第二章 平面力系的平衡与计算.doc

1第二章 平面力系的平衡计算概述作用在物体上各个力的作用线若都处在同一平面内，则这些力所组成的力系称为“平面力系” 平面力系中包含两种最基本的力系：平面汇交力系和平面力偶系除平面基本力系之外的平面力系，统称为平面一般力系平面任意力系在工程实际中应用最为常见，许多实际问题都可以简化为平面力系来处理本章主要研究平面基本力系的合成与平衡、平面任意力系的简化和平衡、物体系统的平衡问题，并介绍静定与超静定问题及摩擦问题的概念第一节 平面汇交力系的合成与平衡平面力系中，若力的作用线在同一平面内且汇交于一点，这样的力系叫做平面汇交力系图 2-1 表示用钢索吊起重物，铁环 A 受到三个力 FT1、F T2 和 FT3 的作用，三力作用线汇交于A 点，构成平面汇交力系T1Ⅰ2-1T13一、平面汇交力系合成与平衡的几何法1、平面汇交力系合成的几何法如图 2-2（a） ，设刚体上作用有三个力 F1、F 2、F 3，且三力汇交于一点 O，求它们的合力具体做法是：（1）选定比例尺，沿 F1 方向作有向线段 ab 表示力 F1a 为 F1 始端，b 为 F1 终端（图 2-2b） 由 b 点按同样比例尺沿 F2 方向作有向线段 bc 表示 F2。

2）连 ac，矢量 ac 就是力 F1、F 2 两力的合力FR12，由比例尺可量出它的大小3）由 c 作有向线段 cd，其大小为 F3 的数值，方向沿 F34）连 ad，有向线段 ad 就是合力 FR实际上，通常只是求三力合力 FR，因而 F1、F 2 两力的合力 FR12 可不必作出这样只要将力系中的各力矢量首尾相接得一开口多边形，最后由第一力矢量的始端到最后一力矢量的终端连一矢量，即开口多边形的封闭边就是平面汇交力系的合力根据一般规律，可以将上述方法推广到由 n 个力组成的平面汇交力系的情况，得到如下结论：平面汇交力系的合成结果为一合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力的大小和方向等于以各力为边的力多边形的封闭边Ⅰ-·(a)(b)R123cd2这种用几何作图法求平面汇交力系合力的方法称为力的多边形法平面汇交力系的合力也可用矢量求和的形式给出：FR = F1+F2+F3+……+ Fn =∑F (2－1)用力多边形法求合力时要注意：要按同一比例尺画各力，力的方向要正确；各力相加的次序可以不同，但一定要使力矢量首尾相接；合力矢量一定是第一力的始端，指向最后一力的末端；合力的大小和方向（F R 与水平方向的夹角）可以从图中直接量取（F R 的量取值需乘以比例尺） ，也可用几何及三角中的公式，如正、余弦定理等求解。

2、平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系的合成结果为一合力，因而刚体在平面汇交力系作用下平衡的充分必要条件是：汇交力系的合力为零以矢量的形式表示为：FR = 0 或 ∑F = F 1+F2+F3+……+ Fn = 0 (2－2)因为平面汇交力系的合力可由力多边形的封闭边表示，若力系为平衡力系，则封闭边长度为零这说明平面汇交力系平衡的几何条件是：力多边形自行封闭，即力系中各力首尾相接构成一封闭多边形平面汇交力系的平衡条件可以用来求约束反力例 2-1 如图 2-3，起重机横梁 AB 与拉杆 BC 用铰链连接，并用固定铰支座连接在竖直壁上已知 FP = 1000N，作用于梁 AB 中点，梁及拉杆的自重不计，求 B、C 及 A 处的约束反力·FPAFT·PAOBCB30°(a)30°(b)Ⅰ2-4N(c)60°PaFTA解：（1）取 AB 梁为研究对象AB 梁受有重物 FP 的作用，B 处受 BC 杆的作用，BC 杆为二力杆（受拉） ，因而 AB 梁在 B 处受到的约束力 FT 沿 BC 杆方向，由 B 指向 C，并与 FP 的作用线交与一点 O。

