2.22.2 函数的零点与方程专项练函数的零点与方程专项练 -2-1.零点的定义:对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.3.函数的零点与方程根的关系:函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.4.判断函数零点个数的方法:(1)直接求零点;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法. -3-5.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.(4)方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域. -4-一、选择题二、填空题1.由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(k∈Z),则k的值为( C )A.1B.2C.3D.4 解析: 当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=-0.61,f(5)=-1.39,∵f(3)f(4)<0,∴函数的零点在(3,4)区间上,∴k=3,故选C. -5-一、选择题二、填空题2.(2017辽宁抚顺重点校一模,文5)函数f(x)=-|x|- +3的零点所在区间为( B )A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) -6-一、选择题二、填空题3.若关于x的方程4sin2x-msin x+1=0在(0,π)内有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是( D )A.{x|x<-3}B.{x|x>-4}C.{x|x>5}D.{x|x>5}∪{4}解析: 设sin x=t,则05. -7-一、选择题二、填空题4.(2017湖北武昌1月调研,文6)已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是( A )A.(-∞,-3)∪(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(-3,1)D.(1,+∞)解析: 函数f(x)=2ax-a+3,由∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)<0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则( A )A.a0,所以函数f(x)=ax+x-b在(-1,0)内有一个零点,故n=-1. -9-一、选择题二、填空题A.4nB.2nC.nD.07.(2017山东潍坊一模,文10)已知函数y=f(x)满足f(2+x)+f(2- -10-一、选择题二、填空题解析: 由题意,得f(x)的图象关于点(2,0)对称; g(x)的图象也关于点(2,0)对称,即有f(x)与g(x)的交点关于点(2,0)对称, -11-一、选择题二、填空题8.(2017全国Ⅲ,文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( C )解析: ∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a= . -12-一、选择题二、填空题9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间 上的所有零点的和是( B )A.2B.3C.-2D.4解析: 因为f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),所以f(-x)=f(2-x),所以f(x)的周期为2.画出y=f(x)和y=|cos(πx)|的图象,由图可知,g(x)共有5个零点,其中x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2.所以所有零点的和为3. -13-一、选择题二、填空题10.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)= -1.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则a的取值范围是( D )A.(1,2) B.(2,+∞) -14-一、选择题二、填空题解析: ∵对任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),∴f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2-2)=f(x),∴f(x)是定义在R上的周期为4的函数;作函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下, -15-一、选择题二、填空题11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0),若方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根,则m的取值范围为( A )A.(-e2+2e+1,+∞)B.(-∞,-e2+2e+1)C.(-e2+1,2e)D.(2e-1,e2+1) -16-一、选择题二、填空题解析: 若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即函数y=g(x)与y=f(x)的图 ∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时,y=g(x)与y=f(x)的图象有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.∴m的取值范围是(-e2+2e+1,+∞). -17-一、选择题二、填空题12.(2017辽宁鞍山一模,文12)已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)= .则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实根时实数a的取值范围是( A ) -18-一、选择题二、填空题解析: ∵f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,∴f(x)的图象关于点(1,1)中心对称, (1,1)中心对称得到,由图可知当x<1时f(x)过点(0,1)且f(x)<2,方程f(x)+2a=0没有负实根,即直线y=-2a与函数y=f(x)的图象的交点的横坐标不能为负,由图可知,-2a≤1或-2a≥2,解得a≥- 或a≤-1. -19-一、选择题二、填空题 -20-一、选择题二、填空题14.(2017河北张家口4月模拟,文14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2 017x+log2 017x,则f(x)在R上的零点的个数为3 . ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上有一个零点,根据奇函数关于原点对称,f(x)在(-∞,0)上也有一个零点,又f(0)=0,∴函数f(x)在R上有3个零点. -21-一、选择题二、填空题15.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数m的取值范围是(1,2] .解析: ∵函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,∴g(x)在[m,+∞)上有一个零点,在(-∞,m)上有两个零点, -22-一、选择题二、填空题16.已知函数f(x)=ex-e-x,下列命题正确的有①②④ .(写出所有正确命题的编号)①f(x)是奇函数;②f(x)在R上是单调递增函数;③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根;④如果对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,那么k的最大值为2. -23-一、选择题二、填空题解析: 对于①,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故①正确;对于②,f'(x)=ex+e-x>0,故f(x)在R递增,故②正确;对于③,令g(x)=ex-e-x-x2-2x,由g(0)=0,得方程一根x=0,对于④,令h(x)=ex-e-x-kx,且h(0)=0,若h(x)>0,则h'(x)=ex+e-x-k>0恒成立,2,故④正确.故答案为①②④. 。
