高考数学一轮复习 4.1 平面向量的概念及其线性运算课件 文 新人教A版.ppt

第四章　平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节　平面向量的概念及其线性运算【知识梳理【知识梳理】】1.1.必会知识必会知识 教材回扣　填一填教材回扣　填一填(1)(1)向量的有关概念向量的有关概念: :①①向量向量: :既有既有_____,_____,又有又有__________的量叫向量的量叫向量; ;②②模模: :向量的向量的__________叫做向量的模叫做向量的模, ,记作记作| |a| |或或| |;| |;③③零向量零向量: :长度等于长度等于0 0的向量的向量, ,其方向是其方向是_______,_______,记作记作0; ;④④单位向量单位向量: :长度等于长度等于________________的向量的向量; ;大小大小方向方向长度长度任意的任意的1 1个单位个单位⑤⑤平行向量平行向量: :方向方向______________________的非零向量的非零向量, ,又叫共线向量又叫共线向量, ,规定规定: :0与与任一向量共线任一向量共线; ;⑥⑥相等向量相等向量: :长度相等且方向长度相等且方向__________的向量的向量; ;⑦⑦相反向量相反向量: :长度相等且方向长度相等且方向__________的向量的向量. .相同或相反相同或相反相同相同相反相反(2)(2)向量的加法与减法向量的加法与减法: :加法加法减法减法定　义定　义求两个向量和的运算求两个向量和的运算向量向量a加上向量加上向量b的的__________________叫做叫做a与与b的差的差, ,即即a+(-+(-b)=)=a- -b相反向量相反向量加法加法减法减法法则法则( (或几何或几何意义意义) )______________法则法则______________________法则法则______________法则法则运算律运算律①①交换律交换律: :a+ +b=____=____②②结合律结合律:(:(a+ +b)+)+c= = ________________a- -b= =a+(-+(-b) )三角形三角形平行四边形平行四边形三角形三角形b+ +aa+(+(b+ +c) )(3)(3)向量的数乘运算及其几何意义向量的数乘运算及其几何意义: :①①定义定义: :实数实数λλ与向量与向量a的积是一个向量的积是一个向量, ,这种运算叫向量的数乘这种运算叫向量的数乘, ,记作记作λλa, ,它的长度与方向规定如下它的长度与方向规定如下: :(ⅰ)|λ(ⅰ)|λa|= ________;|= ________;(ⅱ)(ⅱ)当当λ>0λ>0时时,λ,λa与与a的方向的方向_____;_____;当当λ<0λ<0时时,λ,λa与与a的方向的方向_____;_____;当当λ=0λ=0时时,λ,λa= =0. .|λ|||λ||a| |相同相同相反相反②②运算律运算律: :设设λ,μλ,μ是两个实数是两个实数, ,则则(ⅰ)________=(λμ)(ⅰ)________=(λμ)a; ;(ⅱ)(λ+μ)(ⅱ)(λ+μ)a=________;=________;(ⅲ)λ((ⅲ)λ(a+ +b)=________.)=________.(4)(4)共线向量定理共线向量定理: :向量向量a( (a≠≠0) )与与b共线共线, ,当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数λ,λ,使使____________. .λ(μλ(μa) )λλa+μ+μaλλa+λ+λbb=λ=λa2.2.必备结论必备结论 教材提炼　记一记教材提炼　记一记(1)(1)若存在非零实数若存在非零实数λ,λ,使得使得或或 则则____________三点共线三点共线. .(2)(2)若存在非零实数若存在非零实数λ,λ,使得使得 =λ ,=λ ,则则A,B,CA,B,C(3)(3)三个重要结论三个重要结论: :①①相等向量具有传递性相等向量具有传递性, ,非零向量的平行具有传递性非零向量的平行具有传递性; ;②②向量可以平移向量可以平移, ,平移后的向量与原向量是相等向量平移后的向量与原向量是相等向量; ;③③平行向量与起点无关平行向量与起点无关. .3.3.