凸函数及其应用论文.doc

1凸函数及其应用摘要：本文描述了凸函数的定义、判定、引理以及凸函数的基本不等式—Jensen 不等式， 讨论了凸函数在高中数学、大学数学以及在竞赛数学中的应用关键字：凸函数； 定义； 判定；引理； Jensen 不等式； 应用1、凸函数的定义定义 1 设 是定义在区间 上的函数，如果对 上的任意两点 ， 都有)(xfII1x22)()2(11xffxf则称 为 上的凸函数)(xfI如果成立不等式 2)())2(11xffxf则称 为 上的严格凸函数)(xfI如果成立不等式 2)()2(11xffxf则称 为 上的凹函数)(xfI显然，若 为区间 上的凹函数，则 就是区间 上的凸函数)(fI)(xfI由定义 1 可以看到，关于区间 上的凸函数 有着明显的几何意义：曲线I一条弦的中点必在该曲线之上方或在该曲线上，如下图：)(xfy2)()1xffyO x2x2x2定义 2 设函数 在区间 上有定义，若 ， 有)(xfIIx21,)1,0(t)())12fttfxtt 则称 在区间 是凸函数)(xfI2、凸函数的判定定理 设 在 上二阶可导，则 在 上是凸函数的充分必要条)(xf,ba)(xf,ba件是 。

0)(xf3、凸函数的一个引理区间 上的函数 是一个凸函数的充分必要条件为：对区间 中任意三点I)(xf I，当 时有 321,x321 0)(()() 3123123 xfxfxf4、凸函数的一个基本不等式—Jensen 不等式定理 设 是区间 I 上的凸函数，则对 I 中任意几个数 成立)(xf n,.21不等式 nxfxffnxf n)(.)().( 2121 当且仅当 时取等号xx.215、凸函数的应用在解题中巧妙地利用凸函数的定义、引理、及其基本不等式，可以使一些复杂的问题简单化，使难的问题迎刃易解5.1 凸函数定义及 Jensen 不等式在高中基础数学中的应用例 1. 如果 则,0,ba.2ba证明 令 则 ， ，,)(2xfxf)('0)(' f则 在 为凸函数由凸函数的定义 1 可得)(xf0 )()(bfafbaf3即 2)(2ba即 2ba所以原题得证例 2. 如果 则 20,20 2coscos证明 令 则 ， ，,cos)(xfxfin)('xf)('因为 ，所以 ，即 ，所以 为凸函数。

20x0'f 0'f )(f由凸函数的定义 1，可得 2)()2(fff即 )()(fff即 2coscos所以原题得证例 3. 已知 且满足 ，求 的Rdcba, 65dcba dcba最大值解 令 ，则 ， ，0,)(xf 21')(xf 23' 41)(xf由于 ，则 ，所以 ，所以 为凸函数0x)('f 0'ff由 Jensen 不等式有 4)()()4( dfcfbfafdcbaf 4即 4)()()4( dfcbfadcbaf 即 625cc即 254dcba所以 50dcba当 时， 取得最大值 504625dcba例 4. 已知 ，求证: 1,,baRb 212ba证明 令 ，有xxf,)21() ,)(1)(21' xf所以 ，所以 在 上,0)(41)(3' xf 0)('f )(f),0为凸函数。

由 Jensen 不等式可得 2)())2(11 xffxf 即 2112baba即 2112ba5即 211ba即 21ba所以原题得证5.2 凸函数定义、引理及 Jensen 不等式在大学数学中的应用5.2.1 凸函数定义、引理及 Jensen 不等式在积分中的应用例 1. 设 在 上连续，且 证明)('xfba, )('xf,02)(badfa证明 令 ，对于 ，令 或 ，)1,0(t ,x)(tx)(abtx即有 或 ，所以有dtabdxtb)(dxfa(1tabtb0)][（1）f)(1或 dxfab)(tabtf01 )]][[（2）0)(（1）+（2）得 dxfab)(2= dtabtfttf1010 )]([][所以有 6dxfab)(110 )]}[][{2dtabttf又因为 ，0)('xf所以 在 上为凸函数，则有],[badxfab)(110 )]}[][{2dtabttf ()(fttabtf }2)][][{10)(dt10f)2(ba所以有 )2()(1bafdxfab即 )())(ffa所以原题得证。