AB 梁在 A 处受有约束反力 FA，由三力平衡汇交定理可知，F A 作用线通过O 点沿 AO 方向所以 AB 梁在平面汇交力系作用下平衡2）画 AB 梁受力图，见图 2-3(b)；（3）画力多边形，求解未知量由于平面汇交力系平衡时，力多边形自行封闭，所以按比例尺先画出 ab = FP，由 FT、F A 与 FP 夹 60°角，画出封闭三角形如图 2-3（c ）所示，根据力矢量首尾相接的原则定出 FA 的指向为从 A 指向 O显然，△abc 为等边三角形， FA= FT = FP = 1000N，方向如图由上例可以总结出利用平衡的几何条件解题的步骤：1、由题意选取适当的平衡物体作为研究对象；2、画该物体的受力图分析研究对象的受力情况，画上主动力根据约束的性质及利用二力平衡公理和三力平衡汇交定理画约束力；33、作力多边形先画已知力，根据平衡的几何条件使力多边形封闭，就可以得到表示未知力大小和方向的向量线段；4、用比例尺、量角器或三角公式确定未知力的大小和方向二、平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法，是通过力矢量在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件1、平面汇交力系合成的解析法：利用力在直角坐标系上的投影，计算其合力的大小，确定合力的方向。

设由 n 个力组成的平面汇交力系作用于一个刚体上，以汇交点 O 作为坐标原点，建立直角坐标系 xOy，如图 2-4 所示根据力的投影规律及合力投影定理可知，合力 FR 的大小为：(2－3)222yxRyxR FF合力 FR 的方向为：xyRxytanα 为 FR 与 x 轴的夹角 O1234 xRFyαⅠ-4(a)(b)2、平面汇交力系平衡条件的解析形式 ：前面已指出，平面汇交力系的充要条件是该力系的合力为零，即 FR= 0由式 2-3 可知，要使 ，必须也只须：022yxRFF(2－4)yx即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有力在直角坐标系 xOy 中各轴上投影的代数和分别等于零3、平面汇交力系合成与平衡解析法的应用平面汇交力系合成与平衡的解析法是求解静力学平衡问题的基本方法以下举例说明它的应用例 2-2 固定于墙内的环形螺钉上，作用有 3 个力 F1、F 2、F 3，各力的方向如图 2-5 所示，各力的大小分别为 F1=3kN，F 2=4kN，F 3=5kN试求螺钉作用在墙上的合力解：从图 2-5（a ）中可以看到，三个力 F1、F 2、F 3 属平面汇交力系，汇交点为 O。

显然，它们合成的结果是一个合力因此，用力在坐标轴上投影的方法解此题较方便，坐标系原点就选择在汇交点 O 处见图 2-4（b） ，显然：4(a)o30°F12(b)30°1F2yxRαⅠ-5kNFFyyyyRyxxxx 5.03sin038co421 由此可求出合力 FR 的大小和方向由式 2-3 得到：6.30.3.85tan4.8)5.(.222，RxyRxF由于 Fx 为正值，而 Fy 为负值，所以 FR 在第四象限例 2-3 如图 2-6（a）所示，已知圆球重 G=100N，不考虑摩擦，试求绳和斜面的约束反力解： 取圆球为研究对象，画受力图圆球受力有重力 G、绳的约束力 FT、和斜面的约束力 FN，这些力形成一平面汇交力系，见 2-6（b） 选择坐标系 Oxy，列平衡方程：03cos0inFNyTx，，3°G(a)ONFNTxy(b)(c)Ⅰ2-6解得：NGFNT 6.830cos130cos5inin5此题若选择图 2-6（c ）所示的坐标系 Oxy，则应列出的平衡方程为： 03cos30sin, incGFFNTyx在这种情况下，每一个平衡方程均有两个未知力，只能联立求解，才能得到本题的答案。