必用技法必用技法 核心总结　看一看核心总结　看一看(1)(1)常用方法常用方法: :数形结合法数形结合法, ,待定系数法待定系数法. .(2)(2)常用思想常用思想: :数形结合数形结合, ,函数与方程函数与方程. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :①①向量的有关概念向量的有关概念: :大小相等同方向大小相等同方向, ,就是相等的向量就是相等的向量. .大小相等反方向大小相等反方向, ,称其互为负向量称其互为负向量. .向量大小叫做模向量大小叫做模, ,模零向量零向量模零向量零向量. .零向量仍有方向零向量仍有方向, ,方向不定好商量方向不定好商量. .②②向量的加法向量的加法: :向量可加亦可减向量可加亦可减, ,减即加上负向量减即加上负向量. .首尾衔接向量组首尾衔接向量组, ,初始末终和向量初始末终和向量. .起点公共两向量起点公共两向量, ,平行四边形帮忙平行四边形帮忙; ;公共起点是起点公共起点是起点, ,对角线乃和向量对角线乃和向量. .③③差向量差向量: :起点公共两向量起点公共两向量, ,终点构成差向量终点构成差向量. .④④向量求和向量求和: :非平行的两向量非平行的两向量, ,求和平行四边形求和平行四边形. .平行向量要求和平行向量要求和, ,需用法则三角形需用法则三角形. .【小题快练【小题快练】】1.1.思考辨析思考辨析 静心思考　判一判静心思考　判一判(1)(1)单位向量只与模有关单位向量只与模有关, ,与方向无关与方向无关.(.(　　　　) )(2)(2)零向量的模等于零向量的模等于0,0,没有方向没有方向.(.(　　　　) )(3)(3)若两个向量共线若两个向量共线, ,则其方向必定相同则其方向必定相同.(.(　　　　) )(4)(4)若若a∥∥b, ,b∥∥c, ,则必有则必有a∥∥c.(.(　　　　) )(5) =(5) =0.(.(　　　　) )【解析【解析】】(1)(1)正确正确. .由定义可知只要模为由定义可知只要模为1 1的向量的向量, ,就叫单位向量就叫单位向量, ,与方与方向无关向无关.(2).(2)错误错误. .零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的.(3).(3)错误错误. .可能相同可能相同, ,也可能也可能相反相反, ,若有零向量若有零向量, ,则两向量方向不定则两向量方向不定.(4).(4)错误错误. .若若b为为0, ,则则a不一定与不一定与c共线共线.(5).(5)正确正确. =. =0. .答案答案: :(1)(1)√√　　(2)(2)××　　(3)(3)××　　(4)(4)××　　(5)(5)√√2.2.教材改编教材改编 链接教材　练一练链接教材　练一练(1)((1)(必修必修4P78A4P78A组组T5T5改编改编) )已知三角形已知三角形ABC,ABC,用用 与与 表示表示BCBC边上边上的中线向量的中线向量 , ,则则 = =　　　　　　　　. .【解析【解析】】答案答案: :(2)((2)(必修必修4P92B4P92B组组T2T2改编改编) )已知已知a, ,b是非零向量是非零向量, ,若若| |a+ +b|=||=|a- -b|,|,则以则以a, ,b为邻边构成的四边形的形状为为邻边构成的四边形的形状为　　　　　　　　. .【解析【解析】】如图如图, ,在以在以a与与b为邻边的四边形中为邻边的四边形中, ,| |a+ +b| |与与| |a- -b| |分别为四边形的两条对角线分别为四边形的两条对角线, ,故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知, ,以以a, ,b为邻边的四边形是矩形为邻边的四边形是矩形. .答案答案: :矩形矩形3.3.真题小试真题小试 感悟考题　试一试感悟考题　试一试(1)(2013(1)(2013··四川高考四川高考) )如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中, ,对角线对角线ACAC与与BDBD交于交于点点O, O, 则则λ=λ=　　　　　　　　. .