所以“若非q，则非p”是真命题，但“若非p，则非q”是假命题，即“若p，则q”为真，“若q，则p”为假，故PQ，从而或，由此解得m≥7，即m的取值范围是[7，＋∞)．探究提高　解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出参数的不等式求解． 已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，且p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围．解　由x2－8x－20>0得x<－2或x>10，∴p：x<－2或x>10.由x2－2x＋1－a2>0得x<1－a或x>1＋a.∴命题q：x<1－a或x>1＋a，若p是q的充分不必要条件，∴或，解得00，得m<－1或m>4.综上，要使“p且q”为真命题，只需p真q真，即解得实数m的取值范围是(4,8]．对命题否定不当致误典例：(14分)已知p：|3x－4|>2，q：>0，r：(x－a)·(x－a－1)<0.(1)綈p是綈q的什么条件？(2)若綈r是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．易错分析　(1)对条件进行否定时，没有注意分母为零的情况，导致条件变形不等价；(2)不会将条件之间的关系转化为集合间的关系．审题视角　(1)可以求出p、q的不等式的解集，再对p、q否定，即求出它们对应不等式的解集的补集，也可以直接对不等式否定，但注意对分式不等式否定时，注意分母为零的情况．(2)綈r是綈p的必要不充分条件等价于綈p⇒綈r且綈rD⇒/綈p.规范解答解　(1)p：|3x－4|>2，∴3x－4>2或3x－4<－2，∴x>2或x<，∴綈p：≤x≤2.[2分]q：>0，即x2－x－2>0，令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.∴x2－x－2>0的解集为{x|x<－1或x>2}．[4分]∴綈q：{x|－1≤x≤2}，∴綈p是綈q的充分不必要条件．[6分](2)r：(x－a)(x－a－1)<0，∴a0的否定应为<0或x2－x－2＝0.为避免出错，可以先求q：>0的解集，再否定．(2)在由綈p⇒綈r时，应特别注意分析是否能取等号．这是考生比较易出错的地方．要特别注意验证等号能否成立.方法与技巧1．逻辑联结词“或”的理解：和集合中“并集”含义一致，表示“或此或彼或兼有”三种情形，要注意和生活语言相区别．2．利用条件的充分必要性解决字母范围问题可以利用集合间的包含关系，结合等价命题来解决．失误与防范1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或q的否定为非p且非q；p且q的否定为非p或非q.3．对一个命题进行否定时，要注意命题所含的量词，是否省略了量词，否定时将存在量词变为全称量词，将全称量词变为存在量词，同时也要否定命题的结论．A组　专项基础训练(时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1． 设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.答案　－3解析　∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴m＝－3.2． 命题“对一切非零实数x，总有x＋≥2”的否定是__________________________．答案　存在一个非零实数x，使x＋<23． 若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的____________条件．答案　充分不必要解析　当a>0且b2－4ac<0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，且与x轴没有交点，因此抛物线全部在x轴的上方，故对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0；但当对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0时，也可以有a＝0，b＝0，c>0的情况，不一定有a>0，且b2－4ac<0，故“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的充分不必要条件．4． 已知集合A＝{x|2x≥}，B＝(a，＋∞)，当A⊇B时，实数a的取值范围是[c，＋∞)，则c＝________.答案　解析　由2x≥，得2x≥2，∴x≥，即A＝.故B⊆A时，a≥，∴c＝.5． 已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．答案　[e,4]解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex, 得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.6． 命题“任意x∈R，存在m∈Z，m2－m1”是“x1，得x<－1或x>1.又“x2>1”是“x