立体几何向量法建系讲义.doc

精心整理立体几何(向量法)一建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析， 只需建立空 间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一.所谓“建 立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系例1 (2012高考真题重庆理19)(本小题满分12分如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AB=4AC=BC=3 D为AB的中点(I)求点C到平面A1ABB1的距离；(U)若ABj _ AC求二面角的平面角的余弦值.【答案】解：(1)由AC= BC，D为AB的中点，得CD丄AB.又CD丄AAi,故CD丄面AiABBi,所以点C到平面AiABBi的距离为CD==.(2)解法一：如图，取 D为A1B1的中点，连结 DD,贝U DD// AA // CC.又由(1)知CDL面AABB, 故CDL AD, CDL DD，所以/ ADD为所求的二面角 A — CD- G的平面角.因AD为AC在面AABB上的射影，又已知AB丄AC,由三垂线定理的逆定理得 AB丄AD,从而/ AAB、/ ADA都与/ BiAB互余，因此/ AAB = / ADA 所以 Rt△ AA» Rt△ B1A1A.因此=,即 AA= AD- AB = 8,得 AA= 2.从而AD= = 2.所以，在Rt△ ADD中，\ Icos / ADD= = =.解法二：如图，过D作DD// AA交A1B1于点D,在直三棱柱中，易知DB DC DD两两垂直.以 D为原点，射线DB DC DD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系 D— xyz.设直三棱柱的高为 h,则 A — 2,0,0) , A( — 2,0 , h) , B1(2,0 , h) , C(0 ,, 0), G(0,, h),从而=(4,0 , h) ,= (2 , ，— h).2由丄，有 8 — h = 0, h= 2.故二(—2,0,2)，二(0,0,2)，二(0 ,, 0).设平面ACD的法向量为mi= (X1, y1, Z1)，则mL, mL,即卩取乙=1,得 mi= (, 0,1),精心整理设平面CiCD的法向量为n =(X2, y2, z2)，则n丄，n丄，即取 X2= 1,得 n = (1,0,0)，所以cos〈 m n〉= = =.所以二面角A — CD- C的平面角的余弦值为.二、 利用线面垂直关系构建直角坐标系例2.如图所示，AF、DE分别是圆O、圆的直径，圆 O 的直径，AB =AC =6, OE // AD .(I) 求二面角B—AD—F的大小；(II) 求直线BD与EF所成的角的余弦值.19.解：(I ) t AD与两圆所在的平面均垂直，••• ADLAB,ADLAF,故/BAD是二面角 B— AD-F 的平依题意可知，ABCD是正方形，所以ZBAD= 45°.即二面角B- AD-F的大小为45°;(U)以O为原点，BC AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则0(0, 0, i0), A (0, — 3迈,0), B ( 3屈,0, 0) ,D (0, — 3/2 , 8), E (0, 0, 8), F (0, 3^2 , 0)所以，BD =(-3.2,-3.2,8),FE =(0,3&,8)・ ・ -s, OQ设异面直线BD与 EF所成角为:,则cos「=|cos ：：： BD, EF •卜 直线BD与EF所成的角为余弦值10为82 .10三、 利用图形中的对称关系建立坐标系例3 (2013年重庆数学(理))如图，四棱锥P-ABCD中，PA_底面ABCD ,BC -CD -2, AC =4, ACB =/ACD , F 为 PC 的中点，AF _ PB.3(1) 求PA的长;(2)求二面角B - AF -D的正弦值.【答案】解：(1)如图，联结BD交AC于O,因为BC=。

即厶BCD为等腰三角形，又AC平分/BCD, 故ACL BD.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O — xyz，则 OC= CDcos= 1,而 AC= 4,得 AO=AC — OC = 3.又 OD = CDs in =，故 A(0, — 3, 0), B(, 0, 0), C(0, 1, 0), D(—, 0, 0).因PA丄底面ABCD，可设P(0,— 3, z),由F为PC边中点，得F，又=,=(,3,— z),因 AF丄PB,故=0,即卩 6— = 0, z= 2(舍去一2),所以 ||= 2.(2) 由(1)知二(—,3, 0),= (, 3, 0),= (0, 2,).设平面 FAD 的法向量为 仔(X1, y1,乙), 平面FAB的法向量为2 = (X2, y2, z2).由 1 = 0, 1 = 0, 得精心整理因此可取1 = (3,,— 2). 由 2 = 0, 2 = 0,得 故可取 2= (3,—, 2).从而向量1, 2的夹角的余弦值为COS〈 1, 2〉==.故二面角B — AF — D的正弦值为.四、利用正棱锥的中心与高所在直线，投影构建直角坐标系 例4-1 (2013大纲版数学(理))如图，四棱锥P—ABCD中，.ABC BAD =90：, BC =2AD, . ：PAB 与. ：PAD 都是等边三角形.(1) 证明：PB_CD;(II)求二面角A-PD-C的余弦值.【答案】解：(1)取BC的中点E,联结DE,则四边形ABED为正方形.