【解析【解析】】在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中, , 而而所以所以 故故λ=2.λ=2.答案答案: :2 2(2)(2013(2)(2013··江苏高考江苏高考) )设设D,ED,E分别是分别是△ABC△ABC的边的边AB,BCAB,BC上的点上的点,AD= AB,,AD= AB,BE= BC,BE= BC,若若 (λ(λ1 1,λ,λ2 2为实数为实数),),则则λλ1 1+λ+λ2 2的值为的值为　　　　　　　　. .【解析【解析】】由由 则则λλ1 1+λ+λ2 2的值为的值为 . .答案答案: :(3)(2015(3)(2015··威海模拟威海模拟) )判断下列四个命题判断下列四个命题: :①①若若a∥∥b, ,则则a= =b;②;②若若| |a|=||=|b|,|,则则a= =b; ;③③若若| |a|=||=|b|,|,则则a∥∥b;④;④若若a= =b, ,则则| |a|=||=|b|.|.其中正确的是其中正确的是　　　　　　　　. .【解析【解析】】①①中两向量共线中两向量共线, ,但这两向量的方向、模均不一定相同但这两向量的方向、模均不一定相同, ,故不故不一定相等一定相等; ;②②中两向量的模相等中两向量的模相等, ,但方向不一定相同但方向不一定相同, ,故这两向量不一故这两向量不一定相等定相等; ;③③中两向量的模相等中两向量的模相等, ,但两向量不一定共线但两向量不一定共线; ;④④中两向量相等中两向量相等, ,则模一定相等则模一定相等, ,故正确故正确. .答案答案: :④④考点考点1 1 平面向量的概念平面向量的概念【典例【典例1 1】】(1)(2015(1)(2015··滨州模拟滨州模拟) )设设a, ,b都是非零向量都是非零向量, ,下列四个条件下列四个条件中中, ,使使 成立的充分条件是成立的充分条件是( (　　　　) )A.A.a=-=-b　　　　　　　　　　　　　　　　B.B.a∥∥bC.C.a=2=2b D. D.a∥∥b且且| |a|=||=|b| |(2)(2015(2)(2015··洛阳模拟洛阳模拟) )给出下列命题给出下列命题: :①①非零向量非零向量a与与b同向是同向是a= =b的必要不充分条件的必要不充分条件; ;②②若若 与与 共线共线, ,则则A,B,CA,B,C三点在同一条直线上三点在同一条直线上; ;③③若若a与与b同向同向, ,则则a与与- -b反向反向; ;④λ,μ④λ,μ为实数为实数, ,若若λλa=μ=μb, ,则则a与与b共线共线. .其中错误命题的序号为其中错误命题的序号为　　　　　　. .【解题提示【解题提示】】(1)(1)利用向量相等与单位向量的概念求解利用向量相等与单位向量的概念求解. .(2)(2)利用共线向量定理逐一判断利用共线向量定理逐一判断. .【规范解答【规范解答】】(1)(1)选选C.C.由由 表示与表示与a同向的单位向量同向的单位向量, , 表示与表示与b同同向的单位向量向的单位向量, ,故只要故只要a与与b同向即可同向即可, ,观察可知观察可知C C满足题意满足题意. .(2)(2)对于对于①,①,因为向量因为向量a与与b都是非零向量都是非零向量, ,所以该命题是正确的所以该命题是正确的; ;对于对于②,②,因为向量因为向量 与与 共线共线, ,且有公共点且有公共点B,B,所以该结论是正确的所以该结论是正确的; ;对对于于③,③,因为因为b与与- -b反向反向, ,所以该结论正确所以该结论正确; ;对于对于④,④,当当λ=μ=0λ=μ=0时时, ,a与与b可可为任意向量为任意向量, ,不一定共线不一定共线, ,所以所以④④不正确不正确. .答案答案: :④④【易错警示【易错警示】】解答本例题解答本例题(1)(1)有两点容易出错有两点容易出错. .(1)(1)不清楚不清楚 , , 表示何种向量表示何种向量, ,不知道不知道 是是a方向上的单位向量方向上的单位向量. .(2)(2)求解时易忽视两向量是同向还是反向求解时易忽视两向量是同向还是反向, ,是共线还是相等是共线还是相等. .