例 2. 设函数 二阶可导，且 ，又 为任意一个连续函数，)(xfy0)('xf)(tu证明不等式 dtufadtuaf00)(11(证明 因为 可积，故将区间 分作 n 等分，并取)(,f ],0[a),(nktxk因为 所以 为凸函数，由 Jensen 不等式有,.21,0'xf)(xf),(1nknkxff7即有 （1）nknkaufauaf11)()(由于 可导，则 连续，对（1）式两边令 ，得)(xfxf nknnk naufauaf 11 )(lim)(li(所以，由定积分定义，得 dtfdtfaa00)()(所以原题得证例 3. 设 为 上的一个凸函数，令 ，则)(xf],[ba axfdtfaxGx)()(1)2G是 上的一个递增函数],(ba证明 设 ，因为 为 上的一个凸函数，)()(1)(axfdtfxHx )(xf],[ba则得 也是 上的一个凸函数，于是， ，当 时，由引理得)(x],[ba ],[,yy0)()()( faxfafxy即 )(1)()1)()( dtfayxdtfaxyafy即 0)()()( dtfayxdtfaxyfy又 )()()(fxffy所以 8（1）xa yaaftfxftfy 0)]()([)]()([对（1）式两边同时除以 得,y 0)]()([)(1)()[)(122  afydtfayfaxdtfax yx即 0)](1)((1[]))((1[ 22  afydtfayxfdtfax yx即 ，所以 ，又因为 ，所以 是 上的一个递0)(yG)GxG,[b增函数。

5.2.2 凸函数凸函数定义、引理及 Jensen 不等式在数项级数的敛散性中的应用例 1． 设 是 上的凸函数，且 存在，则级数 收敛，其中)(xf],[N)('f1ka)(21| kk dxffa证明 因为 是 上的凸函数，所以有 即 所以f],[,0)('xf ,0)(''xf是 上的单调函数)('xf],[N则 |)(2)1()| kk dxffa= ||1kf= 1|)]()([)()|2kkfxfkf= '|2| k dx= 11'|)(()()()|21kkfdxffk= 11'' |[2(| kkdxffff = |])(|)()(1)|21 '2'kkxk9= |)](21)([)(21()|21 ''' kffkffkf = || '= |)()(|2'fkf |]1[| '' k= |)(|''ff|(|2'' k其中 )1,(,k因为 是 上的凸函数，所以有 ，所以 在 上为xf],[N0)('xf )('xf],[N增函数，所以有 ，则)(('' kff )]}(1([.)]1()[]1{2 ''''''1 ffnffnffank 即。

)](([2)](1([2''''1 NffNfnfank 所以，正项级数 是收敛的nk15.2.3 凸函数定义、引理及 Jensen 不等式在概率中的应用例 1． 设 是 上一个凸函数，X 是取值于 上子集 A 的离散型随机)(xf],[ba],[ba变量，E 表示期望，则 )()(xEff证明 对于 X 取值的个数归纳证明首先两点分布 简记,)(,~21xpX注意到 则其中 成立应用了 的凸函数性质，),(),(21xpxp,12p)(f现设 X 的值域 A 中元素个数为 时，不等式)(n121,.nxA成立，则对 元素个数为 时，简记)()(xEff ),.()(2n所以 则有 是一个概率,.21,, nippnii  ,1niip121,.np10分布，从而有 )(.)()()(21 nxfpxfpfXfE1'ni niff1' )()()(ni nixfpfp1')(niinxf1)(niixpf)XEf所以有 )()(xEff5.3 凸函数在竞赛数学中的应用例 1. 如果 则 0,0dcba 4abcdcba证明 令 ，因为 ，,ln)(xf 01)(,1)(2'' xfxf所以 所以 在 上为凸函数。

由 Jensen 不等式可得,012' xf )(f,04)()(4dfcbfadcbaf 即 lnlnln即 dcbadcball4l即 )ln()ln(4又因为 为增函数，所以有)0(lnx abcdcba即 ，所以原题得证4abcdcba11例 2. 已知 是满足 的实数，edcba, 16,822dcbadcba试确定 的最大值e解 令 则 ，所以 为 上的凸函数)(2xf0)(,)('' xff )(xfR由题设有 ，由 Jensen 不等式可得22216,8edcbaedcba  )4(4)()( dcbafff 即 222 )(cdcba即 222 )()(4dcbadcba即 22)8(16(e即 e(5e-16) 0所以有 5160e以上不等式当且仅当 时等号成立dcba由此可知 此时 max56例 3． 且 ，求 的最小值R122)1()(ba解 令 ，则 ， 0,)()2xxf 3' xf0)31()4' xf所以 在 上为凸函数。

1(x由凸函数的定义可得 22)1()(ba= (f)212= )21(f2)5(即 ，25)1()(2ba所以 的最小值为 例 4．。