过P作PO丄平面ABCD，垂足为O. 联结 OA, OB, OD, OE.由厶PAB和厶PAD都是等边三角形知 PA= PB= PD,所以OA= OB= OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，故OE丄BD，从而PB丄OE.因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE// CD.因此PB丄CD.(2) 解法一：由(1)知 CD丄PB, CD丄PO, PBA PO= P,故CD丄平面PBD.又PD?平面PBD，所以CD丄PD.取PD的中点F, PC的中点G,连FG.则 FG // CD , FG 丄 PD.联结AF,由厶APD为等边三角形可得 AF丄PD.所以/ AFG为二面角A— PD — C的平面角.联结 AG, EG」EG / PB.又PB丄AE,所以EG丄AE.设 AB = 2,贝U AE= 2, EG= PB= 1,故 AG= = 3,在厶AFG 中，FG = CD =, AF =, AG= 3.所以 cos/ AFG= = —.解法二：由(1)知，OE, OB, OP两两垂直.O — xyz.以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设||= 2,贝UA(—, 0, 0), D(0,—, 0),C(2,—, 0), P(0, 0,),=(2,—,— ), = (0,—,—),=(,0, ),= (,—, 0).设平面PCD的法向量为1= (x, y, z)，贝U1 =(x, y, z)(2，—，— )= 0,1 =(x, y, z)(0,—,— )= 0,可得 2x — y — z= 0, y+z= 0.取 y=— 1,得 x= 0, z= 1,故 1 = (0,— 1, 1).设平面FAD的法向量为2= (m, p, q),贝U2 = (m, p, q) (-, 0, )= 0,2 = (m, p, q) (-, —, 0) = 0,精心整理可得 m+ q = 0, m— p= 0.取 m= 1 得 p= 1, q= — 1,故 2= （1, 1，— 1） •于是 COS <, 2〉= = —.例4-2如图1 — 5,在三棱柱 ABC- ABC1中，已知AB= AC= AA=, BC= 4,点A在底面ABC的 投影是线段BC的中点Q(1) 证明在侧棱AA上存在一点E,使得QE!平面BBCC,并求出AE的长；(2) 求平面A1B1C与平面BBCC夹角的余弦值.图1 — 5【答案】解：(1)证明：连接人0,在厶AQA1中，作QE丄AA1于点E,因为AA1// BB1,所以QE 丄 BB1.因为AQ丄平面ABC所以AQ丄BC因为 AB= AC, QB= QC 所以 AQL BC所以BCL平面AAQ所以BCLQE所以 QEL平面 BBGC,又 AC= = 1 , AA=,得 AE= =.⑵ 如图,分别以QA QB QA所在直线为x , y , z轴,建立空间直角坐标系,贝U A(1,0,0),B(0,2,0) , C(0, — 2,0) , A(0,0,2),由=得点E的坐标是,由(1)得平面BBGC的法向量是=,设平面 A1B1C的法向量=(x , y , z), 由得令 y = 1，得 x = 2 , z = — 1,即=(2,1 , — 1),所以cos < ,〉==.I r 1 \即平面BBCC与平面ABC的夹角的余弦值是 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系例5 (2012高考真题安徽理18)(本小题满分12分)0）平面图形 ABBACC如图1— 4(1)所示，其中BBGC是矩形，BC= 2 , BB = 4 , AB= AC= , AB=AQ=.精心整理现将该平面图形分别沿 BC和BG折叠，使△ ABEAABQ所在平面都与平面BBGC垂直，再 分别连接AA, AB, AC,得到如图1— 4(2)所示的空间图形•对此空间图形解答下列问题.(1) 证明：AA丄BC(2) 求AA的长；(3) 求二面角A— BC- Ai的余弦值.【答案】BC的中点分别为D和D，连接AD, DD, AD 由BBGC为矩形知，DD丄 BC,因为平面BBGC丄平面ABC,所以DD丄平面ABC,又由AB = AiCi知，AD 丄 BiCi.故以D为坐标原点，可建立如图所示的空间直角坐标系 D — xyz.由题设，可得AiDi = 2, AD= i.■-—-由以上可知 ADL平面BBCC, AD丄平面BBCC,于是AD// AD.所以 A(0，— i,4) , B(i,0,4) , A(0,2,0) , C —1,0,4) , D(0,0,4).故二(0,3 , — 4)，二(—2,0,0)，•二 0,因此丄，即AA丄BC(2) 因为二(0,3 , — 4),所以=5,即AA= 5.(3) 连接 AD,由 BCLAD, BC丄AA ,可知 BCL平面 AiAD, BCLAD,所以/ ADA为二面角 A— BC—Ai的平面角.因为二(0, — 1,0) , = (0,2 , — 4),所以cos〈,〉= — = —精心整理 即二面角A— BC— A的余弦值为一.(综合法)(1)证明：取BC BiCi的中点分别为D和D,连接AD, DD, AD AD.由条件可知，BCLAD, BC丄AiD,由上可得 AD丄面BBGC, AiD丄面BBCC因此AD// AiD,即卩AD, AD确定平面 ADAD.又因为DD// BB, BB丄BC,所以DD丄BC又考虑到AD丄BC所以BC丄平面ADAD,故BC丄AA.(2) 延长AD到G点,使GD= AD连接AG因为AD綊GD,所以AG綊DD綊BB.由于BB丄平面 ABC。