【互动探究【互动探究】】若本例若本例(2)④(2)④中的中的λ,μλ,μ都为非零实数都为非零实数, ,该结论是否正确该结论是否正确? ?【解析【解析】】因为因为λλ, ,μμ都为非零实数都为非零实数, ,则由则由λλa= =μμb, ,得得a= = b, ,由共线向由共线向量定理知该结论成立量定理知该结论成立. .【规律方法【规律方法】】向量有关概念的关键点向量有关概念的关键点(1)(1)向量定义的关键是方向和长度向量定义的关键是方向和长度. .(2)(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反非零共线向量的关键是方向相同或相反, ,长度没有限制长度没有限制. .(3)(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等相等向量的关键是方向相同且长度相等. .(4)(4)单位向量的关键是方向没有限制单位向量的关键是方向没有限制, ,但长度都是一个单位长度但长度都是一个单位长度. .(5)(5)零向量的关键是方向没有限制零向量的关键是方向没有限制, ,长度是长度是0,0,规定零向量与任何向量共规定零向量与任何向量共线线. .【变式训练【变式训练】】下列命题中正确的个数为下列命题中正确的个数为( (　　　　) )①①有向线段就是向量有向线段就是向量, ,向量就是有向线段向量就是有向线段; ;②②向量向量a与向量与向量b平行平行, ,则则a与与b的方向相同或相反的方向相同或相反; ;③③向量向量 与与 向量共线向量共线, ,则则A,B,C,DA,B,C,D四点共线四点共线; ;④④如果如果a= =b, ,b= =c, ,那么那么a= =c. .A.1A.1　　　　　　　　　　B.2B.2　　　　　　　　　　C.3C.3　　　　　　　　　　D.0D.0【解析【解析】】选选A.A.①①不正确不正确, ,向量可以用有向线段表示向量可以用有向线段表示, ,但向量不是有向线但向量不是有向线段段, ,有向线段也不是向量有向线段也不是向量; ;②②不正确不正确, ,若若a与与b中有一个为零向量中有一个为零向量, ,零向量零向量的方向是不确定的的方向是不确定的, ,故两向量方向不一定相同或相反故两向量方向不一定相同或相反; ;③③不正确不正确, ,共线共线向量所在的直线可以重合向量所在的直线可以重合, ,也可以平行也可以平行; ;④④正确正确, ,因为因为a= =b, ,b= =c, ,由相等向由相等向量的概念可知量的概念可知a与与c方向相同方向相同, ,大小相等大小相等, ,故故a= =c. .【加固训练【加固训练】】1.1.设设a0 0为单位向量为单位向量,①,①若若a为平面内的某个向量为平面内的某个向量, ,则则a=|=|a| |a0 0;②;②若若a与与a0 0平行平行, ,则则a=|=|a| |a0 0;③;③若若a与与a0 0平行且平行且| |a|=1,|=1,则则a= =a0 0, ,上上述命题中述命题中, ,假命题的个数是假命题的个数是( (　　　　) )A.0 B.1 A.0 B.1 C.2 C.2 D.3D.3【解析【解析】】选选D.D.向量是既有大小又有方向的量向量是既有大小又有方向的量, ,a与与| |a| |a0 0的模相同的模相同, ,但方但方向不一定相同向不一定相同, ,故故①①是假命题是假命题; ;若若a与与a0 0平行平行, ,则则a与与a0 0的方向有两种情况的方向有两种情况: :一是同向一是同向, ,二是反向二是反向, ,反向时反向时a=-|=-|a| |a0 0, ,故故②③②③也是假命题也是假命题. .综上所述综上所述, ,假命题的个数是假命题的个数是3 3. .2.(20152.(2015··南昌模拟南昌模拟) )下列关于向量的叙述不正确的是下列关于向量的叙述不正确的是( (　　　　) )A.A.向量向量 的相反向量是的相反向量是B.B.模长为模长为1 1的向量是单位向量的向量是单位向量, ,其方向是任意的其方向是任意的C.C.若若A,B,C,DA,B,C,D四点在同一条直线上四点在同一条直线上, ,且且AB=CD,AB=CD,则则 = =D.D.