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...wd...必修二立体几何典型例题【知识要点】1．空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：①有公共点：相交，记作：a∩b＝A，其中特殊位置关系：两直线垂直相交．②无公共点：平行或异面．平行，记作：a∥b．异面中特殊位置关系：异面垂直．(2)空间直线与平面：①有公共点：直线在平面内或直线与平面相交．直线在平面内，记作：aa ．直线与平面相交，记作：a∩a ＝A，其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交．②无公共点：直线与平面平行，记作：a∥a ．(3)空间两个平面：①有公共点：相交，记作：a ∩b ＝l，其中特殊位置关系：两平面垂直相交．②无公共点：平行，记作：a ∥b ．2．空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：①判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．(3)我们把上述判定定理与性质定理进展整理，得到下面的位置关系图：【例题分析】例2 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD． 【分析】要证明“线面平行〞，可通过“线线平行〞或“面面平行〞进展转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．证明：方法一，取PD中点E，连接AE，NE．∵底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，∴MA∥CD，∵E是PD的中点，∴NE∥CD，∴MA∥NE，且MA＝NE，∴AENM是平行四边形，∴MN∥AE．又AE平面PAD，MN 平面PAD，∴MN∥平面PAD．方法二取CD中点F，连接MF，NF．∵MF∥AD，NF∥PD，∴平面MNF∥平面PAD，∴MN∥平面PAD．【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：a∥c，b∥c，a∥α，aβα∥βa⊥α，b⊥αα∩β＝bg ∩α＝a，g ∩β＝ba∥ba∥ba∥ba∥b(2)证明线面平行：a∩α＝a∥bα∥βbα，aαaβa∥αa∥αa∥α(3)证明面面平行：α∩β＝a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥g ，β∥g a，bα，a∩b＝Aα∥βα∥βα∥βα∥β例3 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1． 【分析】要证明“线线垂直〞，可通过“线面垂直〞进展转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．证明：连接AC1．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AB⊥AA1．又AB⊥AC，∴AB⊥平面A1ACC1，∴A1C⊥AB．①又AA1＝AC，∴侧面A1ACC1是正方形，∴A1C⊥AC1．②由①，②得A1C⊥平面ABC1，∴A1C⊥BC1．【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直〞为核心展开的．如此题条件中出现的“直三棱柱〞及“AB⊥AC〞都要将其向“线面垂直〞进展转化．例4 在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．【分析】要证明“面面垂直〞，可通过“线面垂直〞进展转化，而“线面垂直〞又 可以通过“线线垂直〞进展转化．证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴AP⊥BC．又AP⊥PB，∴AP⊥平面PBC，又AP平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC．【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：a⊥c，b∥c，a⊥αbαa⊥ba⊥b(1)证明线面垂直：a⊥m，a⊥na∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝lm，nα，m∩n＝Aaβ，a⊥la⊥αa⊥αa⊥αa⊥α(1)证明面面垂直：a⊥β，aαα⊥β例5 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点． (Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；(Ⅱ)段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．证明：(Ⅰ)连接A1C，A1E．∵侧面A1ABB1是菱形， E是AB1的中点，∴E也是A1B的中点，又F是BC的中点，∴EF∥A1C．∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，∴直线EF∥平面A1ACC1．(2)解：当时，平面EFG⊥平面ABC，证明如下：连接EG，FG．∵侧面A1ABB1是菱形，且∠A1AB＝60°，∴△A1AB是等边三角形．∵E是A1B的中点，，∴EG⊥AB．∵平面A1ABB1⊥平面ABC，且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB，∴EG⊥平面ABC．又EG平面EFG，∴平面EFG⊥平面ABC．例6 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC的中点．(Ⅰ)求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；(Ⅱ)求证：AB1∥平面BEC1．【分析】此题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．证明：(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴BE⊥AA1．∵△ABC是正三角形，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∴BE⊥平面ACC1A1，又BE平面BEC1，∴平面BEC1⊥平面ACC1A1．(Ⅱ)证明：连接B1C，设BC1∩B1C＝D．∵BCC1B1是矩形，D是B1C的中点， ∴DE∥AB1．又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，∴AB1∥平面BEC1．例7 在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，BD＝2AD＝8，． (Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求四棱锥P－ABCD的体积．【分析】此题中的数量关系较多，可考虑从“算〞的角度入手分析，如从M是PC上的动点分析知，MB，MD随点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD内“不动〞的直线BD是否垂直平面PAD．证明：(Ⅰ)在△ABD中，由于AD＝4，BD＝8，，所以AD2＋BD2＝AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．(Ⅱ)解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P－ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为故练习一、选择题：1．m，n是两条不同直线，a ，b ，g 是三个不同平面，以下命题中正确的选项是( )(A)假设m∥a ，n∥a ，则m∥n (B)假设m⊥a ，n⊥a ，则m∥n(C)假设a ⊥g ，b ⊥g ，则a ∥b (D)假设m∥a ，m∥b ，则a ∥b 2．直线m，n和平面a ，b ，且m⊥n，m⊥a ，a ⊥b ，则( )(A)n⊥b (B)n∥b ，或nb (C)n⊥a (D)n∥a ，或na 3．设a，b是两条直线，a 、b 是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )(A)a⊥a ，b∥b ，a ⊥b (B)a⊥a ，b⊥b ，a ∥b (C)aa ，b⊥b ，a ∥b (D)aa ，b∥b ，a ⊥b 4．设直线m与平面a 相交但不垂直，则以下说法中正确的选项是( )(A)在平面a 内有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面a 垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面a 平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面a 垂直二、填空题：5．在三棱锥P－ABC中，，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，则PC＝______．6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1．(只要求写出一种条件即可)7．设a ，b 是两个不同的平面，m，n是平面a ，b 之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n ②a ⊥b ③n⊥b ④m⊥a 以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题______．8．平面a ⊥平面b ，a ∩b ＝l，点A∈a ，Al，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥a ，m∥b ，给出以下四种位置：①AB∥m；②AC⊥m；③AB∥b ；④AC⊥b ，上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是______．三、解答题：9．如图，三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，M，N分别为PA，BC的中点．(Ⅰ)求MN的长；(Ⅱ)求证：PA⊥BC．10．如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(Ⅰ)直线EF∥平面ACD；(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD．11．如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，，G，H分别为FA，FD的中点．(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；(Ⅱ)C，D，F，E四点是否共面?为什么?(Ⅲ)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE．专题七 立体几何参考答案练习一、选择题：1．B 2．D 3．C 4．B二、填空题：5． 6．AC⊥BD(或能得出此结论的其他条件)7．②、③、④①；或①、③、④② 8．④三、解答题：9．(Ⅰ)解：连接MB，MC．∵三棱锥P－ABC的三个侧面均为边长是1的等边三角形，∴，且底面△ABC也是边长为1的等边三角形．∵N为BC的中点，∴MN⊥BC．在。