自动控制原理第2章控制系统的数学模型课件.ppt

第第2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型教学重点⑴简单物理系统的微分方程和传递函数的列写及计算；⑵非线性模型的线性化方法；⑶方块图和信号流图的变换与化简；⑷开环传递函数与闭环传递函数的推导和计算教学难点  动态微分方程的编写，传递函数求解，系统动态结构图变换，信号流图控控制制系系统统的的数数学学模模型型是是描描述述系系统统内内部部物物理理量量之之间间关关系系的的数数学学表表达达式式，，它它是是在在系系统统分分析析和和设设计计中首先要做的工作中首先要做的工作建立控制系统数学模型的方法有机理分析法和建立控制系统数学模型的方法有机理分析法和实验辨识法两种实验辨识法两种机理分析法：机理分析法：　　依依据据描描述述系系统统运运动动规规律律的的定定律律并并通通过过理理论论推推导导来得到数学模型的方法来得到数学模型的方法 实验辨识法：实验辨识法：　　 通通过过整整理理基基于于系系统统输输入入－－输输出出的的实实验验数数据据来来得得到系统的数学模型本章着重讨论机理分析法到系统的数学模型本章着重讨论机理分析法 数数学学模模型型有有多多种种形形式式，，常常用用的的有有:微微分分方方程程（（连连续续系系统统））、、差差分分方方程程（（离离散散系系统统））及状态方程等。

及状态方程等 本本章章主主要要研研究究:微微分分方方程程、、传传递递函函数数、、系系统统方框图和信号流图等方框图和信号流图等2.1 系统的微分方程系统的微分方程本本节节着着重重研研究究描描述述线线性性、、定定常常、、集集中中参参数控制系统微分方程的建立和求解方法数控制系统微分方程的建立和求解方法为为了了说说明明线线性性元元件件微微分分方方程程的的建建立立过过程程，，我们以几个例子加以说明我们以几个例子加以说明例例2-1 列写RC电路微分方程，如图2-1所示图2-1 RC电路系统解解 （1）确定输入、输出量为   、 　（2）根据电路原理列写微分方程         （3）消去中间变量，可得电路微分方程        例例2-2 列写电枢控制的他励直流电动机的微分方程，如图2-2所示图2-2 他励直流电动机解解 （1）确定输入、输出量为   、     （2）根据电路原理列微分方程根据电动机力矩平衡原理列微分方程 （3）消去中间变量，可得电路微分方程 令                         ,                  则得 例例2-3 列出具有质量-弹簧-阻尼器的机械位移系统的微分方程，如图2-3所示。

图2-3 质量-弹簧-阻尼系统 解解 （1）确定输入、输出量为   、     （2）根据力学、运动学原理列微分方程   （3）消去中间变量，可得电路微分方程例例2-4 列写直流调速系统的微分方程，如图2-4所示图2-4 直流调速系统 解解 （1）确定输入、输出量为   、     （2）根据电路、电动机力矩平衡原理列微分方程（3）消去中间变量，得直流调速系统的动态微分方程式中 ，  为正向通道电压放大系数，          ;        为系统开环放大系数，　　　　 　通过以上例子，可以归纳出列写微分方程的一般步骤：全面分析系统的结构组成及工作原理，确定系统的输入、输出变量从输入端开始，按信号传递遵循的有关规律列出各元器件的微分方程将所有微分方程联立起来，消去中间变量，求得一个仅含系统的输入、输出变量的微分方程整理方程，使得与输入有关的项在方程的右边，与输出有关的项在方程的左边，且各导数项按降幂排列    注：如果在第(3)步结束时已经得到符合第(4)步要求的微分方程，则无须第(4)步　引言：　引言：传递函数是在拉氏变换基础上引申出来的复数域数学模型传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。

经典控制理论中广泛应用的根轨迹法和频域法，就是以传递函数为基础建立起来的因此，传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的数学模型 2.2传递函数传递函数2.2.1 传递函数的定义传递函数的定义　传递函数是指在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比线性定常系统的微分方程一般可写为 (2-1)  在零初始条件下对式(2-1)两端进行拉氏变换，可得相应的代数方程系统的传递函数为 (2-2) 　传递函数是在零初始条件下定义的零初始条件有两方面含义：一是指输入是在        以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在       时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在           时的值也为零例例2-5  试求如图2-5所示RLC无源网络的传递函数图2-5 RLC无源网络解解 RLC无源网络的微分方程为 在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换，并整理得到其传递函数例例2-6 求图2-3中机械系统的传递函数解解 由例2-3可得系统的动态微分方程为   在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换，整理得到传递函数2.2.2 传递函数的性质传递函数的性质传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，n≥m且所有系数均为实数。