若向量若向量a与与b满足关系满足关系a+ +b= =0, ,则则a与与b共线共线【解析【解析】】选选C.A,BC.A,B显然正确显然正确; ;对于对于C,C,如图如图, A,B,C,D, A,B,C,D四点四点满足条件满足条件, ,但但 ≠ ≠ , ,所以所以C C不正确不正确; ;对于对于D,D,由由a+ +b= =0, ,得得b=-=-a, ,由共由共线向量定理知线向量定理知, ,a与与b共线共线, ,所以所以D D正确正确. .考点考点2 2 平面向量的线性运算平面向量的线性运算 知知··考情考情 平面向量的线性运算是高考考查的热点内容平面向量的线性运算是高考考查的热点内容. .常以选择题、填空常以选择题、填空题的形式出现题的形式出现. .考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则, ,向量减向量减法的三角形法则及向量的相等法的三角形法则及向量的相等. .明明··角度角度命题角度命题角度1:1:利用向量加减运算的几何意义求解向量问题利用向量加减运算的几何意义求解向量问题【典例【典例2 2】】（（20142014··福建高考）设福建高考）设M M为平行四边形为平行四边形ABCDABCD对角线的交点对角线的交点, ,O O为平行四边形为平行四边形ABCDABCD所在平面内任意一点，则所在平面内任意一点，则 等于等于( )( )【解题提示【解题提示】】利用平面向量的平行四边形法则求解利用平面向量的平行四边形法则求解. .【规范解答【规范解答】】选选D.D.因为因为M M是是□□ABCDABCD对角线交点，所以对角线交点，所以M M是是ACAC和和BDBD的中的中点，由平行四边形法则知，点，由平行四边形法则知， 故故命题角度命题角度2:2:利用平面向量线性运算求解向量问题利用平面向量线性运算求解向量问题【典例【典例3 3】】(2015(2015··临沂模拟临沂模拟) )在在△ABC△ABC中中, ,若若D D是是ABAB边上一点且边上一点且 则则λ+μλ+μ=(=(　　　　) )A. B.1 C.-1 D.-A. B.1 C.-1 D.-【解题提示【解题提示】】作出图形利用向量线性运算求解作出图形利用向量线性运算求解. .【规范解答【规范解答】】选选B.B.如图所示如图所示, ,由三角形法则可知由三角形法则可知故故μ= ,λ= ,λ+μμ= ,λ= ,λ+μ= + = + =1.=1.悟悟··技法技法平面向量线性运算的一般思路平面向量线性运算的一般思路(1)(1)准确作出图形准确作出图形, ,确定每一个点的位置确定每一个点的位置. .(2)(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化利用平行四边形法则或三角形法则进行转化, ,转化为要求的向量形转化为要求的向量形式式. .(3)(3)比较比较, ,观察可知所求结果观察可知所求结果. . 通通··一类一类1.(20151.(2015··厦门模拟厦门模拟) )如图所示的方格纸中有定点如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,O,P,Q,E,F,G,H,则则 =(=(　　　　) )【解析【解析】】选选C.C.设设a= = 以以OP,OQOP,OQ为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形, ,则夹在则夹在OP,OP,OQOQ之间的对角线对应的向量即为向量之间的对角线对应的向量即为向量a= = 因为因为a和和 长度相长度相等等, ,方向相同方向相同, ,所以所以a= ,= ,故选故选C.C.2.(20152.(2015··九江模拟九江模拟) )已知已知P,A,B,CP,A,B,C是平面内四点是平面内四点, ,且且 那么一定有那么一定有( (　　　　) )【解析【解析】】选选D.D.由题意得由题意得即即3.(20153.(2015··扬州模拟扬州模拟) )在在△ABC△ABC中中,N,N是是ACAC边上一点且边上一点且 P P是是BNBN上一点上一点, ,若若 则实数则实数m m的值是的值是　　　　　　　　. .【解析【解析】】如图所示如图所示. .设设则则= = 因为因为 所以所以λ= ,λ= ,所以所以1-λ= ,1-λ= ,所以所以m= .m= .