方法技巧专题13 不等式的解法与基本不等式 一、不等式的解法与基本不等式知识框架 二、不等式的解法 【一】一元二次不等式的解法 1.例题【例1】已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B等于( )[来源:Z_xx_k.Com]A.(－1,2) B.(－2,1)C.(0,1) D.(0,2)【答案】D【解析】由题意得A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－10}，∴ A∩B＝{x|00).【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解为1时，不等式的解集为.【例3】 已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．【答案】 {x|x≥3或x≤2}【解析】 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得即不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.【例4】（1）已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.（2）已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围.（3）若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.【解析】（1）当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立.当m≠0时，则即－40时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以00，又因为m(x2－x＋1)－6<0， 所以m<.因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m< 即可. 所以m的取值范围是.（3）设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图像是直线，当m∈[1,2]时，图像为一条线段，则即解得3.【解析】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x2＋2x－3≤0.方程x2＋2x－3＝0的解为x1＝－3，x2＝1.而y＝x2＋2x－3的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋3≥0的解集是{x|－3≤x≤1}．(2)由题意或解得x>1.故原不等式的解集为{x|x>1}．【练习2】解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．【解析】因为12x2－ax>a2，所以12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.①当a>0时，－<，解集为；②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R，且x≠0}；③当a<0时，－>，解集为.综上所述：当a>0时，不等式的解集为；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.【练习3】已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}．(1)求a，b；(2)解不等式＞0(c为常数)．【解析】(1)由题知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，即所以a＝1，b＝2.(2)不等式等价于(x－c)(x－2)＞0，当c＞2时，解集为{x|x＞c或x＜2}；当c＜2时，解集为{x|x＞2或x＜c}；当c＝2时，解集为{x|x≠2}．【二】分式不等式的解法 分式不等式（1）将分母含有的表达式称为分式，即为的形式（2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即 （3）对形如的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解1.例题【例1】 解不等式：．【解析】解法1：化为两个不等式组来解：∵x∈∅或，∴原不等式的解集是．解法2：类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．∵，∴原不等式的解集是.【例2】解不等式．解：原不等式可化为：，所以原不等式的解集为． 说明：转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0．2.巩固提升综合练习【练习1】解下列不等式： (1) (2) 【解析】（1）原不等式可化为：，所以原不等式的解集为． (2) ∵ ，原不等式可化为：，所以原不等式的解集为．【练习2】解不等式：（1） （2） （3）【解析】（1）或 不等式的解集为 （2） 不等式的解集为 （3）思路：观察发现分母很成立，所以考虑直接去分母，不等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了解： 不等式的解集为 【名师点睛】分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为再进行求解 三、基本不等式 运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)(1)“一正”——各项为正数；(2)“二定”——“和”或“积”为定值；(3)“三相等”——等号一定能取到．【一】配凑型 1.例题【例1】(1)已知00时，y＝≤＝，∴当且仅当＝等号成立，即x＝5时，ymax＝.【练习2】已知，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，可得：，则，当且仅当时，等号成立，则的最小值为。
故选：A．【二】条件型 1.例题【例1】(1)已知正数、满足，则的最小值为（ ）A．8 B．12 C．10 D．9(2)已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】(1)D (2)B【解析】(1)正数、满足，根据不等式性质得到：等号成立的条件为 故答案为：D.(2)因为，，，所以.因为不等式恒成立，所以，整理得，解得，即.2.巩固提升综合练习【练习1】已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A．4 B．6 C．9 D．10【答案】C【解析】∵，，，∴，当且仅当时，即时取“=”. 故答案选C【练习2】已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，即， ，（当且仅当，即时取等号）（当且仅当时取等号）本题正确选项：【练习3】已知正数、满足，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以，，则，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：．【练习4】已知，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，可得：，则，当且仅当时，等号成立，则的最小值为。
故选：A．【三】换元型 1.例题【例1】已知，，且，则的最小值为（ ）A． B． C．5 D．9【答案】A【解析】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.2.巩固提升综合练习【练习1】若正数满足，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵正数满足，∴，解得，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最大值为．故选：B．【练习2】已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝的最小值为________．【答案】 【解析】 ∵a2－b＋4≤0，∴b≥a2＋4，∴a＋b≥a2＋a＋4.又∵a，b>0，∴≤，∴－≥－，∴u＝＝3－≥3－＝3－≥3－＝ 【四】实际应用 1.例题【例1】某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为.如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为______.【答案】160【解析】设水池底面一边的长度为，则另一边的长度为，由题意可得水池总造价，则，，当且仅当，即时，有最小值297600，此时另一边的长度为，因此，当水池的底面周长为时，水池的总造价最低，最低总造价是元，故答案为160．2.巩固提升综合练习【练习1】某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处【解析】设仓库建在离车站x km处，则土地费用y1＝(k1≠0)，运输费用y2＝k2x(k2≠0)，把x＝10，y1＝2代入得k1＝20，把x＝10，y2＝8代入得k2＝，故总费用y＝＋x≥2＝8，当且仅当＝x，即x＝5时等号成立．答案：A 四、课后自我检测 1．若集合A＝，B＝{x|x2<2x}，则A∩B＝ 。
答案】{x|0