传递函数只取决于系统的结构参数，与外作用及初始条件无关传递函数与微分方程有直接联系传递函数的拉氏变换是脉冲响应     传递函数与S平面上的零点、极点分布图相对应 传递函数的零点和极点零点：传递函数中分子多项式为零的值称为传递函数的零点，通常用Zi表示，在复平面坐标中用“0”表示极点：传递函数中分母多项式为零的值，称为传递函数的极点，通常用Pj表示，在复平面坐标中用“X”表示  零、极点可以是实数、复数（若为复数则共轭成对出现），在复平面上总能找到相对应的一点，故系统的传递函数与复平面有相应的对应关系因此在传递函数分子多项式和分母多项式互质时，传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能 2.2.3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数   在控制系统的分析中，常常将一个系统分解成若干典型环节；或是在系统设计中，在系统某处增加若干环节所谓典型环节就是构成系统的一些基本要素，它们在系统分析和设计中起着重要作用 1.比例环节比例环节   又称为放大环节，其输出量以一定比例不失真也无时间滞后地复现输入信号 输入量与输出量之间的表达式为 其传递函数为图2-6 比例环节图2-7 比例放大器 2.惯性环节惯性环节 惯性环节中因含有储能元件，故突变的输入信号不能立即复现。

其运动方程如下   惯性环节的传递函数为图2-8 惯性环节图2-9由运算放大器构成的惯性环节　　3.积分环节积分环节输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程为传递函数为图2-10积分环节图2-11积分电路4.微分环节微分环节理想的微分环节，其输出与输入量的导数成比例，即其传递函数为图2-12 微分环节图2-13 RC电路 　　5.延时环节延时环节延时环节也称为时滞环节和延迟环节，延时环节的输出在经过一段时间的延时后才复现输入信号，即  延时环节的传递函数为  6.振荡环节振荡环节振荡环节有一对共轭复极点其传递函数为或图2-14 延时环节图2-15 振荡环节  2.3 控制系统的方框图控制系统的方框图  系统方框图是控制系统数学模型的图解形式，又称为方块图、结构图、传递函数图，或简称框图 　　2.3.1方框图的结构要素方框图的结构要素　一般认为系统方框图由三种要素组成：函数方框、信号比较点和信号引出线 图2-16 控制系统方框图的结构要素 1.函数方框函数方框     图2-18 典型环节的函数方框图 　　2.比较点比较点图2-19基于比较点的信号变换　　3.信号引出线信号引出线图2-20 基于引出点的信号变换例例2-7 试建立零初始条件下如图2-21所示RC无源网络结构的系统方框图。

图2-21 RC网络解解  根据系统的物理特性，可写出以下微分方程  进而可得 根据各方程可绘出相应的子结构图，按信号的传递顺序，将各子结构图依次连接起来，便得到无源网络的结构图 图2-22 无源网络函数方框 图2-23 无源网络方框图 　　2.3.2系统方框图的基本连接方式系统方框图的基本连接方式 方框图的基本组成形式可分为三种：串联、并联和反馈连接 　　1.串联连接串联连接 图2-24 串联环节的方框图  对于两个环节相串联，环节空载时的传递函数由定义可写成 　则相互间无负载效应时，对应方框串联后总的传递函数可写成 　　2.并联连接并联连接 图2-26 并联环节的方框图可知　　　　　　，                　，则消去中间变量，得　　3.反馈连接反馈连接 图2-27 反馈连接方框图 　　对于如图2-27所示典型负反馈连接系统，按信号传递的关系，可写出　由此可以得到系统闭环传递函数　　同样推导过程，对于正反馈系统闭环传递　函数为　　2.3.3 系统方框图的变换与简化系统方框图的变换与简化　用一个简单的系统方框图去替换与之等价的一个复杂系统方框图时，就是系统　方框图的变换，其目的是为了简化方框图的分析。

 图2-28 引出点的等效移动图2-29 比较点等效移动　引出点与比较点前后移动应满足以下两条等效原则，并用此原则检验变换前后系统方框图的等效性变换前后，前向通道中传递函数的乘积应保持不变 变换前后，回路中的传递函数的乘积应保持不变 　常用方框图简化规则见教材表2-1例例2-8  试简化如图2-30所示的系统方框图，并求系统传递函数              图2-30　例2-8系统方框图 图2-31 系统方框图的简化例例2-9  试简化如图2-32所示的系统方框图，并求系统传递函数             图2-32 例2-9系统方框图图2-33系统方框图的简化 2.4 控制系统的信号流图控制系统的信号流图在控制工程中，信号流图是表示控制系统各变量间相互关系及信号流程的另一种图示方法 信号流图方法是S.J.梅森(Mason)1953年首先提出的，故信号流图又称梅森图 符号简单，便于绘制，可以通过梅森公式（不必经过图形简化）直接求得系统的传递函数 2.4.1 信号流图的基本术语信号流图的基本术语 信号流图具有网络形式，如图2-34所示 图2-34 信号流图首先必须定义如下一些术语：节点。