答案答案: :4.(20154.(2015··兰州模拟兰州模拟) )任意四边形任意四边形ABCDABCD中中,E,F,E,F分别是分别是AD,BCAD,BC的中点的中点, ,若若 则则λ+μλ+μ= =　　　　　　　　. .【解析【解析】】如图所示如图所示, ,因为因为E,FE,F分别是分别是ADAD与与BCBC的中点的中点, ,所以所以又因为又因为所以所以 　　 ①①同理同理 　　②②由由①+②①+②得得, , 所以所以 所以所以λ= ,μ= λ= ,μ= . .所以所以λ+μλ+μ=1.=1.答案答案: :1 1考点考点3 3 共线向量定理及其应用共线向量定理及其应用【典例【典例4 4】】(1)(2015(1)(2015··沈阳模拟沈阳模拟) )已知向量已知向量a, ,b, ,c中任意两个都不共线中任意两个都不共线, ,并且并且a+ +b与与c共线共线, ,b+ +c与与a共线共线, ,那么那么a+ +b+ +c等于等于( (　　　　) )A.A.a　　　　　　　　　　B.B.b　　　　　　　　　　C.C.c　　　　　　　　　　D.D.0(2)(2)如图如图, ,在在△ABC△ABC中中,D,F,D,F分别是分别是BC,ACBC,AC的中点的中点, ,①①用用a, ,b表示向量表示向量②②求证求证:B,E,F:B,E,F三点共线三点共线. .【解题提示【解题提示】】(1)(1)利用共线向量定理及向量相等的概念求解利用共线向量定理及向量相等的概念求解. .(2)①(2)①利用线性运算几何意义求解利用线性运算几何意义求解.②.②利用共线向量定理得出利用共线向量定理得出. .【规范解答【规范解答】】(1)(1)选选D.D.因为因为a+ +b与与c共线共线, ,所以所以a+ +b=λ=λ1 1c. .　　①①又因为又因为b+ +c与与a共线共线, ,所以所以b+ +c=λ=λ2 2a. .　　②②由由①①得得: :b=λλ1 1c-a. .所以所以b+ +c=(λ=(λ1 1+1)+1)c- -a=λ=λ2 2a, ,所以所以 即即所以所以a+ +b+ +c=-=-c+ +c= =0. .(2)①(2)①由已知可得由已知可得: :因为因为所以所以 = = ·· ( (a+ +b)= )= ( (a+ +b),), = = b, , = ( = (a+ +b)-)-a= = b- - a, , = = b- -a. .②②由由 = = b- - a, , = = b- -a, ,得得 = ,= ,又又 , , 有公共点有公共点B,B,故故B,E,FB,E,F三点共线三点共线. .【规律方法【规律方法】】共线向量定理的应用共线向量定理的应用(1)(1)证明向量共线证明向量共线: :对于向量对于向量a, ,b, ,若存在实数若存在实数λ,λ,使使a=λ=λb, ,则则a与与b共线共线. .(2)(2)证明三点共线证明三点共线: :若存在实数若存在实数λ,λ,使使 则则A,B,CA,B,C三点共线三点共线. .(3)(3)求参数的值求参数的值: :利用共线向量定理及向量相等的条件列方程利用共线向量定理及向量相等的条件列方程( (组组) )求参求参数的值数的值. .提醒提醒: :证明三点共线时证明三点共线时, ,需说明共线的两向量有公共点需说明共线的两向量有公共点. .【变式训练【变式训练】】设设e1 1, ,e2 2是两个不共线向量是两个不共线向量, ,已知已知 =2=2e1 1-8-8e2 2, =, =e1 1+3+3e2 2, , =2 =2e1 1- -e2 2. .(1)(1)求证求证:A,B,D:A,B,D三点共线三点共线. .(2)(2)若若 =3=3e1 1-k-ke2 2, ,且且B,D,FB,D,F三点共线三点共线, ,求求k k的值的值. .【解析【解析】】(1)(1)由已知得由已知得 =(2=(2e1 1- -e2 2)-()-(e1 1+3+3e2 2)=)=e1 1-4-4e2 2, ,因为因为 =2=2e1 1-8-8e2 2, ,所以所以 =2 ,=2 ,又有公共点又有公共点B,B,所以所以A,B,DA,B,D三点共线三点共线. .