由此可见，选择垂直于未知力的投影轴，会使计算更简便例 2-4 图 2-7 为一起重装置，吊起重物 G=2kN，∠CAD=30°，∠ABC= 60°,∠ACB=30°,求杆 AB 和 AC 受的力 ABDGC603° AⅠ2-7(a)(b)(c)FT12BCxy60°3解：首先分析各部分受力情况AB、AC 杆为二力杆，分别受拉、受压，杆端约束沿杆轴线；滑轮受到 AB、AC 杆的作用力及绳索的作用力，不计摩擦，F T1= FT2=G由于滑轮半径很小，因而可近似认为滑轮所受力系为平面汇交力系1（ 以滑轮 A 为研究对象，画它的受力图（图 2-7c） ；（2（ 建立坐标系，以 A 为原点，x 轴与未知力 FTBA 垂直；（3（ 列平衡方程并求解：由∑F x= 0： FTCA― F T2cos30°― F T1cos30°= 0，将 FT1= FT2=G 带入，则FTCA= 2G cos30°= 3.46kN；由∑F y= 0： FTBA+ FT2cos60°― F T1cos60°= 0，将 FT1= FT2=G 带入，则FTBA= 0即：杆 AB 不受力，杆 AC 受压力 3.46kN。

由以上例子总结出用解析法解平面汇交力系的平衡问题的步骤：①对系统各部分进行分析，确定研究对象，画受力图有时只取一个研究对象不能把欲求的未知力确定下来，因而要找几个不同的研究对象；②建立坐标系选择适当的坐标系，可以使解题简单例如，可使坐标系与某一未知力垂直；③列平衡方程并求解注意各力在坐标系的投影的正、负号第二节 平面力偶系的合成与平衡作用在物体上同一平面内的若干力偶，统称为平面力偶系61、平面力偶系的合成设一平面内作用两个力偶（F 1、F 1′）及（F 2、F 2′） ，如图 2-8（a ）所示根据力偶的性质可将两个力偶等效地换成力臂相等的两个力偶，然后在平面内平移，从而得到图 2-8（b）所示的两个力偶（P 1、P 1′ ）及（P 2、P 2′） ，并且：=Ⅰ2-8(a)(b)(c)dAB1RdM1( P1、P 1′) = P1d = F1d1M2( P2、P 2′) = P2d = F2d2由于 P1、P 2 与 P1′、P 2′分别共线，故可求出其合力为：R= P1+ P2R′= P 1′+ P 2′R、R ′ 构成一力偶，如图 2-8（c）所示，它的力偶矩为：M = Rd = (P1+ P2)d= P1d+ P2d= M1+ M2即同一平面内两个力偶的合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。

一般地，设平面上有 n 个力偶作用，力偶矩分别为 M1、M 2……Mn，则合力偶的力偶矩为：M = M1+ M2+……Mn = ∑M (2－5)这就是平面力偶系的合力矩定理：平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于力偶系各力偶矩的代数和2、平面力偶系的平衡条件平面力偶系合成结果为一力偶，若此力偶矩为零，则系统平衡故平面力偶系平衡的充分必要条件是：力偶系中各力偶矩的代数和为零即：∑M i = 0 (2－6)例 2-5 用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶如图 2-9 所示，已知图中三个力偶分别为 M1=10Nm，M 2=10Nm，M 3=20Nm，固定螺栓 A 和 B 之间的距离 L=0.2m，求螺栓受到的水平力7LM123AB123(a)(b)Ⅰ-9FNABL解：（1）取工件为研究对象，分析其受力情况工件在水平面内受有三个主动力偶和两个定位螺栓的水平反力，在它们的共同作用下处于平衡根据力偶的性质，反力 FNA 与 FNB 必然组成一力偶，且与上述三个力偶相平衡。

2）列平衡方程 由∑M i = 0 ：FNAL―M 1―M 2―M 3= 0NBNA F)(.321方向如图所示而螺栓所受之力与该两力大小相。