用来表示变量或信号的点两个节点之间的增益叫传输支路是连接两个节点的定向线段支路的增益定义为传输源点又称输出节点，是只有输出支路的节点，它对应于自变量阱点又称输入节点，是只有输入支路的节点，它对应于因变量混合节点对应既有输入支路，又有输出支路的节点沿支路箭头方向而穿过各相连支路的途径如果通道与任一节点相交不多于一次，就叫做开通道如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次，就叫做闭通道如果通道通过某一节点多于一次，但是终点与起点在不同的节点上，那么这个通道既不是开通道，又不是闭通道回路就是闭通道回路增益回路中各支路传输的乘积不接触回路回路与回路之间没有任何公共节点前向通道从输出节点（源点）到输入节点（阱点）的通道上，通过任何节点不多于一次的通道前向通道增益前向通道中，各支路传输的乘积图2-35 信号流图及相关术语信号流图的重要性质：支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系，对于给定的系统，信号流图不是唯一的由于同一系统的方程组可以写成不同的形式，因此对于给定的系统，可以画出许多种不同的信号流图节点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有支路控制系统方框图与信号流图是一一对应的，同时也是可以相互转化的。

　　2.4.2 梅森增益公式梅森增益公式　计算任意输入节点和输出节点之间传递函数的梅森增益公式为 式中， 为从输入节点到输出节点间前向通道的条数； 为从输入节点到输出节点间第 条前向通道的总传输； 为第 条前向通道的余子式，即把特征式 中与该前向通道相接触回路的回路传输置为零后，所余下的部分； 为特征式  的计算公式为式中，     为所有不同回环的回环传输之和； 为所有两两互不接触回环的回环传输乘积之和；          　　　　　　　　　　　　　为所有互不接触回路中，每次取其中三个回环传输的乘积之和例例2-10试应用梅森增益公式求图2-36所示系统的传递函数           　图2-36　例2-10系统信号流图 解解 由图2-36可知，该信号流图共有一条前向通道即  其通路传输为  三个回环的传输之和为　由于三个回环之间都有公共节点，因此信号流图特征式为　三个回环均与前向通道P1接触，所以 　根据梅森公式，系统的传递函数为例例2-11 试应用梅森增益公式求如图2-37所示系统的传递函数            图2-37系统信号流图解解 由图2-37可知，信号流图共有两条前向通道,即第一条前向通道的传输为 第二条前向通道的传输为信号流图共有6个回环 ，不同回环的传输之和为信号流图含有两两互不接触回路的传输增益乘积之和为信号流图含有每三个互不接触回环的传输增益乘积之和为第一条前向通道与所有回环均有接触，所以第二条前向通道与回环cd不接触，所以应用梅森公式计算给定系统的传递函数为 2.5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数  实际控制系统通常会受到两类外作用信号的影响。

一类是有用信号，或称为输入信号、给定   值、参考输入等，常用      表示另一类则是扰动信号，或称为干扰，常用      表示 图2-38 控制系统方框图  1.系统的开环传递函数系统的开环传递函数若           ，则系统反馈信号的拉氏变换与系统偏差信号的拉氏变换之比，称为开环系统的传递函数假想系统从反馈端断开，使系统变成开环状态，按传递函数的相乘性，有据开环传递函数的定义，得 2.系统被控信号对控制信号的闭环传递函数系统被控信号对控制信号的闭环传递函数   若        ，则系统的被控信号的拉氏变换             与控制信号的拉氏变换      之比，称为被控信号    对于控制信号    的闭环传递函数，记作    ，即设                       ，在图2-38中，则整理得即对于单位反馈系统有3.被控信号对于干扰信号的闭环传递函数被控信号对于干扰信号的闭环传递函数若          ，则系统的被控信号的拉氏变换    与干扰信号的拉氏变换     之比，称为被控信号     对于干扰信号     的传递函数，记作      ，即图2-38系统的结构可画成如图2-39所示的形式。

 图2-39 输入信号为零的闭环方框图由结构图，得即若          、        时，即控制信号    和干扰信号     同时作用于系统时，由叠加原理得到控制信号和干扰信号同时作用下的总的传递函数，即 4.偏差信号对于控制信号的闭环传递函数偏差信号对于控制信号的闭环传递函数    若         ，则偏差信号的拉氏变换    与控制信号的拉氏变换     之比，称为偏差信号对控制    信号的闭环传递函数，记作        ，即   令          ，                   ，则有    整理得 5.偏差信号对于干扰信号的闭环传递函数偏差信号对于干扰信号的闭环传递函数   若          ，则偏差信号的拉氏变换      与干扰信号的拉氏变换     之比，称为偏差信号     对干扰信号     的闭环传递函数，记作       ，即令                     ，在图2-38中，得  整理得  由此可得  若          、           ，则    因此，对于负反馈闭环系统有如下规律：闭环传递函数      、     、     、      的分子等于对应闭环传递函数的输入信号到输出偏差信号的乘积，并赋以符号；其分母等于1加上开环传递函数。

2.5.1 传递函数的标准形式传递函数的标准形式首1标准型（零、极点形式）将传递函数的分子、分母最高次项（首项）系数均化为1的零、极点形式，即如下的形式，称为首1标准型根轨迹分析法中常用这种形式 2.尾1标准型（时间常数形式）    将传递函数的分子、分母最低次项系数均化为1，表示为如下的形式，称为尾1标准型；因式分解后也称为传递函数的时间常数形式频域分析法中常用这种形式 　    与     的关系为2.5.2 传递函数的零点和极点对输出的传递函数的零点和极点对输出的影响影响零点距极点的距离越远，则该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，则该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合，该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。