(2)(2)由由(1)(1)可知可知 = =e1 1-4-4e2 2, ,且且 =3=3e1 1-k-ke2 2, ,又因为又因为B,D,FB,D,F三点共线三点共线, ,所以存在实数所以存在实数λ,λ,使得使得 =λ ,=λ ,即即3 3e1 1-k-ke2 2=λ=λe1 1-4λ-4λe2 2, ,得得解得解得k=12,k=12,所以所以k=12.k=12.【加固训练【加固训练】】1.1.a=λ=λb(λ∈R(λ∈R) )是是a与与b共线的共线的( (　　　　) )A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件【解析【解析】】选选A.A.当当a= =λλb( (λ∈λ∈R R) )时时, ,若若b= =0, ,则则a= =0, ,显然显然a与与b共线共线; ;若若b≠≠0, ,则则由共线向量定理知由共线向量定理知a与与b共线共线. .反之反之, ,若若a与与b共线共线, ,当当b= =0, ,而而a≠≠0时时, ,a=λ=λb(λ∈R(λ∈R) )不成立不成立. .故选故选A.A.2.2.设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线. .(1)(1)若若 = =a+ +b, =2, =2a+8+8b, =3(, =3(a- -b).).求证求证:A,B,D:A,B,D三点共线三点共线; ;(2)(2)试确定实数试确定实数k,k,使使k ka+ +b和和a+k+kb共线共线. .【解析【解析】】(1)(1)因为因为 = =a+ +b, =2, =2a+8+8b, , =3( =3(a- -b),),所以所以 =2=2a+8+8b+3(+3(a- -b)=5()=5(a+ +b)=5 ,)=5 ,所以所以 , , 共线共线. .又又 与与 有公共点有公共点B,B,所以所以A,B,DA,B,D三点共线三点共线. .(2)(2)因为因为k ka+ +b与与a+k+kb共线共线, ,所以存在实数所以存在实数λ,λ,使使k ka+ +b=λ(=λ(a+k+kb),),所以所以 所以所以k=k=±±1.1.自我纠错自我纠错1010 利用共线向量定理求参数利用共线向量定理求参数【典例【典例】】( (20152015··郑州模拟郑州模拟) )已知向量已知向量a, ,b不共线不共线, ,且且c=λ=λa+ +b, ,d= =a+ +(2λ-1)(2λ-1)b, ,若若c与与d同向同向, ,则实数则实数λλ的值为的值为________.________.【解题过程【解题过程】】【错解分析【错解分析】】分析上面解题过程分析上面解题过程, ,你知道错在哪里吗你知道错在哪里吗? ?提示提示: :上述解题过程忽视了上述解题过程忽视了c与与d同向的条件同向的条件, ,漏掉漏掉k k的范围限制从而忽的范围限制从而忽略了略了λλ的范围限制导致错解的范围限制导致错解. .【规避策略【规避策略】】1.1.准确理解向量共线的概念准确理解向量共线的概念两个向量共线两个向量共线, ,是指两个向量的方向相同或相反是指两个向量的方向相同或相反, ,因此共线包含两种情因此共线包含两种情况况: :同向共线或反向共线同向共线或反向共线. .在求解相关问题时要注意区分在求解相关问题时要注意区分. .一般地一般地, ,若若a=λ=λb, ,那么那么a与与b共线共线; ;当当λ>0λ>0时时, ,a与与b同向同向; ;当当λ<0λ<0时时, ,a与与b反向反向. .2.2.找清关系找清关系利用向量共线往往需要引入参数利用向量共线往往需要引入参数, ,要搞清引入的参数与已知条件中的要搞清引入的参数与已知条件中的参数关系参数关系, ,准确理解准确理解, ,从而确定要求的参数从而确定要求的参数. .【自我矫正【自我矫正】】由于由于c与与d同向同向, ,所以所以c=k=kd(k(k>0),>0),于是于是λλa+ +b=k[=k[a+(2λ-1)+(2λ-1)b],],整理得整理得λλa+ +b=k=ka+(2λk-k)+(2λk-k)b. .由于由于a, ,b不共线不共线, ,所以有所以有整理得整理得2λ2λ2 2-λ-1=0,-λ-1=0,所以所以λ=1λ=1或或λ=- .λ=- .又因为又因为k>0,k>0,所以所以λ>0,λ>0,故故λ=1.λ=1.答案答案: :1 1。